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1、 第六章第六章 圆圆 第第二节二节 与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系 考点精讲与圆有关的位置关系与圆有关的位置关系点与圆、直线与圆的位置关系点与圆、直线与圆的位置关系切线的性质与判定切线的性质与判定三角形与圆三角形与圆点与圆、直线与点与圆、直线与圆的位置关系圆的位置关系点与圆的位置关系点与圆的位置关系(设圆的半径为设圆的半径为r,点到圆心的距离为点到圆心的距离为d)直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系(设圆的半径为设圆的半径为r,圆心到直线的距离为圆心到直线的距离为d)点与圆的点与圆的位置关系位置关系点在圆外点在圆外 _，如图点，如图点A点在圆上点在圆上 _,如图点如图点B点在圆内点在圆内
2、 _,如图点如图点Cdrd=rd=切线的性切线的性质与判定质与判定切线：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直切线：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点点切线的性质定理：圆的切线切线的性质定理：圆的切线_于过切点的半径于过切点的半径切线性质的推论切线性质的推论切线的判定切线的判定切线长：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切切线长：经过圆外一点作圆的一条切线，这一点和切点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长点之间的线段长，叫做这点到圆的切线长*切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们切线长定
3、理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长的切线长 _，这一点和圆心的连线平分两条切，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角线的夹角(2011版课标选学内容版课标选学内容)相等相等13 13 垂直垂直切线性质的推论切线性质的推论1.经过圆心且垂直于切线的直线必过经过圆心且垂直于切线的直线必过_2.经过切点且垂直于切线的直线必过经过切点且垂直于切线的直线必过_圆心圆心切点切点切线的判定方法切线的判定方法1.和圆有和圆有_公共点的直线是圆的切线公共点的直线是圆的切线2.如果圆心到一条直线的距离如果圆心到一条直线的距离 _圆的半圆的半径，那么这条直线是圆的切线径，那么这条直线是圆的切线3.经过半径
4、的外端并且经过半径的外端并且 _于这条半径的于这条半径的直线是圆的切线直线是圆的切线(判定定理判定定理)垂直垂直一个一个等于等于11 11 12 12 三角形与圆三角形与圆三角形的内切圆三角形的内切圆三角形的外接圆三角形的外接圆三角形的内切圆三角形的内切圆内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆内切圆的定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆叫做三角形的内切圆三角形内心定义：内切圆的圆心是三角形三角形内心定义：内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心三条角平分线的交点，叫做三角形的内心性质：三角形的内心到三角形三边距离性质：三角形的内心到三角形三边距离 _相等相等14 14
5、三角形的三角形的外接圆外接圆外接圆的定义：经过三角形的三个顶点可以外接圆的定义：经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆三角形外心定义：外接圆的圆心是三角形三三角形外心定义：外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距性质：三角形的外心到三角形三个顶点的距 离离 _相等相等15 15 重难点突破 切线的判定（难点）切线的判定（难点）例例（2016柳州柳州）如图，）如图，AB为为ABC外接圆外接圆 O的直径，点的直径，点P是线段是线段CA延长线上一点，点
6、延长线上一点，点E在圆上且满足在圆上且满足PE2=PAPC，连接，连接CE，AE，OE，OE交交CA于点于点D.（1）求证：）求证：PAEPEC;（2）求证：）求证：PE为为 O的切线；的切线；（3）若）若B=30，AP= AC，求证：，求证：DO=DP.例题图例题图【思维教练】【思维教练】（1）要证）要证PAEPEC，由已知，由已知PE2=PAPC，可考虑利用，可考虑利用“两边对应成比例且夹角相等两边对应成比例且夹角相等”证明，将等积式转化为比例式，观察图形可知，两个三证明，将等积式转化为比例式，观察图形可知，两个三角形有公共角角形有公共角P,即可证得两个三角形相似；即可证得两个三角形相似；
7、例题图例题图证明证明：（：（1）PE2=PAPC， ，P=P，PAEPEC；【思维教练】【思维教练】（2）要证）要证PE为为 O的切线，首先我们会想到的切线，首先我们会想到证角等于证角等于90，观察图形可知，观察图形可知，OE为为 O的半径，所以只需的半径，所以只需证证PEA+OEA=90,因为因为 AB为为 O的直径，连接的直径，连接BE，AEB=90，由，由PAEPEC，OA=OE，可得，可得PEA= =PCE，OEA=OAE，又因为，又因为ABEACE，转换得到，转换得到ACE+OAE=90，进而求得，进而求得PCE+OAE=90，即可得证；，即可得证；例题图例题图（2）如解图）如解图，
8、连接，连接BE.PAEPEC，PEA=PCE，OA=OE，OEA=OAE，AB是是 O O的直径，的直径，AEB=90，ABE+BAE90，又又ABEACE，OAE+ACE90，例题解图例题解图PEOPEA+OEAPCE+OAE90，即即OEPE，OE为为 O的半径，的半径，PE是是 O的切线；的切线；例题解图例题解图【思维教练】【思维教练】（3）要证）要证DO=DP，过点，过点O作作OHAC于点于点H，先观察先观察DO，DP分别在分别在DHO和和DEP中，可通过证明中，可通过证明DHODEP，利用全等三角形的对应边相等得到，利用全等三角形的对应边相等得到DODP，已知条件现已有，已知条件现已
9、有HDOPDE，DHO=PED90，故只需找一组边对应相等，观察易知故只需找一组边对应相等，观察易知DH=DE不易证得，现考不易证得，现考虑证明虑证明PE=OH，利用，利用AAS得证得证.由已知由已知PE2=PAPC，B=30，AP AC，求得，求得PEOH，即可证得，即可证得.例题图例题图（3）如解图）如解图，过点，过点O作作OHAC于点于点H，则，则AHO=90,AH=CH= AC,又又AB是是 O的直径，的直径，ACB=AHO=90，BCOH,又又B=30，AOH=B=30，AC= AB=OA=OB,OH= OA= AC，AP= AC,PE2=PAPC,例题解图例题解图PE2=PA（PA
10、+AC）= AC2,PE= AC=OH,在在DHO和和DEP中，中，HDO=PDEDHO=PED=90OH=PE,DHODEP（AAS），），DO=DP.例题解图例题解图满满 分分 技技 法法1.圆内证明两角相等的常用方法有：（圆内证明两角相等的常用方法有：（1）同圆或等圆中，）同圆或等圆中，等弧或等弦所对的圆心角相等、圆周角相等；（等弧或等弦所对的圆心角相等、圆周角相等；（2）同圆）同圆或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆心角相等、圆周角相或等圆中，所夹二弧或二弦相等的圆心角相等、圆周角相等；等；圆内证明两线段相等的常用方法有：（圆内证明两线段相等的常用方法有：（1）同圆或等圆的）同圆或等圆的半
11、径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦相等；（弦相等；（2）同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，）同圆或等圆中，等弦所对的弦心距相等，等弦心距所对的弦相等；（等弦心距所对的弦相等；（3）任意圆中，任一弦总被与）任意圆中，任一弦总被与它垂直的半径或直径平分；它垂直的半径或直径平分；圆内证明两个三角形相似的常用方法有：利用圆内证明圆内证明两个三角形相似的常用方法有：利用圆内证明两角相等的方法，通过证明角相等，进而得到两个三角两角相等的方法，通过证明角相等，进而得到两个三角形相似形相似.2.解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切
12、解决与切线有关的求角度或线段问题的方法：当已知切线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知造直角三角形，然后利用勾股定理或相关的三角函数知识计算线段长度；而在求角度时，往往利用圆周角定理识计算线段长度；而在求角度时，往往利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系求解及其推论，三角形内角和、内外角关系求解.3.证明直线是圆的切线常用的方法：（证明直线是圆的切线常用的方法：（1）若未说明直线与）若未说明直线与圆有公共点，需要过圆心作直线的垂线段，证明圆心到直圆有公共点，需要过圆心作直线的垂线
13、段，证明圆心到直线的距离等于圆的半径，简记为线的距离等于圆的半径，简记为“作垂直，证相等作垂直，证相等”；（；（2）若已知直线和圆有公共点，先连接圆心和已知的公共点，若已知直线和圆有公共点，先连接圆心和已知的公共点，再证明这条半径和直线垂直，简记为再证明这条半径和直线垂直，简记为“连半径，证垂直连半径，证垂直”；（3）要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接）要证明是圆的切线的直线与圆有公共点，且存在连接公共点的半径，此时可直接根据公共点的半径，此时可直接根据“经过直径的一端，并且垂经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线是圆的切线直于这条直径的直线是圆的切线”来证明，口诀是来证明，口诀是“见半径，见半径，证垂直证垂直”.
