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1、1.2.2 1.2.2 组合组合问题一：问题一：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某名去参加某天的一项活动，其中天的一项活动，其中1 1名同学参加上午的活动，名同学参加上午的活动，1 1名名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？问题二：问题二：从甲、乙、丙从甲、乙、丙3 3名同学中选出名同学中选出2 2名去参加某天名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？一项活动，有多少种不同的选法？甲、乙；甲、丙；乙、丙甲、乙；甲、丙；乙、丙 3 3情境创设情境创设从已知的从已知的3个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个
2、元素 , ,并成一组并成一组问题问题2从已知的从已知的3 个不同元素个不同元素中每次取出中每次取出2个元素个元素 , ,按照一定的按照一定的顺序排成一顺序排成一列列. .问题问题1排列排列组合组合有有顺顺序序无无顺顺序序组合定义组合定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素个元素并并成一组成一组，叫做从，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合排列定义排列定义: : 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m (mn) 个元素，个元素，按照一定的顺序排成一列按照一定的顺序排成一列，叫做从，叫做从 n 个不同
3、元素中取出个不同元素中取出 m 个元个元素的一个素的一个排列排列. .共同点共同点: : 都要都要“从从n个不同元素中任取个不同元素中任取m个元素个元素” 不同点不同点: : 排列排列与元素的顺序有关，与元素的顺序有关， 而组合而组合则与元素的顺序无关则与元素的顺序无关. . 也就是排列是也就是排列是“先取后排先取后排”，组合是，组合是“只取不排只取不排”概念讲解概念讲解思考：组合和排列有什么共同和不同点？思考：组合和排列有什么共同和不同点？概念理解概念理解思考思考1 1：ab与与ba是相同的排列还是相同的组合？是相同的排列还是相同的组合？思考思考2 2：两个相同的排列有什么特点？两个相同的组
4、合呢？：两个相同的排列有什么特点？两个相同的组合呢？元素和顺序相同元素和顺序相同元素相同元素相同思考思考3 3：排列与组合有何联系？：排列与组合有何联系？构造排列可以分成两个步骤组成，先取元素后排序，而构造组构造排列可以分成两个步骤组成，先取元素后排序，而构造组合只是其中一个步骤。合只是其中一个步骤。练习练习1 1：判断下列问题是组合问题还是排列问题：判断下列问题是组合问题还是排列问题? ? (1)(1)设集合设集合A=a,b,c,d,e，则集合，则集合A的含有的含有3 3个元素的子集有多少个个元素的子集有多少个? ?(2)(2)某铁路线上有某铁路线上有5 5个车站，则这条铁路线上共需准备多少
5、种车票个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? ? 有多少种不同的火车票价？有多少种不同的火车票价？组合问题组合问题排列问题排列问题(3)(3)8 8只球队进行单循环比赛，需进行多少场比赛只球队进行单循环比赛，需进行多少场比赛? ? 组合问题组合问题(4)10(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, ,共需握手多少次共需握手多少次? ?组合问题组合问题组合问题组合问题练习练习2 2：(1)(1)写出从写出从a, ,b, ,c三个不同元素取出三个不同元素取出2 2个不同元素的组合个不同元素的组合ab, ,ab, ,cb共共3个个( (2 2) )
6、写出从写出从a, ,b, ,c，d四个不同元素取出四个不同元素取出2 2个不同元素的组合个不同元素的组合ab, ,ac, , ad, ,cb, db, cd共共6个个 从从n n个不同元素中取出个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，）个元素的所有组合的个数，叫做从叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的个元素的组合数组合数，用符号，用符号 表示表示. .概念讲解概念讲解组合数组合数: :思考：一个组合与组合数有什么区别？思考：一个组合与组合数有什么区别？一个组合是具体的一个取法形式。一个组合是具体的一个取法形式。组合数是所有组合的个数，是数值。组合数是所有组合的个数，是数
7、值。探究：前面我们已经提到，组合与排列有相互联系，那么我们探究：前面我们已经提到，组合与排列有相互联系，那么我们能否利用这种联系，通过排列数能否利用这种联系，通过排列数 来求出组合数来求出组合数 呢？呢？比如：求从比如：求从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的排列数。四个元素中任取三个元素的排列数。可分两步完成：可分两步完成：1 1、先抽三个元素，即、先抽三个元素，即2 2、对这三个元素进行排序、对这三个元素进行排序所以：所以：即：即：根据分步计数原理，得到：根据分步计数原理，得到： 一般地，求从一般地，求从 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的排列数，可个元素的排列数，可以分为以下
8、以分为以下2步：步： 第第1步，先求出从这步，先求出从这 个不同元素中取出个不同元素中取出 个元素的组合个元素的组合数数 第第2步，对步，对 个元素的进行全排个元素的进行全排 这里 ，且 ，这个公式叫做组合数公式组合数公式 总结归纳总结归纳组合数公式组合数公式:公式归纳公式归纳计算计算证明证明练习练习1： 计算计算练习练习2、一个口袋内装有、一个口袋内装有7个不同的白球和个不同的白球和1个黑球个黑球（1）从口袋内取出）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？（2）从从口口袋袋内内取取出出3个个球球，其其中中含含有有1个个黑黑球球，共共有有多多少少种种取取法？法？（3）从从口口
9、袋袋内内取取出出3个个球球，没没有有黑黑球球，共共有有多多少少种种不不同同的的取取法法？猜想：猜想：猜想：猜想：意义理解：猜想意义理解：猜想1：10人选人选7人去参赛人去参赛即即3人不去参赛人不去参赛对应于对应于即：从即：从n个不同元素取出个不同元素取出m个元素的组合，与剩下的个元素的组合，与剩下的n-m个个元素的组合一一对应。元素的组合一一对应。所以：所以：意义理解：猜想意义理解：猜想2：1个黑球个黑球n个白球个白球共有共有n+1个球个球第一类：抽到第一类：抽到1个黑球个黑球第二类：没有黑球第二类：没有黑球抽抽m个球个球所以：所以：组合数的两个性质性质1性质2注注:1 公式特征公式特征：左端
10、下标是：左端下标是n+1,右标下端是右标下端是n,相差相差1； 左端上标与右端上标的一个一样，另一个左端上标与右端上标的一个一样，另一个 上标少上标少12 性质的作用性质的作用：恒等变形，简化运算恒等变形，简化运算你会用组合数公式去证明这两个性质吗？你会用组合数公式去证明这两个性质吗？性质1性质2今晚课后自己证明，明天再课堂评讲今晚课后自己证明，明天再课堂评讲性质应用1、计算2、解方程3、计算例例1 1：一位教练的足球队共有一位教练的足球队共有1717名初级学员名初级学员, ,他们中以前没有他们中以前没有一人参加过比赛一人参加过比赛, ,按照足球比赛规则按照足球比赛规则, ,比赛时一个足球队的
11、上比赛时一个足球队的上场队员是场队员是1111人人. .问问: : (1) (1)这位教练从这这位教练从这1717名学员中可以形成多少种学员上场名学员中可以形成多少种学员上场方案方案? ? (2) (2)如果在选出如果在选出1111名上场队员时名上场队员时, ,还要确定其中的守门员还要确定其中的守门员, ,那么教练员有多少种方式做这件事情那么教练员有多少种方式做这件事情? ?例例2 2：(1)(1)平面内有平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的线段共个点为端点的线段共有多少条有多少条? ? (2) (2)平面内有平面内有1010个点个点, ,以其中每以其中每2 2个点为端点的有向线个点为端点的有向线段共有多少条段共有多少条? ?
