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1、洛必达法则洛必达法则罗尔罗尔定理定理拉格朗日拉格朗日中值中值定理定理柯西柯西中值定理中值定理单调性单调性, ,极值与最值极值与最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐点拐点导数的应用导数的应用第三章第三章 中值定理及导数的应用中值定理及导数的应用(1) (1) 罗尔中值定理罗尔中值定理1.中值定理中值定理(2) 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理推论推论1 如果函数如果函数f( (x) )在区间在区间( (a, ,b) )内的导数恒为零，内的导数恒为零，则则f( (x) )在区间在区间( (a, ,b) )内是一个常数内是一个常数. . 推论推论2 如果在区间如果在区间(a,b)内内, 则则 f(x)=g
2、(x)+C（C为常数）为常数）. 2 2、洛必达法则、洛必达法则定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则.关键关键: :将其它类型未定式化为洛必达法则可解决将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型的类型 .定理定理定义定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. .注意：注意：1.1.洛必达法则是求极限的一种有效方法，但并不是万洛必达法则是求
3、极限的一种有效方法，但并不是万能的能的2.2.洛必达法则的条件是充分非必要的，要注意使用的洛必达法则的条件是充分非必要的，要注意使用的 条件条件3.3.用洛必达法则可连续用，但要步步检查，步步整理用洛必达法则可连续用，但要步步检查，步步整理 （如约去公因子，（如约去公因子，提出有确定极限的因子提出有确定极限的因子）例例1 求求解解例例2 求求解：解：例例3 3解解例例 4 4 计算计算解解 因为因为不满足洛必达法则的条件，所以不能应用洛必达法则不满足洛必达法则的条件，所以不能应用洛必达法则. .不存在，不存在，注意：洛必达法则的使用条件注意：洛必达法则的使用条件解：解：例例6.6.求求例例5
4、5解解3 3、函数的单调性与极值、函数的单调性与极值定理定理(1) 函数单调性的判定法函数单调性的判定法定义定义(2) 函数的极值及其求法函数的极值及其求法函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.定理定理( (必要条件必要条件) )定义定义可能极值点：驻点和不可导点可能极值点：驻点和不可导点. .（单调区间的（单调区间的分界点）分界点）注意：注意：极值点可以是不可导点。极值点可以是不可导点。极值的第一判别法极值的第一判别法极值的第二判别法极值的第二判别法求极值的求极值的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的定义
5、域，求出导数）确定函数的定义域，求出导数（2 2）求出导数等于）求出导数等于0 0（驻点）和导数不存在的点（驻点）和导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的点将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断（）判断（2 2）中的点是否是极值点，是极大值）中的点是否是极值点，是极大值还是极小值还是极小值例例解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值例例解解 定义域为定义域为(-,+)，极极大大值值极极小小值值单调区间为单调区间为例试问例试问a a为何值时，函数为何值时，函数 在在处取得极值？它是极大值还是极小值？处取
6、得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。并求此极值。 (1) 求函数求函数f (x) 在在 (a ,b）内的所有驻点和导数不）内的所有驻点和导数不存在的点；存在的点； (2) 计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函计算所有驻点和导数不存在的点及端点处的函数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值数值，其中最大者就是最大值，最小者就是最小值 （1）闭区间）闭区间a , b 上的连续上的连续函数函数 ： 在在 a , b 上连续的函数上连续的函数 f (x)，一定存在最大值和，一定存在最大值和最小值最小值. 这时这时 f (x) 在在 a , b 上的最大值点和最小值上的最大值点和最小值点一
7、定是区间的端点或可能极值点点一定是区间的端点或可能极值点. 求法如下：求法如下： （比较法）（比较法）4.函数的函数的 最大值、最小值及其应用最大值、最小值及其应用 f (x)在一个区间内可导且只有一个驻点在一个区间内可导且只有一个驻点x0，并且这，并且这个驻点个驻点x0是函数是函数f (x)的极值点，那么，当的极值点，那么，当f (x0)是极是极值时值时 f (x0)就是就是f (x)在该区间上的最值；在该区间上的最值； （2）任意区间（包括无穷区间）上连续）任意区间（包括无穷区间）上连续函数函数 ，有唯一驻点且为极值点有唯一驻点且为极值点单峰曲线单谷曲线转化法（两个条件）转化法（两个条件）
8、 （3）实际问题中，往往根据问题的性质可以）实际问题中，往往根据问题的性质可以断定可导函数断定可导函数f (x)确有最值，而且一定在定义区间确有最值，而且一定在定义区间内部取得内部取得. 这时如果这时如果f (x)在定义区间内部只有一个在定义区间内部只有一个驻点驻点x0，那么不需要判断，那么不需要判断f (x0)是不是极值点是不是极值点,就就可以断定可以断定f (x0)是最值是最值.实际问题求最值实际问题求最值: :(1)列出目标函数，并确定其定义列出目标函数，并确定其定义域域;(2)求出目标函数在其定义域内的驻点求出目标函数在其定义域内的驻点;（3）例例1 求函数求函数y = f (x) =
9、 2x3 + 3x2 - 12x + 14在在-3,4上的最大值与最小值上的最大值与最小值.解方程解方程 f (x) = 0，得到，得到x1 = -2, x2 = 1, 由于由于解解 f (x) = 6x2 + 6x - 12 = 6(x + 2)(x - 1) . f (-3) = 23； f (-2) = 34； f (1) = 7； f (4) = 142,比较可得比较可得 f (x)在在x = 4处取得它在处取得它在-3,4上的最大值上的最大值f (4) = 142，在在 x = 1处取得处取得它在它在-3,4上的最小值上的最小值f (1) = 7 .例例2 2 有有一一块块宽宽 2
10、2a 的的长长方方形形铁铁片片，将将宽宽的的两两个个边边缘缘向向上上折折起起，做做成成一一个个开开口口水水槽槽，其其截截面面为为矩矩形形，高高为为 x. . 问问 x 取何值时水槽的流量最大？取何值时水槽的流量最大？ 解解 设两边各折起设两边各折起 x, 则则横截面的面积为横截面的面积为从而从而x=a/2就是最大值点，就是最大值点，此时此时S(x)为函数最大值。为函数最大值。依题意知必存在最大值，依题意知必存在最大值， 设设曲曲线线 f (x) 在在(a, b)内内各各点点都都有有切切线线，在在切切点点附附近近如如果果曲曲线线弧弧总总位位于于切切线线的的上上方方，则则称称曲曲线线 f (x)
11、在在（ a, b）上上是是凹凹的的如如果果曲曲线线弧弧总总位位于于切切线的下方，则称曲线线的下方，则称曲线f (x) 在（在（ a, b）上是凸的）上是凸的. （1）曲线的凹凸性的定义）曲线的凹凸性的定义 5. 曲线的凹凸与拐点曲线的凹凸与拐点定理定理（3）凹凸性的判定方法）凹凸性的判定方法（2 2）拐点）拐点求函数凹凸区间与拐点的求函数凹凸区间与拐点的4 4个步骤：个步骤：（1 1）确定函数的）确定函数的定义域定义域，求出导数，求出导数（2 2）求出二阶导数等于）求出二阶导数等于0 0和二阶导数不存在的点和二阶导数不存在的点（3 3）根据（）根据（2 2）中的点将定义域分成若干个区间，）中的
12、点将定义域分成若干个区间，并确定并确定 在每个区间的符号在每个区间的符号（4 4）判断：）判断：例例1 求曲线求曲线 y = 2x3 + 3x2 - 12x + 14的拐点的拐点 .解方程解方程 y = 0，得，得因此，因此，是曲线的拐点。是曲线的拐点。解解 定义域为定义域为(-,+)(-,+)， 例例2 2 求曲线求曲线的凹凸区间和拐点的凹凸区间和拐点. .作业作业-习题：习题：2. 求下列函数的极值：求下列函数的极值： 3试问试问a为何值时，函数为何值时，函数 在在处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。处取得极值？它是极大值还是极小值？并求此极值。4.求下列函数在给定区间上的最大值
13、和最小值：求下列函数在给定区间上的最大值和最小值： (1)-1，3； (2)-4，4 .5.某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖20m长的墙壁，长的墙壁，问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？6.欲围一个面积为欲围一个面积为150m2的矩形场地。正面所用材料造价为的矩形场地。正面所用材料造价为6元元/m，其余三面所用材料的造价为，其余三面所用材料的造价为3元元/m，求场地的长、宽，求场地的长、宽各为多少米时，所用材料费最少？各为多少米时，所用材料费最少？ 7. 要做一个上下都有底的圆柱形容器，容积是要做一个上下都有底的圆柱形容器，容积是1，问底半径，问底半径r为为多大时，容器的表面积最小？并求出此最小表面积多大时，容器的表面积最小？并求出此最小表面积.8.求下列曲线的凸凹区间与拐点：求下列曲线的凸凹区间与拐点： （）（）（）（）
