数字电子技术第2讲

《数字电子技术第2讲》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数字电子技术第2讲（105页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第二章第二章 数字逻辑基础数字逻辑基础2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念2.2 逻辑代数的基本公式、定理和规则逻辑代数的基本公式、定理和规则1v 逻辑代数逻辑代数 研究逻辑电路的数学工具。研究逻辑电路的数学工具。 由英国数学家由英国数学家George Boole 提出的，所以又称布提出的，所以又称布尔代数。尔代数。 逻辑，指的是条件和结果的关系，电路的输入信号即逻辑，指的是条件和结果的关系，电路的输入信号即条件，输出信号即结果。条件，输出信号即结果。 条件满足和结果发生用条件满足和结果发生用“1”表示，反之用表示，反之用“0”表示。表示。此时的此时的“1”和和“0”，只表示两个对立的

2、逻辑状态，只表示两个对立的逻辑状态，而不表示数值的大小。而不表示数值的大小。22.1.1 概念概念(1)逻辑代数逻辑代数 可以表示为：可以表示为：(2)逻辑常量与逻辑变量逻辑常量与逻辑变量 逻辑变量的取值只有两种，即逻辑逻辑变量的取值只有两种，即逻辑0和逻辑和逻辑1，0 和和 1 称为逻辑称为逻辑常量，并常量，并不表示数量的大小，无大小、正负之分不表示数量的大小，无大小、正负之分，而是，而是表示表示两种对立的逻辑状态两种对立的逻辑状态。2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念L=A；0，1；与，或，非；与，或，非逻辑变量逻辑变量逻辑常量逻辑常量逻辑基本运算逻辑基本运算0 矛盾的否定面、反面

3、矛盾的否定面、反面 1 矛盾的肯定面、正面矛盾的肯定面、正面3 “与运算与运算”、“或运算或运算”、“非运算非运算” 1. 1. 真值表真值表-描述逻辑关系的表格描述逻辑关系的表格 2.2.逻辑表达式逻辑表达式-输入信号为自变量，输出为函数的数学输入信号为自变量，输出为函数的数学表达方式表达方式 3. 3. 逻辑符号逻辑符号-在画电路时使用的符号在画电路时使用的符号这三种基本的逻辑运算可用这三种基本的逻辑运算可用“真值表真值表”、“逻辑表达式逻辑表达式”和和“逻辑符号逻辑符号”来描述来描述2.1.2基本逻辑运算基本逻辑运算4 电路状态表电路状态表开关开关S1开关开关S2灯灯断断断断灭灭断断合合

4、灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮S1S2灯灯电源电源与运算与运算(1)与逻辑与逻辑:只有当决定某一事件的条件全部具备时，只有当决定某一事件的条件全部具备时，这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。这一事件才会发生。这种因果关系称为与逻辑关系。与逻辑举例与逻辑举例5 逻辑真值表逻辑真值表ABL001010110001 与逻辑举例状态表与逻辑举例状态表开关开关S S1 1开关开关S S2 2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮逻辑表达式逻辑表达式与与逻辑：逻辑：L = A = AB 与逻辑符号与逻辑符号ABL& &ABL与运算与运算6 电路电路状态表状态表开关开关S1开关开关S2

5、灯灯断断断断灭灭断断合合亮亮合合合合断断亮亮合合亮亮、或或运算运算只只要要在在决决定定某某一一事事件件的的各各种种条条件件中中，有有一一个个或或几几个个条条件件具具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为备时，这一事件就会发生。这种因果关系称为或或逻辑关系。逻辑关系。S1灯灯电源电源S2 或逻辑举例或逻辑举例7 逻辑真值表逻辑真值表ABL001010110111 或逻辑举例状态表或逻辑举例状态表开关开关S S1 1开关开关S S2 2灯灯断断断断灭灭断断合合灭灭合合合合断断灭灭合合亮亮逻辑表达式逻辑表达式或或逻辑：逻辑：L = A + 或逻辑符号或逻辑符号A AB BL LB BL L11A

6、A、或运算、或运算8非逻辑举例状态表非逻辑举例状态表A灯灯不通电不通电亮亮通电通电灭灭3.非非运算运算事事件件发发生生的的条条件件具具备备时时，事事件件不不会会发发生生；事事件件发发生生的的条条件件不具备时，事件发生。这种因果关系称为不具备时，事件发生。这种因果关系称为非非逻辑关系。逻辑关系。 A VNC 非逻辑举例非逻辑举例9 非逻辑真值表非逻辑真值表AL0110非逻辑符号非逻辑符号逻辑表达式逻辑表达式L = A 非逻辑举例状态表非逻辑举例状态表A灯灯不通电不通电亮亮通电通电灭灭A A1 1L LA AL L3.非非运算运算10 两输入变量与非两输入变量与非逻辑真值表逻辑真值表ABL0010

7、10111110ABLAB&L与非逻辑符号与非逻辑符号4. 几种常用复合逻辑运算几种常用复合逻辑运算与非与非逻辑表达式逻辑表达式L = A B1)与非运算与非运算11 两输入变量或非两输入变量或非逻辑真值表逻辑真值表ABL001010111000B1AABLL或非逻辑符号或非逻辑符号2)或非运算或非运算L = A+B或非逻辑表达式或非逻辑表达式123 )异或异或逻辑逻辑若两个输入变量的值相异，输出为若两个输入变量的值相异，输出为1，否则为，否则为0。 异或逻辑真值表异或逻辑真值表ABL000101011110BAL=1ABL异或逻辑符号异或逻辑符号异或逻辑表达式异或逻辑表达式L L= = A

8、A B B134 )4 )同或运算同或运算若两个输入变量的值相同，输出为若两个输入变量的值相同，输出为1 1，否则为，否则为0 0。同或逻辑真值表同或逻辑真值表ABL001010111001B=ALABL同或逻辑逻辑符号同或逻辑逻辑符号同或逻辑表达式同或逻辑表达式L=AB+=AB 14(5) 与或非运算：逻辑表达式为：与或非运算：逻辑表达式为：152.2逻辑代数的基本公式、定理和规则逻辑代数的基本公式、定理和规则2.2.1 逻辑代数的公式、定理逻辑代数的公式、定理(1)常量之间的关系常量之间的关系(2)基基本公式本公式分别令分别令A=0及及A=1代入代入这些公式，即可证明这些公式，即可证明它们

9、的正确性。它们的正确性。16(3)基本定理如何证如何证明明?171 1、基本公式基本公式交换律：交换律： A + B = B + AA B = B A结合律：结合律：A + B + C = (A + B) + C A B C = (A B) C 分配律：分配律：A + BC = ( A + B )( A + C )A ( B + C ) = AB + AC A 1 = AA 0 = 0A + 0 = AA + 1 = 10 0、1 1律：律：A A = 0A + A = 1互补律：互补律：AA+AC+AB+BC=A+AC+AB+BC=A(1+C+B)+BC=A+BC 18重叠律重叠律：A +

10、A = AA A = A反演律：反演律：AB = A + B A + B = A B吸收律吸收律 其它常用恒等式其它常用恒等式 ABACBCAB + ACABACBCDAB + AC192、基本公式的证明例例 证明证明，列出等式、右边的函数值的真值表列出等式、右边的函数值的真值表( (真值表真值表证明法证明法) )011 = 001+1=00 01 1110 = 101+0=00 11 0101 = 100+1=01 00 1100 = 110+0=11 10 0A+BA+BA B A B20证明等式成立也可以证明等式成立也可以利用其它的定理来证利用其它的定理来证明明21课堂练习课堂练习证明证

11、明22序号序号公公 式式序号序号公公 式式基基本本公公式式0 + A = A 0 *A = 0吸吸收收律律A+AB=A1 + A= 1 1 *A = AA(A+B)=AA + A = A A * A = AA+AB=A+BA + A = 1 A * A = 0(A+B)(A+C)=A+BC分配律分配律A +B = B + A A B = B A冗冗余余律律A B + A C + B C = A B + A C结合律结合律A + (B +C) = (A + B) + CA (B C) = (A B) CA B + A C + B CD = A B + A C分配律分配律A (B +C) = A

12、B + A CA + B C = (A +B)(A +C)反演反演律律A B = A + BA + B = A B逻辑代数定律和恒等式逻辑代数定律和恒等式23v(1)代入规则代入规则 任何一个含有变量任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现的等式，如果将所有出现A的位置都用的位置都用同一个逻辑式代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入同一个逻辑式代替，则等式仍然成立。这个规则称为代入规则。规则。 举例举例1： A+BC = (A+B)(A+C) A+B(CD) = (A+B)(A+CD) 2.2.2 逻辑代数的基本规则逻辑代数的基本规则举例举例2：由代入规则可证明，摩由代入规则可证明，摩根定理可

13、以扩展到多变根定理可以扩展到多变量的情况。量的情况。24v(2)反演规则反演规则注意：注意：注意：注意： (1)应保留原来的运算优先级；应保留原来的运算优先级； (2) 除反变量的非号发生变化外，其余的非号保持不变。除反变量的非号发生变化外，其余的非号保持不变。对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有，如果将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0”，原变量换成反变量原变量换成反变量，反变量换成原变量反变量换成原变量，那么，那么所得到的表达式就是函数所得到的表达式就是函数Y的反函数的反函数Y（或称补函数）。这（或称补

14、函数）。这个规则称为反演规则。个规则称为反演规则。25v(3)对偶规则对偶规则对于任何一个逻辑表达式对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有，如果将表达式中的所有“”换成换成“”，“”换成换成“”，“0”换成换成“1”，“1”换成换成“0” ，那么所得到的表达式就是函数，那么所得到的表达式就是函数Y的对偶式，记的对偶式，记为为Y。这个规则称为对偶规则。这个规则称为对偶规则。注意：注意：注意：注意： (1)对偶规则告诉我们如果一个式子成立，其对偶式也成立；对偶规则告诉我们如果一个式子成立，其对偶式也成立； (2) 对偶规则与反演规则的区别在于原变量与反变量不发生变化。对偶规则与反演规则的区

15、别在于原变量与反变量不发生变化。 我们也不能改变其本身的优先级。我们也不能改变其本身的优先级。26课堂练习课堂练习求求 的反函数和对偶式。的反函数和对偶式。 答案：答案：除了变量正好互除了变量正好互补外，表达式的补外，表达式的结构完全相同。结构完全相同。273 逻辑函数的表示方法及其相互转换逻辑函数的表示方法及其相互转换3.1 逻辑函数的概念逻辑函数的概念3.2 逻辑函数与逻辑问题的描述逻辑函数与逻辑问题的描述3.3 逻辑函数表示方法及相互转换逻辑函数表示方法及相互转换283.1 逻辑函数的概念逻辑函数的概念逻逻辑辑函函数数：如如果果对对应应于于输输入入逻逻辑辑变变量量A、B、C、的的每每一一

16、组组确确定定值值，输输出出逻逻辑辑变变量量Y就就有有唯唯一一确确定定的的值值，则则称称Y是是A、B、C、的逻辑函数。记为：的逻辑函数。记为：在逻辑表达式中，等式右边的字母在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为等称为输入输入逻辑变量逻辑变量，等式左边的字母，等式左边的字母Y称为称为输出逻辑变量输出逻辑变量，字母上面，字母上面没有非运算符的叫做没有非运算符的叫做原变量原变量，有非运算符的叫做，有非运算符的叫做反变量反变量。293.2.2 举例如何运用逻辑函数来描述逻辑问题举例如何运用逻辑函数来描述逻辑问题(1)运用逻辑变量表示不同的事件，规定运用逻辑变量表示不同的事件，规定0，1代表该

17、事件的两代表该事件的两种相反状态。种相反状态。(2)列举真值表。列举真值表。(3)把逻辑函数值为把逻辑函数值为1对应的各变量的与组合相加，便得到标准对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与的与-或逻辑式。或逻辑式。3.2 逻辑函数与逻辑问题的描述逻辑函数与逻辑问题的描述3.2.1 概念概念 逻辑问题逻辑问题：运用逻辑变量构成的逻辑函数来描述实际：运用逻辑变量构成的逻辑函数来描述实际的工程问题，称为逻辑问题的工程问题，称为逻辑问题。30逻辑函数的建立及其表示方法逻辑函数的建立及其表示方法abcdAB楼道灯开关示意图楼道灯开关示意图1. 1. 真值表表示真值表表示开关开关 A灯灯下下下下上上下下上

18、上下下上上上上亮亮灭灭灭灭亮亮开关开关 B开关状态表开关状态表 逻辑真值表逻辑真值表ABL001100010111A、B: 向上向上1 向下向下-0 L : 亮亮-1; 灭灭-0确定变量、函数，并赋值确定变量、函数，并赋值开关开关: : 变量变量 A、B灯灯 : : 函数函数 L逻辑抽象，列出真值表逻辑抽象，列出真值表312、逻辑函数表达式表示。、逻辑函数表达式表示。 逻辑真值表逻辑真值表ABL001100010111逻辑表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻逻辑表达式是用与、或、非等运算组合起来，表示逻辑函数与逻辑变量之间关系的逻辑代数式。辑变量之间关系的逻辑代数式。例：已知某

19、逻辑函数的真值表，试写出对应的逻辑函数表达式。例：已知某逻辑函数的真值表，试写出对应的逻辑函数表达式。32用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻用与、或、非等逻辑符号表示逻辑函数中各变量之间的逻辑关系所得到的图形称为逻辑图。辑关系所得到的图形称为逻辑图。3. 逻辑图表示方法逻辑图表示方法将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号将逻辑函数式中所有的与、或、非运算符号用相应的逻辑符号代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来，代替，并按照逻辑运算的先后次序将这些逻辑符号连接起来，就得到图电路所对应的逻辑图就得到图电路所对应的逻辑图 例：已知某逻辑函数表达式为例：

20、已知某逻辑函数表达式为 ，试画出其逻辑，试画出其逻辑图图33 真值表真值表ABL001100010111 4. 波形图表示波形图表示方法方法用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，用输入端在不同逻辑信号作用下所对应的输出信号的波形图，表示电路的逻辑关系。表示电路的逻辑关系。342.逻辑代数的基本定理逻辑代数的基本定理复复 习习 “与运算与运算”、“或运算或运算”、“非运算非运算”1.逻辑基本运算逻辑基本运算3.逻辑代数的逻辑代数的3大规则：代入规则大规则：代入规则 反演规则反演规则 对偶规则对偶规则4.逻辑问题的逻辑函数的描述：逻辑问题的逻辑函数的描述：(1)运用逻辑变量表示不同

21、的事件，规定运用逻辑变量表示不同的事件，规定0，1代表该事件的两种相反状态。代表该事件的两种相反状态。(2)列举真值表。列举真值表。(3)把逻辑函数值为把逻辑函数值为1对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与对应的各变量的与组合相加，便得到标准的与-或逻辑式。或逻辑式。35(1)真值表真值表这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格这种把所有可能的条件组合及其对应结果一一列出来的表格叫做真值表叫做真值表。输入变量输入变量 A B C.输出输出 Y1 Y2 .遍历所有可能的输入变量的取值组合遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值输出对应的取值(2)逻辑表达式逻辑表达式 将输入将

22、输入/输出之间的逻辑关系用输出之间的逻辑关系用与与/或或/非非的运算式表示就得到逻的运算式表示就得到逻辑式。辑式。3.3.1 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法(1)真值表真值表 (2)逻辑式逻辑式 (3)逻辑图逻辑图 (4)波形图波形图 (5)卡诺卡诺图图3.3 逻辑函数表示方法及相互转换逻辑函数表示方法及相互转换36(4)波形图波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。成时间波形。(3)逻辑图逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。

23、应。373.3.2 真值表与逻辑函数表达式的相互转换真值表与逻辑函数表达式的相互转换真值表真值表 逻辑式：逻辑式： 把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出对应把输入变量取值的所有组合逐个逻辑式中求出对应的函数值的函数值 ，列表后即可得真值表，列表后即可得真值表真真值表表 逻辑式式：(1)(1)找出真找出真值表中使函数表中使函数值等于等于1 1的的输入入变量取量取值组合；合；(2)(2)每每组输入入变量取量取值对应一个乘一个乘积项，其中取，其中取值为1 1的写的写原原变量，取量，取值为0 0的写反的写反变量；量；(3)(3)将乘将乘积项相加即得相加即得逻辑式式。38举例：画出逻辑函数举例：画出

24、逻辑函数 对应的逻辑图。对应的逻辑图。逻辑式式 逻辑图：用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符，即可得逻辑图用图形符号代替逻辑式中的逻辑运算符，即可得逻辑图。11&1ABL39 逻辑式式 逻辑图(1) 用逻辑运算符号代替逻辑图中的图形符号用逻辑运算符号代替逻辑图中的图形符号 ；(2) 从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑函从输入到输出逐级写出每个图形符号对应的逻辑函数表达式。数表达式。 40课堂练习课堂练习将下列逻辑函数式分别用真值表、逻辑图表示将下列逻辑函数式分别用真值表、逻辑图表示 答答：（1）将）将A、B、C的的各种取值组合对应的函数值全部各种取值组合对应的函数值全部填在对应的表格中即

25、得到真填在对应的表格中即得到真值表值表0000000001001101001010110011100100110110011100101111000041（2）逻辑图即用逻辑符号代替逻辑运算符后，所得到的电路）逻辑图即用逻辑符号代替逻辑运算符后，所得到的电路图图11&1ABLC1&424 逻辑函数的代数法化简与卡诺图化简逻辑函数的代数法化简与卡诺图化简4.1 逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简4.2 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简4.3 含有无关项的卡诺图化简含有无关项的卡诺图化简434.1 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简4.1.1 逻辑函数的多种表现形式逻辑函数的多

26、种表现形式说明同一个逻辑函数说明同一个逻辑函数表达式存在多个的逻表达式存在多个的逻辑图。即实现方式为辑图。即实现方式为多种多样的。多种多样的。“与或与或” “或与或与” “与非与非与非与非” “或非或非或非或非” “与或非与或非” 444.1.2 最简与或表达式最简与或表达式(1)采用最简与或表达式的原因：采用最简与或表达式的原因：(2) 第一：可以由真值表直接写出；第一：可以由真值表直接写出； 第二：第二： 转换为逻辑图时，我们较常用与非门，而与转换为逻辑图时，我们较常用与非门，而与或表达式转换为与非门只需要一步即可，也就是运用或表达式转换为与非门只需要一步即可，也就是运用反演律反演律进行变

27、换。进行变换。(1)(2)最简与或逻辑表达式的特点：最简与或逻辑表达式的特点：(2) 第一：包括的第一：包括的与项与项(乘积项乘积项)的个数最少；的个数最少；(3) 第二：每个乘积项中第二：每个乘积项中变量变量的个数最少。的个数最少。 注意：注意：注意：注意： 在没有特别注明化简成什么形式的时候，我们通常在没有特别注明化简成什么形式的时候，我们通常将逻辑函数表达式化简为最简将逻辑函数表达式化简为最简与或与或表达式。表达式。454.1.3 逻辑函数的公式法化简逻辑函数的公式法化简方法：反复应用基本公式和定理，消去多余的乘积项和多余的方法：反复应用基本公式和定理，消去多余的乘积项和多余的因子。因子

28、。化简后电路简单、可靠性高化简后电路简单、可靠性高46逻辑函数的化简方法逻辑函数的化简方法 化简的主要方法：化简的主要方法：公式法（代数法）公式法（代数法）图解法（卡诺图法）图解法（卡诺图法）代数化简法：代数化简法： 运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。运用逻辑代数的基本定律和恒等式进行化简的方法。 并项法并项法: : 47吸收法：吸收法： A + AB = A 消去法消去法： 配项法配项法： A+AB=A+B48)例例 已知逻辑函数表达式为已知逻辑函数表达式为，要求：（要求：（1）最简的与）最简的与-或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；或逻辑函数表达式，并画出相应的逻辑图；（2）

29、仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。）仅用与非门画出最简表达式的逻辑图。解：解：) ) 49例例 试对逻辑函数表达式试对逻辑函数表达式进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。进行变换，仅用或非门画出该表达式的逻辑图。解：解： 50例：请将例：请将Y Y化简为最简与或表达式化简为最简与或表达式51课堂练习课堂练习化简化简解答解答：52代数法化简在使用中遇到的困难代数法化简在使用中遇到的困难代数法化简在使用中遇到的困难代数法化简在使用中遇到的困难1.1.逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所逻辑代数与普通代数的公式易混淆，化简过程要求对所有公式熟练掌握；有公式熟练掌握；2.2.代数法化简

30、无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验代数法化简无一套完善的方法可循，它依赖于人的经验和灵活性；和灵活性；3.3.用这种化简方法技巧强，较难掌握。用这种化简方法技巧强，较难掌握。特别是对代数化简特别是对代数化简后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难后得到的逻辑表达式是否是最简式判断有一定困难。所以，介绍另一种方法所以，介绍另一种方法-卡诺图化简法。卡诺图化简法。534.2 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简4.2.1 最小项的定义及性质最小项的定义及性质最小项最小项：如：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的全果一个函数的某个乘积项包含了函数的全部变量，其中每个变量都以原变量或反变量

31、的形式部变量，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的出现，且仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常称为最小项。一个标准积项，通常称为最小项。举例：两变量举例：两变量A ， B的最小项：的最小项：三个三个变量变量A，B，C他的最小项有哪些？他的最小项有哪些？最小项中只能是每个变量单个的以原变量或反变量的形式最小项中只能是每个变量单个的以原变量或反变量的形式进行与运算进行与运算54三个变量的所有最小项的真值表三个变量的所有最小项的真值表 m0m1m2m3m4m5m6m7最小项的表示：通常用最小项的表示：通常用mi表示最小项，表示最小项，m表

32、示最小项表示最小项,下标下标 i为最小项编号。为最小项编号。 000100000000010100000001000100000100000010000110001000010100000100110000000101110000000155举例：一个四变量的逻辑函数，变量分别为：举例：一个四变量的逻辑函数，变量分别为：A，B，C，D它对应的最小项为它对应的最小项为m10，请写出最小项表达式。，请写出最小项表达式。解答：解答：10对应的二进制数为对应的二进制数为 1010，所以对应的最小项表达式为：所以对应的最小项表达式为：56A B C0 0 0100000000 0 1010000000

33、1 0001000000 1 1000100001 0 0000010001 0 1000001001 1 0000000101 1 100000001l 对于任意一个最小项，对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的只有一组变量取值使得它的值为值为1；l 不同的最小项，使它的不同的最小项，使它的值为值为1的那一组变量取值也的那一组变量取值也不同；不同；l 对于变量的任一组取值，对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为任意两个最小项的乘积为0；l 对于变量的任一组取值，对于变量的任一组取值，全体最小项之和为全体最小项之和为1。(2) (2) 最小项的性质最小项的性质 l若两个的最小项只有

34、一个因若两个的最小项只有一个因子不同，它们的和可以合并，子不同，它们的和可以合并，消去一对因子，留下公共因子。消去一对因子，留下公共因子。例如：例如：逻辑相临逻辑相临逻辑相临逻辑相临574.2.2 逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式逻辑函数的最小项表达式：把逻辑函数化简成逻辑函数的最小项表达式：把逻辑函数化简成最小项之和最小项之和的形的形式。式。方法：利用方法：利用 来补充不存在的变量，将所有的乘积项来补充不存在的变量，将所有的乘积项都转换为最小项的形式。举例：都转换为最小项的形式。举例：58逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简(1)卡诺图的实质与特点卡诺图的实质与特点v实质：将

35、逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来v以以2n个小方块分别代表个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最变量全部最小项的卡诺图。小项的卡诺图。v将逻辑函数用卡诺图表示的目的，即几何位置的相邻也是将逻辑函数用卡诺图表示的目的，即几何位置的相邻也是逻辑的相邻的目的在于可以方便的利用公式逻辑的相邻的目的在于可以方便的利用

36、公式 合合并。利用卡诺图我们可以遵循一定的规律获得最简与或表并。利用卡诺图我们可以遵循一定的规律获得最简与或表达式。达式。59逻辑函数的卡诺图表示法v实质：将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来。v以2n个小方块分别代表 n 变量的所有最小项，并将它们排列成矩阵，而且使几何位置相邻的两个最小项在逻辑上也是相邻的（只有一个变量不同），就得到表示n变量全部最小项的卡诺图。 60v2变量卡诺图变量卡诺图(2) 最小项与最小项与卡诺图的对应卡诺图的对应关系关系v3变量卡诺图变量卡诺图v4变量卡诺图变量卡诺图这样排列就可这样排列就可以使位置相邻以使位置相邻的逻辑也相邻的逻辑也相邻每一小方格代每一小

37、方格代表一个最小项表一个最小项如果通过最小项如果通过最小项编号记忆卡诺图，编号记忆卡诺图，需要注意此顺序需要注意此顺序为为高位在前低位高位在前低位在后在后的条件下的的条件下的顺序。顺序。61v5变量的卡诺图62用卡诺图表示逻辑函数1.将函数表示为最小项之和的形式2.在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1，其余地方添063用卡诺图表示逻辑函数例：64(3)逻辑函数的卡诺图表示方法逻辑函数的卡诺图表示方法举例：用卡诺图表示逻辑函数举例：用卡诺图表示逻辑函数解：解：对应最小项编号为对应最小项编号为1，4，6，8，9，10，11，15的方的方格中填格中填1；其余的；其余的方格中填方格中填0。65课堂

38、练习课堂练习解答：解答：举例：用卡诺图表示逻辑函数举例：用卡诺图表示逻辑函数11100000662.逻辑函数的化简：公式法逻辑函数的化简：公式法 卡诺图法卡诺图法复复 习习真值表真值表 逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图 波形图波形图 卡诺图卡诺图1.逻辑函数的表示方法及相互转换逻辑函数的表示方法及相互转换67卡诺图化简方法卡诺图化简方法(最简与或式最简与或式)将逻辑函数转换为最小项形式，用卡诺图表示将逻辑函数转换为最小项形式，用卡诺图表示运用画圈原则，将所有的运用画圈原则，将所有的1用圈包围用圈包围根据合并最小项的特点，写出乘积项：乘积项可根据圈根据合并最小项的特点，写出乘积项：乘积项可根据圈中对应

39、的相同因子直接写出。中对应的相同因子直接写出。将乘积项相加，得到化简结果将乘积项相加，得到化简结果68v依据：具有相邻性的最小项可合并，消去不同因子。 v在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形中直观地反映出来。69v合并最小项的原则：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子70两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子714. 一个包围圈的方格数要尽可能一个包围圈的方格数要尽可能多多,包围圈的数目要可能少。包围圈的数目要可能少。3.同一方格可以被不同的包围圈同一方格可以被不同的包围圈重复包围多次，但新增的包围

40、重复包围多次，但新增的包围圈中一定要有原有包围圈未曾圈中一定要有原有包围圈未曾包围的方格。包围的方格。1.包围圈内的方格数一定是包围圈内的方格数一定是2n个，且包围圈必须呈矩形。个，且包围圈必须呈矩形。2.循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻。画包围圈时应遵循的原则画包围圈时应遵循的原则画包围圈时应遵循的原则画包围圈时应遵循的原则X72举例举例1：请运用卡诺图化简：请运用卡诺图化简 解：解：第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式第二步：将逻辑函数表达式用卡诺图表示第二步：将逻辑函数表

41、达式用卡诺图表示10 1 0 1 1 01 00ABC第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈11111100731011111100 1 0 1 1 01 00ABC画圈方案一：画圈方案一：第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：画圈方案二：画圈方案二：1011111100 1 0 1 1 01 00ABC同样满足化简原则，结同样满足化简原则，结果为：果为：注意注意：只要满足：只要满足化简原则，结果化简原则，结果可以不一样！可以不一样！根据合并最小项的特点，根据合并最小项的特点，写出乘

42、积项乘积项可根据写出乘积项乘积项可根据圈中对应的相同因子直接写出。圈中对应的相同因子直接写出。74思考思考1011111100 1 0 1 1 01 00ABC这样圈对吗？这样圈对吗？举例举例2：请运用卡诺图化简：请运用卡诺图化简： 第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式第一步：将逻辑函数表达式转换为最小项和的形式解：解：第二步：将逻辑函数表达式用卡诺图表示第二步：将逻辑函数表达式用卡诺图表示7500 1 0 1 1 01 00ABCD011110第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈第三步：运用画圈原则，将相邻的可以合并的方格画圈第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：

43、第四步：将乘积项相加得到化简结果，所以结果为：111111111111000076思考思考本题若用例本题若用例1的方法将逻辑函数化简为最小项和的形式非常的方法将逻辑函数化简为最小项和的形式非常麻烦，如何能够减少麻烦呢？麻烦，如何能够减少麻烦呢？我们可以直接在卡诺图中表示逻辑函数。我们可以直接在卡诺图中表示逻辑函数。1001100100 1 0 1 1 01 00ABCD1111111101111077例例 3 用卡诺图化简用卡诺图化简逻辑函数函数1111111111111111111178 用卡用卡诺图化化简逻辑函数函数1111111111课堂练习课堂练习79化简依据：化简依据： 合并最小项的

44、特点：合并最小项的特点：两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去两对因子对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子八个相邻最小项可合并为一项，消去三对因子回顾思考，加深印象回顾思考，加深印象回顾思考，加深印象回顾思考，加深印象80相邻的含义相邻的含义相邻的含义相邻的含义 对于两个变量，相邻指左右相邻，上下相邻；对于两个变量，相邻指左右相邻，上下相邻；于三个变量，除了以上情况最左边与最右边同行的也算相邻；于三个变量，除了以上情况最左边与最右边同行的也算相邻；10111

45、11010 1 0 1 1 01 00ABC对于四个变量，除了以上情况，对于四个变量，除了以上情况，四角也算相邻。四角也算相邻。1011110100 1 0 1 1 01 00ABCD10111101011110注意注意81卡诺图化简最简卡诺图化简最简与或非与或非式式用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数运用画圈原则，将所有的运用画圈原则，将所有的0用圈包围用圈包围写出与项：找到圈中相同因子或后即可得到，写出与项：找到圈中相同因子或后即可得到，1对应对应原变量，原变量，0对应反变量对应反变量。将与项相或非后，得到最简与或非表达式将与项相或非后，得到最简与或非表达式 实质上是圈实质上是圈0后得

46、到反函数的最简与或式，取后得到反函数的最简与或式，取非后得到原变量即得到最简与或非式非后得到原变量即得到最简与或非式 82例：化简为最简与或非表达式例：化简为最简与或非表达式 00 1 0 1 1 01 00ABCD0111101111111111110000 83卡诺图化简最简卡诺图化简最简或与或与式式用卡诺图表示逻辑函数用卡诺图表示逻辑函数运用画圈原则，将所有的运用画圈原则，将所有的0用圈包围用圈包围写出或项：找到圈中相同因子或后即可得到，写出或项：找到圈中相同因子或后即可得到，0对应对应原变量，原变量，1对应反变量对应反变量。将或项相与，得到最简或与表达式将或项相与，得到最简或与表达式8

47、4例例 用卡诺图化简用卡诺图化简逻辑函数成最函数成最简或与表达式或与表达式0000010111011100 1 0 1 1 01 00ABCD0111101185一、无关项的概念一、无关项的概念某些最小项某些最小项取取0或取或取1并不并不影响逻辑电路的概念功能，或者根本不影响逻辑电路的概念功能，或者根本不可能出现，这些最小项称为任意项，也称为无关项，约束项。可能出现，这些最小项称为任意项，也称为无关项，约束项。它们通常用它们通常用“d”或或“”或或“”表示。表示。举例：用举例：用8421BCD码表示十进制数中的码表示十进制数中的09这10个数字。个数字。 8421BCD码码十进制数十进制数00

48、000000110010200113010048421BCD码码十进制数十进制数01015011060111710008100198421BCD码码十进制数十进制数101010111100110111101111无关项无关项无关项无关项4.3 4.3 具有无关具有无关具有无关具有无关项项的的的的逻辑逻辑函数及其化函数及其化函数及其化函数及其化简简dddddd86例例: 要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十要求设计一个逻辑电路，能够判断一位十进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数进制数是奇数还是偶数，当十进制数为奇数时，电路输出为时，电路输出为1，当十进制数为偶数时，电，当十进制数为偶数时，电路

49、输出为路输出为0。11111110110111001011101011001010001011100110101010010010011000101000100000LABCD解解:(1)列出真值表列出真值表(2)画出卡诺图画出卡诺图(3) 卡诺图化简卡诺图化简87化简方法基本上与学过的方法一样；区别在于化简方法基本上与学过的方法一样；区别在于无关项的处理无关项的处理。无关项的处理方法无关项的处理方法无关项的处理方法无关项的处理方法 由于无关项的取值对于逻辑函数的结果并无实质影响，因此由于无关项的取值对于逻辑函数的结果并无实质影响，因此我们可以对它取值为我们可以对它取值为0也可以取值为也可以取

50、值为1，关键在于是否能够使化，关键在于是否能够使化简结果更加简单：即乘积项个数最少，乘积项中的因子最少。简结果更加简单：即乘积项个数最少，乘积项中的因子最少。 三、含有无关项的逻辑函数的化简三、含有无关项的逻辑函数的化简00 1 0 1 1 01 00ABCD011110000111110dddd0dd88101100000 1 0 1 1 01 00ABCD01011110将乘积项相加得到化简结果将乘积项相加得到化简结果由于圈的方法不同，结果也可以是：由于圈的方法不同，结果也可以是：ddddddd例例1给定约束条件为：给定约束条件为：89解答解答1：请运用卡诺图分别化简成最简与或式，与或非式

51、，或与式请运用卡诺图分别化简成最简与或式，与或非式，或与式1dd11dd100 1 0 1 1 01 00ABCD0d000d10011110最简与或式为：最简与或式为：例例2901dd11dd100 1 0 1 1 01 00ABCD0d000d10011110解答解答2：与或非式与或非式最简与或非式为：最简与或非式为：91解答解答3：最简或与式为：最简或与式为：1dd11dd100 1 0 1 1 01 00ABCD0d000d1001111092画出下式的卡诺图画出下式的卡诺图0 00 00 00 00 0解解1. 1. 将逻辑函数化为最小项表达式将逻辑函数化为最小项表达式2. 2. 填

52、写卡诺图填写卡诺图93011 1111111111110例: 用卡诺图化简011 1111111111110圈圈0圈圈194课后作业课后作业3.1.33.1.73.2.295本章小结本章小结本章小结本章小结1数制与编码数制与编码2逻辑代数基础逻辑代数基础3逻辑函数的表示方法及其相互转换逻辑函数的表示方法及其相互转换4逻辑函数的公式法化简与卡诺图化简逻辑函数的公式法化简与卡诺图化简961数制与编码数制与编码1.1 数制数制:计数的规则计数的规则多位数码的每位构成和进位规则多位数码的每位构成和进位规则 十进制；二进制；八进制；十六进制；十进制；二进制；八进制；十六进制；1.2 数制转换数制转换 其

53、他进制其他进制 十进制：按权值展开后相加十进制：按权值展开后相加 十进制十进制 二进制：整数部分除二进制：整数部分除2取余取余 小数部分乘小数部分乘2取整取整 二进制二进制 八进制八进制 二进制二进制 十六进制十六进制 1.3 编码：用二进制数表示一定的信息（编码：用二进制数表示一定的信息（理解理解） 有权码：有权码：8421BCD码码 2421码码 无权码：可靠性代码：格雷码无权码：可靠性代码：格雷码 余余3码码 972 逻辑代数基础逻辑代数基础2.1 逻辑代数的基本概念逻辑代数的基本概念 逻辑代数是由逻辑常量、变量和逻辑运算构成的代数逻辑代数是由逻辑常量、变量和逻辑运算构成的代数 逻辑常量

54、为逻辑常量为0或或1，逻辑变量的取值范围为，逻辑变量的取值范围为0或或1 逻辑运算逻辑运算 基本运算基本运算 与、或、非与、或、非 常用运算：与非、或非、同或、异或常用运算：与非、或非、同或、异或 描述逻辑关系：真值表描述逻辑关系：真值表 逻辑表达式逻辑表达式 逻辑符号逻辑符号 2.2 逻辑代数的基本公式、定理和规则逻辑代数的基本公式、定理和规则 (1)基本公式和定理（基本公式和定理（记忆记忆） (2)规则：代入规则规则：代入规则 反演规则反演规则（灵活运用灵活运用）0 1 与与 或或 原变量原变量 反变量反变量 对偶规则对偶规则（灵活运用灵活运用） 0 1 与与 或或 983 逻辑函数表示方

55、法及相互转换逻辑函数表示方法及相互转换3.1 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 逻辑函数：在逻辑代数中，一个函数对应任意一组确定的逻辑变量逻辑函数：在逻辑代数中，一个函数对应任意一组确定的逻辑变量的取值就有一个确定的结果。的取值就有一个确定的结果。 5种表示方法：真值表种表示方法：真值表 逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图 波形图波形图 卡诺图卡诺图3.2 逻辑函数与逻辑问题的描述逻辑函数与逻辑问题的描述 首先用逻辑符号表示不同信息；然后根据题意列举真值表；然后首先用逻辑符号表示不同信息；然后根据题意列举真值表；然后转换为逻辑表达式。转换为逻辑表达式。3.3 逻辑函数表示方法的相互转换逻辑函数表示

56、方法的相互转换 真值表真值表 逻辑式逻辑式 逻辑式逻辑式 逻辑图逻辑图99真值表输入变量A B C.输出Y1 Y2 .遍历所有可能的输入变量的取值组合输出对应的取值100v逻辑式 将输入/输出之间的逻辑关系用与/或/非的运算式表示就得到逻辑式。v逻辑图 用逻辑图形符号表示逻辑运算关系，与逻辑电路的实现相对应。v波形图 将输入变量所有取值可能与对应输出按时间顺序排列起来画成时间波形。1011024 逻辑函数的代数法化简与卡诺图化简逻辑函数的代数法化简与卡诺图化简4.1逻辑函数的代数法化简逻辑函数的代数法化简 逻辑函数通常化简为最简与或表达式。要求逻辑函数通常化简为最简与或表达式。要求: 包括的与

57、项包括的与项(乘积项乘积项)的个数最少；每个乘积项中变量的个数最少的个数最少；每个乘积项中变量的个数最少。 公式法化简：反复利用公式、定理进行化简。公式法化简：反复利用公式、定理进行化简。4.2 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的卡诺图化简 (1)最小项：包含所有变量，并只能以原变量或反变量的形式出现一次。编最小项：包含所有变量，并只能以原变量或反变量的形式出现一次。编号按照原变量为号按照原变量为1，反变量为，反变量为0的二进制数所对应的十进制数。的二进制数所对应的十进制数。 (2)卡诺图化简：实质是利用逻辑相邻项的可合并性卡诺图化简：实质是利用逻辑相邻项的可合并性 第一步：用卡诺图表示逻辑函数表

58、达式第一步：用卡诺图表示逻辑函数表达式 第二步：将相邻项画圈第二步：将相邻项画圈 第三步：根据圈中的相同因子写出乘积项，相加后可得最简与或式。第三步：根据圈中的相同因子写出乘积项，相加后可得最简与或式。画圈原则：画圈原则： 方格数方格数2n个，包围圈必须呈矩形；循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角个，包围圈必须呈矩形；循环相邻特性包括上下底相邻，左右边相邻和四角相邻；同一方格可以被重复包围，但一定要有未曾包围的方格；圈的方格数要尽可能相邻；同一方格可以被重复包围，但一定要有未曾包围的方格；圈的方格数要尽可能多多,包围圈的数目要可能少包围圈的数目要可能少103最小项举例：v两变量A, B的最小项v三变量A,B,C的最小项1044.3 含有无关项的卡诺图化简含有无关项的卡诺图化简 无关项是否圈主要看它是否能构使得与或式更简。无关项是否圈主要看它是否能构使得与或式更简。105