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1、高中数学3.1.23.1.2空间向量的数乘运算空间向量的数乘运算【学情分析】【学情分析】 ：本节，空间向量的数乘运算共有4 个知识点：空间向量的数乘、共线向量或平行向量、方向向量与共面向量、空间向量的分解定理这一节是全章的重点，有了第一节空间向量加减法的基础，我们就很容易把平面向量及其运算推广到空间向量由于本教材学习空间向量的主要目的是， 解决一些立体几何问题， 所以例习题的编排也主要是立体几何问题 当我们把平面向量推广到空间向量后，很自然地要认识空间向量的两个最基本的子空间：共线向量和共面向量 把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间 然后由这两个定理推出空间直线和平面的向量表达式有了
2、这两个表达式， 我们就可以很方便地使用向量工具解决空间的共线和共面问题【教学目标】【教学目标】 ：（1）知识与技能：知识与技能：掌握空间向量的数乘运算（2）过程与方法：过程与方法：进行类比学习，会用空间向量的运算意义和运算律解决立几问题（3）情感态度与价值观：情感态度与价值观：会用平面的向量表达式解决共面问题【教学重点】【教学重点】 ：空间向量的数乘运算及运算律【教学难点】【教学难点】 ：用向量解决立几问题【课前准备】【课前准备】 ：Powerpoint 课件【教学过程设计】【教学过程设计】 ：教学环节教学活动1、空间向量的数乘运算a，其模长是a的|倍（1）当 0时，a与a同向（2）当 0时，
3、a与a反向2、空间向量的数乘分配律和结合律（1）分配律：(a b) a b（2）结合律：(a) ()a设计意图一温故知新3、共线向量或平形向量类似于平面向量共线，对空间任意两个向量a, b(b 0)，a/b的充要条件是存在实数，使a b1、方向向量如果l为经过已知点 A 且平行于已知非零向量a的直线，对于任意一点 O，点 P 在直线l上的充要条件是存在实数 t 满足等式a aBlAP以数乘向量及其运算律为突破口，与平面向量进行比较学习，为下面引出共面向量作铺垫。OP OA ta其中向O高中数学量a叫做直线l的方向向量.在l上取AB a，则上式可化为OP OA tAB证明：对于空间内任意一点O，
4、A, B ,P三点共线高中数学tR,使AP tABOP-OA tABOP OAtAB由此可见，可以利用向量之间的关系判断空间任意三点共线，这与利用平面向量判断平面内三点共线是一样的。回顾平面向量的基本定理：共面向量定理如果两个向量a,b不共线，那么向量方向向量的引入是为了更好的说明三点共线的向量充要条件， 作为特色班，可以根据实际情况补充证明过程。回顾平面向量的基本定理可以发现，平面中的基底理论成了空间向量关系的一种特殊情况共面的证明方法，这正是由特殊到一般，由简单到复杂的一种推广，对今后理解空间向量的基底理论也是有一定辐射作用的。p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x, y)，使得
5、p x yb，这就是说，向量p可以由不共线的两个向量a,b线性表示。二新由此可以得到空间向量共面的证明方法课讲授2、空间平面 ABC的向量表示式Cp空间一点 P 位于b bAa aB平面 ABC 内的充要条件是存在有序实数对 x，y 使O得：PAP xAB yAC，或对空间任意一点 O 有：OP OA xAB yAC。推论：已知空间任意一点O 和不共线的三点 A，B，C，则点 P 与点 A，B，C 共面的充要条件是OP xOA yOB zOC(其中x y z 1)证明：OP xOA yOB zOC (x y z 1)OP (1 y z)OA yOB zOCOP OA yOA zOA yOB z
6、OCOP OA y(OBOA) z(OC OA)高中数学高中数学OPOA yAB zACAP yAB zACP 与点 A，B，C 共面例 1一直平行四边形ABCD，过平面 AC 外一点 O做射线 OA，OB，OC，OD，在四条射线上分别取点E，F，G，H，且使本探究可以在老师的启发下，给学生自己证明，不同层次可以酌情考虑是否证明。OEOFOGOH k，OAOBOCOD求证：E，F，G，H 四点共面分析： 欲证 E， F， G， H 四点共面， 只需证明EH，EF，EG共面。下面我们利用AD，AB，AC共面来证明。证明：因为OEOFOGOH k，所以OAOBOCOD三典OE kOA，OF kOB
7、，OG kOC，例讲练OH kOD，由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC AB AD，因此，EG OG OE kOC kOA kAC k(AB AD) k(OBOAODOA) OF OE OH OE EF EH由向量共面的充要条件知E，F，G，H 四点共面进一步：请学生思考如何证明：面AC/面 EG1、如图，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F 分别是 BC，CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果的向量。四练（1）AB BC CD习巩固1（2）AB(BD BC)21（3）AF (AB AC)22、课本 P96 练习 2-3高中数学高中数学巩固知识，注意向量运算律的使用.
8、3、略解： （1）3、已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，用向量方法证明（1）E、F、G、H四点共面（2）AC平面EFGH1EG EF FG EF BD EF EH2（2）EG EB BF 111ABBC AC222得 EFAC，AC平面 EFGH，则 AC平面 EFGH1如图，已知矩形 ABCD 和矩形ADEF 所在平面互 相 垂 直 ， 点BAFNDMECM,N 分别在对角五拓11线 BD,AE 上，且BM BD, AN AE.展与提33高求证：MN/平面 CDE证明：MN MB BA AN=又CD与DE不共线根据共面向量定理，可知MN,CD,DE共
9、面。由于 MN 不在平面 CDE 中，所以 MN/平面 CDE1空间向量的数乘运算六小2空间向量的运算意义和运算律解决立几问题结3平面的向量表达式解决共面问题注意用空间向量的思想去解决立体几何问题的转化方法.21CD DE33归纳知识反思方法，特点。七作课本 P106 习题 3.1，A 组 第 1 题（3）、（4），第2业题练习与测试：练习与测试：（基础题）1 已知空间四边形ABCD，连结AC,BD，设M,G分别是BC,CD的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（1）AB BC CD；ADADB高中数学ADMCG高中数学1(BD BC)；AGAG21（3）AG (AB AC)MGMG2（2）AB （中等题）2、在平行六面体 ABCDA1B1C1D1中，向量D1A、D1C、是（）A A有相同起点的向量B等长向量 C共面向量 D不共面向量3直三棱柱 ABCA1B1C1中，若CA a,CB b,CC1 C,则A1B （）Aa b cBa b cC a b c高中数学D a b c
