线性代数考研辅导讲义

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1、第一讲第一讲第二讲第二讲第三讲第三讲第四讲第四讲目录行列式与矩阵行列式与矩阵-1-12121向量的线性相关性，矩阵的秩向量的线性相关性，矩阵的秩-22-223434线性方程组线性方程组-35-354949相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型-50-506868第一讲第一讲行列式与矩阵行列式与矩阵一、内容提要一、内容提要（一）（一）n n 阶行列式的定义阶行列式的定义a11aD 21an1（二）行列式的性质（二）行列式的性质a12a22an2a1na2n annj1j2jn(1)( j1j2jn)a1j1a2 j2anjn1行列式与它的转置行列式相等，即D DT；2交换行列式的两行（列） ，行列式变

2、号；3行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来；4行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零；6若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即a11D ai1 bi1an1a11则a12an2a12a12a1na1nai2 bi2ain bin，a11an1anma12b12a1nbinD ai1an1ain bi1an2annan2ann7将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。（三）行列式依行（列）展开（三）行列式依行（列）展开1余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉 n 阶行列式 D 中元素aij

3、所在的第 i 行和第 j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的 n-1 阶行列式称为元素aij的余子式，记为Mij（2）代数余子式的定义aij的代数余子式的记为Aij, Aij(1)i jMij2n 阶行列式 D 依行（列）展开（1）按行展开公式（2）按列展开公式DaijAkj0j1ni ki k（四）范德蒙行列式（四）范德蒙行列式DaijAis0i1nj sj s1x1D x12x1n1（五）矩阵的概念（五）矩阵的概念1x22x21xn2xn1i jn(xj xi)n1n1x2xn1矩阵的定义由 mn 个数aij(i 1,2,m; j 1,2,n)组成的 m 行 n 列的矩形数表 a11a

4、21Aam1称为 mn 矩阵，记为A (aij)mna12a22am2a1na2namn2特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵；（3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵；（4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1 的对角阵，记为 E；（6）零矩阵：元素全为零的矩阵。3矩阵的相等B (bij)mn设A (aij)mn;若aij bij(i 1,2,m; j 1,2,n)，则称 A 与 B 相等，记为 A=B。（六）矩阵的运算（六）矩阵的运算1加法（1）定义：设A (Aij

5、)mn,B (bij)mn，则C A B (aij bij)mn（2）运算规律 A+B=B+A；（A+B）+C=A+（B+C） A+O=A A+（-A）=0， A 是 A 的负矩阵2数与矩阵的乘法（1）定义：设A (aij)mn,k 为常数，则kA (kaij)mn（2）运算规律 K (A+B) =KA+KB, (K+L)A=KA+LA, (KL) A= K (LA)3矩阵的乘法（1）定义：设A (aij)mn,B (bij)np.则AB C (Cij)mp,其中Cijak1nikbkj（2）运算规律(AB)C A(BC)；A(B C) AB AC(B C)A BA CA（3）方阵的幂定义：A

6、 (aij)n，则Ak AAK运算规律：A A Amnmn；(Am)n Amn（4）矩阵乘法与幂运算与数的运算不同之处。AB BAAB 0,不能推出A 0或B 0;(AB)k Ak Bk4矩阵的转置（1）定义：设矩阵 A=(aij)mn，将 A 的行与列的元素位置交换，称为矩阵A 的转置，记为AT(aji)nm，（2）运算规律(AT)T A;(A B)T AT BT；(AB)T BTAT。(kA)T KAT;（3）对称矩阵与反对称矩阵若AT A,则称 A 为对称阵；AT A，则称 A 为反对称阵。5逆矩阵（1）定义：设A 为 n 阶方阵，若存在一个n 阶方阵 B，使得 AB=BA=E，则称 A

7、 为可逆阵，B 为 A 的逆矩阵，记作B A1。（2）A 可逆的元素条件：A 可逆 A 0（3）可逆阵的性质若 A 可逆，则 A-1也可逆，且(A-1)-1 =A；若 A 可逆，k0，则 kA 可逆，且(kA)1若 A 可逆，则 AT也可逆，且(AT)111A；k (A1)T；若 A，B 均可逆，则 AB 也可逆，且(AB)1 B1A1。（4）伴随矩阵定义：A*(Aij)Tn，其中Aij为aij的代数余子式，性质：i）AA* A*A AE；iii）(A*)* An2n1ii）A* A；A；iv） 若 A 可逆， 则A*也可逆， 且(A*)1 (A1)*1AA用伴随矩阵求逆矩阵公式：A11*AA

8、（七）方阵的行列式（七）方阵的行列式1定义：由n 阶方阵 A 的元素构成的 n 阶行列式（各元素的位置不变）叫做方阵A 的行列式，记为A或 detA。2性质：（1）AT A，（2）kA knA，（3）AB A B，（4）A11A（八）特殊矩阵的行列式及逆矩阵E1 E；1单位阵 E：E 1;2数量矩阵 kE：kE kn;当k 0时,(kE)13对角阵：1Ek1 2,n*则 12n; 1111若12n 0，则21 n4上（下）三角阵*a11a22设A,则 A a11a22annann若A 0，则A1仍为上（下）三角阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵（九）矩阵的初等变换与初等矩阵1矩阵的初等变换（1）

9、定义：以下三种变换交换两行（列） ；某行（列）乘一个不为零的常数k；某行（列）的 k 倍加到另一行（列）上去，称为矩阵的初等变换。2初等矩阵（1）定义：将 n 阶单位阵 E 进行一次初等变换得到的矩阵称为初等阵；交换 i,j 两行（列） ，记为 E(i, j)；第 i 行（列）乘不为零的常数k 记为为 E(i(k);第 j 行的 k 倍加到第 i 行上去，记为 E(j(k)i;（2）初等阵性质初等阵是可逆阵，且逆阵仍为同型的初等阵；而E(ij)1 E(ij)E( j(k)i)1 1 E(i(k)1 E(i)k E j(k)i（3）方阵 A 可逆与初等阵的关系若方阵 A 可逆，则存在有限个初等阵

10、P1,P2,Pt，使A P1P2Pt，（4）初等阵的行列式E(ij) 1,E(i(k) k,E( j(k)i) 1（5）初等阵的作用：对矩阵 A 进行一次初等行（列）变换，相当于用相应的初等阵左（右）乘矩阵A，且E(ij)A A,E(i(k)A k A,E( j(k)i) A3矩阵的等价（1）定义：若矩阵 A 经过有限次初等变换变到矩阵B，则称 A 与 B 等价，（2）A 与 B 等价的三种等价说法，A 经过一系列初等变换变到B；存在一些初等阵E1,Es,F1,Ft，使得EsE1AF1Ft B存在可逆阵 P，Q，使得 PAQ=B（十）分块矩阵（十）分块矩阵1分块矩阵的定义以子块为元素的形式上的

11、矩阵称为分块矩阵。2分块矩阵的运算（1）设 A，B 为同型矩阵，采用相同的分法有 A11AA21As1则A1tA2tAstB11BB 21Bs1B1tB2tBstA B (Aij Bij)（2）kA (kAij)(i 1,2,s; j 1,2,t)(i 1,2,s; j 1,2,t)（3）设A (aij)mn,B (bij)np,分块成A11A1tB11B1rAB AABBsttrs1t1其中Ai1, Ai2, Ait的列数分别等于B1j,B2 j,Btj的行数，则AB C (cij)sr，其中cijAk1tikBkj(i 1,2,3,s; j1,2,r)3准对角阵（1）定义：形如A1A2AA

12、i为 ni阶方阵的矩阵称为准对角阵。As（2）准对角阵的行列式及逆矩阵A1A2设A，则A A1A2 As；若每个 Ai可逆，则 A 可逆，且AsA1A111A21As（3）特殊的准对角阵A111，若 A , A 可逆，则A121A2A21A1A21（ii）A，若 A , A 可逆，则A12A12A1BD（iii）A OC是B 0, C 0,则 A B C 0A1（i）A且B1A01 B1DC11C B0（iv）A DC, B 0, C 0，则B10AC1DB1C11（十一）矩阵的秩（十一）矩阵的秩1，定义矩阵 A 中存在一个 r 阶子式不为零，而所有r+1 阶子式全为零，则称矩阵的秩为 r，记

13、为R(A) r2，矩阵秩的求法：初等变换不改变矩阵的秩。即利于初等变换求矩阵的秩。二、重点二、重点（一）计算行列式；（一）计算行列式；（二）矩阵的乘法；（二）矩阵的乘法；（三）矩阵的逆；（三）矩阵的逆；（四）矩阵的初等变换。（四）矩阵的初等变换。（五）矩阵的秩。（五）矩阵的秩。三、典型例题三、典型例题（一）行列式的计算（一）行列式的计算数字型行列式的计算1，用定义计算行列式例 1计算行列式00Dn bn1a1(n2(n1)(1)2000a20000b20b100an1000bna3an2解：由于前 n-1 行都只有一个元素不为 0，由行列式定义知 Dn只含一项：b1b2bn，且符号为(1)(n

14、1,1,n),从而Dn(n1)(n2)(1)2b1b2bn。2用行列式性质计算（重点）例 2 计算下列行列式1234234134124123解 解法一：123412341234122341010127013412270281000440041230710130043600解法二：123410234123412323411134121034110412101341141200224123101231123011例 3计算下列行列式abc246427327（1）a2b2c2;(2) 1014543443b ca ca b342721621abcabc解（1） ：a2b2c2a2b2c2b ca c

15、a ba b ca b ca b cabc111 (a b c)a2b2c2 (a b c) abc111a2b2c2 (a b c)(b a)(c a)(c b)342744160040412332100110041000434160424642732710004273271000100327（2）1014543443 2000543443 200010044334272162110007216211000100621113271132710521443 10501 211 2941051162100294例 4计算下列 n 阶行列式x aaDnaa解ax aaaaaaaaax ax aDn

16、x (n 2)a(x 2a)n1说明：一定要注意此种形式的行列式；例如：axxxaxDnxxa xxxxxn1xa (n 1)x(a x)a01Dn 111aDn aaa11Dn 11解：1011a1aa1a2001101aa1a10111 (1)n1(n 1)0aaa 1 (n 1)a(1 a)n111000100 ai 0(i 1,2,n)an 例 5计算 n 阶行列式a30 a1Dna0i2n1i1a2101 100 (a1000a300 000ani2n1)(a2an)ai1 a例 6计算行列式12 a3412a3 a4134123 a412a3 a41234 a1234 a1234

17、aa 10a 10a 10a 102342 a3423 a41111 (a 10)0a0000a0000a。23411 a解：D42342 a341234 a (a 10)22 a34 (a 10)a33利用行列式展开计算例 7设行列式3040D 252320200 7 22求第四行各元素的余子式之和的值。解：由行列式展开知，D 的第四行各元素余子式之和的值为行列式3040D12012 712020的值11因为将 D1接第四行展开得D1 (1)A41 A42 (1)A43 A44 (1)(1)41M41 (1)42M42 (1)(1)43M43 M41 M42 M43 M443所以计算D102

18、 714200202013 (7)(1)3224203400012 744211111 73410 7 284444从而 D 中第四行各元素的余子式之和的值为-28。说明：若求 D 中第四行各元素代数余子式之和呢？例 8计算 n 阶行列式x00y解：将行列式按第一列展开得xy00yx000y0000x000yxDn y y(1)n1x00y000x00y xn (1)n1ynDn x(1)1100x0y00x 说明：请注意这种形式的行列式！4数学归纳法例 9证明行列式x0Dn1x0an1010an200xa200 xna1xn1an1xan1xa10an证明：当 n=1 时，D1 xa1结论成

19、立。当 n=2 时，D2xa21 x2a1xa2结论成立。xa100xa200 xDk1(1)k1(1)k1ak1xa1假设n k 1时结论成立，下证n k时结论成立。x0Dk0ak1x0ak1010ak2由归纳原理知结论成立。含参数行列式的计算 x(xk1a1xk2 x a1xkk1ak2xak1)ak2kak2x ak1xa3例 10计算行列式D 111151。133解：D 1111 202 10151151 ( 2) 1511311311310052 ( 2) 152( 2) ( 2)(3)(6)1 411 43例 11计算三阶行列式D k 4 221 k。 2 33解：D 22 k10

20、 2211 2 22 k3k 411 2 21 2 k (1)013213 (1)010 k (1)(1)20抽象行列式的计算1例 12设 A, B 均为 n 阶方阵，A 2, B 3,求2A*B1解2A B*1 22A B11 4A B11 4An1B122n1 3例 13设三阶矩阵A22,B 2,其中,2,3都是三维行向量，且已知333A 18, B 2，求A B。11 22 22 22 2B 22 2B A 2B 2解：A B 2332333r333例 14设 A 为三阶方阵，1，2，3是三维线性无关的列向量，若A112，A223，A331，则行列式A 。解：法一利用分块矩阵，有A(12

21、3) (A1A2A3) (12,23,31)两边取行列式有A123122331 2123 2123 23 212331121223又1，2，3线性无关，12从而得A 2法二A(123 03) (122331)1013)110011 (12两边取行列式得A123121013110011又121013 0A 110 2011法三A(123) (122331)1013)110011 (12令P 1,2,3由1，2，3线性无关知 P 可逆101从而P1AP 110011101由相似的性质知A 110 2011（二）矩阵的运算（二）矩阵的运算1，矩阵的乘法a11例 15 设A a21a31解：a12a2

22、2a32a13000a23，B k00求AB及BA.000a33a11a12a13 000ka1200AB a21a22a23k00ka2200a31a32a33000ka320000 000 a11a12a13 0BA k00a21a22a23ka11ka12ka13000a0031a32a330例16 计算a11(x, y,z)a21a31a12a22a32a13 xa23ya33z a11xa12ya13z a xa y a zxyz212223解： 原式a xa ya z323331 a11x2a22y2a33z2(a12a21)xy(a13a31)xz (a23a32)yz2 方阵的

23、幂例 17（1） 设（2） 设12 1,A T， 求An；121,212, AT求An； 369 46求An。（3） 设A 251015解（1） 容易计算得1T1212 61 1121 A T21212421121 且A2 (T)(T) (T)T 6T 6A;A A A 6AA 6A 6(6A) 6 A利用结合律可得3222An (T)(T)(T) (T)(T)(T)T121 6n1A 6n12421211 T（2）由2122 2有 1 An (T)(T)(T) T(T)(T)(T)212 2n1(T) 2n1A 2n1424212 3 （3） 易知A 2123， 若记325,1235 3 T

24、T则A ,因有1232 22由结合律知5 369 A (22)n1A (22)n124651015010 例 18设A100，B P1AP，其中 P 为三阶逆阵，求B2004 2A2001解B P1APB2004 P1A2004P010 100又A2100010001001A2004 (A2)1002 E2故B2004300 2A2 E 2A2030001（三）伴随矩阵（三）伴随矩阵11133例 19已知A 011求 A 中所有元素的代数余子式之和Aiji1j1001解由及Ai1j133ijA11 A12 A13 A21 A22 A23 A31 A32 A33 A11*A A12A13A21A

25、22A23A31A32知，只需求出 A 的伴随矩阵A*即可得结果。A33方法一用定义求A*得110 *A 011001所以Ai1j133ij111+(-1)+(-1)=1;方法二因为A 1，故 A 可逆。用公式A* A A1又111100100110 （AE）011010010011001001001001110 110 1所以A011从而A* A A011001001故有Ai1j133ij111+(-1)+(-1)=1。（四）可逆矩阵（四）可逆矩阵23 2例 20设A110，求A1121解： 方法一（用伴随矩阵求A1）因为A1110101123 1，A12 1，AB1，A21 4，21111

26、221A232211 5，A22232323 12 6，A3110 3，A32 10 3，A223311 42231101 40又A 110 121 051 11212230433 1 43故A11AA* 141531531 6 4164方法二（用初等行变换求A1） 223100 1100101100AE1100101210011011011210012231000431 21001 431001 43010153010153001 1 6 4001164A11 43153164例 21已知 A, B 为三阶方阵，且满足2A1B B 4E，其中 E 为三阶单位阵（1）证明矩阵 A-2E 可逆；

27、1 2（2）若B 0120，求矩阵 A。002解（1）由等式2A1B B 4E，两边左乘 A得2B AB 4AAB 4A 2B 0(A 2E)(B 4E) 8E0101即(A 2E)B 4E E,A 2E可逆，818（2）由（1）知A(B 4E) 2B且(A 2E)1(B 4E)A 2B(B 4E)1又(B 4E)114180143800 01220 0A11 200 2（五）矩阵方程（五）矩阵方程例 22设 3 阶矩阵X满足等式AX B2X,其中311110A 012,B 102求矩阵X。004202解： 由AX B2X,得(A2E)X B又111A2E 012因为A2E 2 0,A2E可逆

28、。0023112X (A2E)1B,而(A2E)101110021111则X (A2E) B 1001011001例 23设矩阵 A 的伴随矩阵A*10034 阶单位阵，求矩阵 B。解（方法一）由A* An10000，且ABA1 BA1 3E，其中 E 为1008，有A8，得A 23用 A 右乘矩阵方程的两边，得AB B 3A用A*左乘两边得A*AB A*B 3A*A2EB A*B 6E2E A*B 6E于是2E A*可逆， B 6(2E A*)1计算得60B 60000 6000603011（方法二）同前有AB B 3A，即B 3A EAAA* A E有A A A* 1 2 A* 10 22

29、0A 2003400200 0014于是A E10 110 200340 0010304000110200 100010 410300601B 3A EA600 600060301（六）初等变换与初等矩阵（六）初等变换与初等矩阵例 24设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第 1 列的-1 倍加到110第 2 列得C，记P 010，则001（A）C P1AP（C）C PTAP（B）C PAP1（D）C PAPT解选（B）由初等变换与初等矩阵之间关系知110PA BB010C001110C PA010 PAP1001010例 25计算10000120071

30、230104561007890012006010解令P 100则P2007 PP2006 E001456 原式123789例 26设 A 为 n 阶可逆阵，交换 A 的第 i 行与第 j 行后得到 B。（1）证明 B 可逆； （2）求 AB-1解： （1）由初等变换与初等阵的关系知E(ij)A B又 E(ij)A E(ij) A A B,又 A 0, B 0即B可逆。（2）E(ij)A BA E(ij)1B E(ij)B而AB1 E(ij)BB1 E(ij)（七）矩阵的秩（七）矩阵的秩a11例 27设三阶方阵A 1a1，试求 R（A）.11aa11解A 1a1 (a2)(a1)211a1a 1

31、,a 2时，A 0,R(A) 31 1 12a 1A 0A 1 1 1 R（A）=1；1 1 1211 3a 2A 0A 121R（A）=2。11212例 28设A2340134502B 4 01则R(BA 2A) 234564567解RBA 2A RB 2EA2124 又B 2E 040100510006故RBA 2A R(A)123412又A234511345614567111R(BA 2A) 200310004B 2E可 逆341111R(A) 211第二讲第二讲向量的线性相关性，矩阵的秩向量的线性相关性，矩阵的秩一、内容提要一、内容提要（一）（一）n n 维向量维向量1定义：称 n 个

32、实数a1,a2,an组成的一个有序数组 (a1,a2,an)为实数集 R上的 n 维向量。aiR称为的第 i 个分量，分量的个数称为的维数。2零向量：分量全是 0 的向量称为零向量，记为0。3行向量与列向量：写成一行 (a1,a2,an)的向量称为行向量。写成一列 (a1,a2,an)T的向量称为列向量。（二）向量的线性运算（二）向量的线性运算1向量的相等n 维向量 (a1,a2,an)， (b1,b2,bn)，若aibi(i 1,2,n)，则称与相等，记为=。2向量的加法（1）定义：设 (a1,a2,an), (b1,b2,bn)则称(a1 b1,a2 b2,an bn)为向量与的和，记为

33、(a1 b1,a2 b2,an bn)（2）负向量与减法称为向量的 (a1,a2,an)负向量，称 () (a1b1,a2b2,anbn)为减。（3）运算规律交换律：;结合律：() ()3数与向量的乘法（1）定义： (a1,a2,an),kR,则称(ka1,ka2,kan)为数 k 与向量的乘积，记为k (ka1,ka2,kan)（2）运算规律k() k k(k l) k l(kl) k(l)（三）向量组的线性相关与线性无关（三）向量组的线性相关与线性无关1向量的线性组合（线性表示）对 n 维向量1,2,s和，若存在一组数k1,k2,ks，使得 k11 kss，则称是1,2,s的一个线性组合。

34、或称可由1,2,s线性表示。2向量组的等价（1）定义：若向量组1,2,s的每一个向量都可由向量组1,2,t线性表示，且向量组1,t的每一个向量也可以由向量组1,2,s线性表示， 则称两个向量组等价。（2）性质反身性：向量组1,2,s与自身等价；对称性：若向量1,s与向量组1,t等价，则向量组1,t与向量组1,s等价；C 1,2,n等价，则向量组 A 与向量组C等价。传递性：向量组A1,S与向量组B 1,t等价，且向量组 B 与向量组3向量的线性相关与线性无关（1）定义：对 n 维向量1,2,s，若存在一组不全为零的数k1,k2,ks，使k11 ks 0，则称向量组1,2,s线性相关。否则，称1

35、,2,s线性无关。（2）性质向量组1,2,s线性相关的充要条件是其中存在一个向量可由其余向量线性表示。向量组1,2,s线性无关，且1,2,s，线性相关，则可唯一地由1,2,s线性表示。对 n 维向量1,2,m，若 mn，则1,2,m必线性相关。向量组1,2,s线性无关，则其中任一部分向量组必线性无关。向量组的部分组线性相关，则此向量组必线性相关。线性无关的向量组的每个向量都添加m 个分量后仍线性无关。若向量组1,2,s线性无关，且可由1,2,t线性表示，则为有s t。 （若s t,则1,s为线性相关）（四）向量组的秩与矩阵的秩（四）向量组的秩与矩阵的秩1向量组的极大无关组设向量组1,2,s的部

36、分组i1,i2,ir满足条件：（1）i1,i2,ir线性无关；（2）1,2,s中的任一向量均可由它们线性表示，则称向量组i1,i2,ir为向量组1,2,s的一个极大无关组。2向量组的秩向量组的极大无关组所含向量的个数称为向量组的秩，记为R(1,2,s)。3矩阵的秩与向量组的秩的关系矩阵的秩=它的行向量组的秩=它的列向量组的秩4等价的向量组的性质（1）等价的向量组有相同的秩；（2）等价的线性无关的向量组含向量的个数相等；（3）向量组与它的极大无关组等价；（4）向量组A1,s与B 1,t等价的充要条件是R(A) R(B) R(C)，其中C 1S,1,t（五）向量空间（数字二，三，四不作要求）（五）

37、向量空间（数字二，三，四不作要求）1 向量空间的定义设 V 是 n 维向量的集合，如果V 非空，且对于向量的加法和数乘两种运算封闭，则称V 为向量空间。2基设 V 为向量空间，如果 n 个向量1,2,nV，且满足（1）1,2,n线性无关；（2） V 中任一向量都可由1,2,n线性表示， 则称向量1,2,n为向量空间 V的一个基。n 称为向量空间 V 的维数，记为dimV n，并称 V 为 n 维向量空间。3坐标设1,2,n是 n 维向量空间 V 的一个基，对任一元素V，总有且仅有一组数x1,x2,xn使 x11 x22 xnnx1,x2,xn称为在基1,2,n下的坐标，记为 (x1,x2,xn

38、)4基变换与过渡矩阵（1）基变换与过渡矩阵设1,2,n与1,2,n都是 n 维向量空间 V 的基，且1 a111 a212 an1n2 a121 a222 an2nn a1n1 a2n2 annn即a11a12a1naaa222n(1,2,n) (1,2,n)21 (1,2,n)Pan1an2ann称 P 为基1,2,n到基1,2,n的过渡矩阵。或称为基变换公式。（2）坐标变换公式设V，在基1,2,n下的坐标为(x1,x2,xn)在基1,2,n下的坐标为(y1, y2,yn)，且(1,2,n) (1,2,n)Px1 y1 y1x1xyy222x2则 P或 P1xyyxnnnn二、重点二、重点（

39、一）向量组的线性相关性的判定与证明（一）向量组的线性相关性的判定与证明（二）两个向量组等价的判定（二）两个向量组等价的判定（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明（三）向量组的秩与矩阵的秩的证明三、典型例题三、典型例题（一）线性组合（线性表示）（一）线性组合（线性表示）2 (1,a 2,3a)T3 (1,b 2,a 2b)T， (1,3,3)T试例 1设1 (1,2,0)T，讨论当 a，b 为何值时（I）不能由1，2，3线性表示；（II）可由1，2，3唯一地线性表示，并求出表示式；（III）可由1，2，3线性表示，但表示不唯一，并求出表示式。解设有数x1，x2，x3，使得x11 x22 x33记A (

40、123)，A (123)111 11111对A施以初等行变换，有A 2a 2b 230ab103aa 2b300a b01111 （I）当a 0，b 为任意常数时，有A 00b1知R(A) R(A)，故方程组0001无解，而不能由1，2，3线性表示。（II）当a 0且a b时，R(A) R(A) 3，故方程组有唯一 解。x1111，x2，x3 0aa1a12a则可唯一地由1，2，3线性表示，其表示式为(1)110011 a1a可知（III）当a b 0时，对A施以初等行变换，有A 0110000R(A) R(A) 2，故方程组有无穷多解，其全部解为x1111，x2 k，x3 kaa1 111

41、k2 k3aa2 (1,t,1)T，3 (t,1,2)T， (4,t2,4)T，例 2已知1 (1,1,1)T，若可由1，2，3线性表示，且表示法不唯一，求t 及的表达式。 x1 x2 tx3 4解设x11 x22 x33，按分量写出为 x1 tx2 x3t2x x 2x 4231对增广矩阵进行初等行变换得2 4 11t4 112 4112A 1t1t11t402t 28112 41t1t20t 13t2 4112 4t 2802001t 14 ttt 42由条件知，R(A) R(A) 3从而t 4，此时，增广矩阵可化为112 4112 41030A 022801140114000000000

42、000令x3 k解出x1 3k，x3 4 k所以 3k1 (4 k)2 k3，k例 3设向量组1，2，3线性相关，向量组2，3，4线性无关，问：（1）1能否由2，3线性表示？证明你的结论。（2）4能否由1，2，3线性表示？证明你的结论。解（1）1能由2，3线性表示证法 1因为已知向量组2，3，4线性无关，那么它的部分组2，3线性无关，又因1，2，3线性相关，故1可 由2，3线性表示。证法 2因为向量组1，2，3线性相关，故存在不全为零的数k1，k2，k3，使得k11 k22 k33 0其中必有k1 0。否则，若k1 0，则k2，k3不全为零，使k22 k33 0即2，3线性相关，进而2，3，4

43、线性相关与条件矛盾。于是k1 0，由此有1 kk2233k1k11可由2，3线性表示。（2）4不能由1，2，3线性表示证法 1（反证法）若4能由1，2，3线性表示，设为4 x11 x22 x33由（1）知1 k22 k33代入上式整理得4 (x1k2 x2)2 (x1k3 x3)3即4可由2，3线性表示，从而2，3，4线性相关。与已知矛盾。4不能由1，2，3线性表示。证法 2考查方程组x11 x22 x334因为1，2，3线性相关，系数矩阵R(A) R(123) 3，又因2，3，4线性无关，增广矩阵R(A) R(1,2,3,4) 3， 于是R(A) R(A)方程组无解， 因此，4不能由1，2，

44、3线性表示。（二）线性相关（二）线性相关例 4判断下列向量组的线性相关性：（1）1 (101)2 (122)3 (124)（2）1 (351)2 (104)3 (5 7 6)4 (120)（3）1 (6411)2 (1023)3 (14916)111101解：（1）m nA 122 021 0无关;124023（2）mn，相关3 16411102（3）m nA 2102314916149 6641133 1023 1020411190411190411190000R(A) 2 m,线性相关例 5设1 (1 1 1 3),2 (1,3,5,1)3 (321p 2),4 ( 2 610 P 为何值

45、时，向量组线性无关？ P 为何值时，向量组线性相关？p),解：设A1233 211132 641511031P 2P则A (p 2)14 当 P2 时，A 01,2,3,4线性无关； 当 P=2 时，A 01,2,3,4线性相关；例 6已知1,2,3线性无关，试问常数 m, k 满足什么条件时，向量组k21,m32,13线性无关？（线性相关）？解设1(k21) 2(m32) 3(13) 0即(31)1 (1k 2)2 (2m 3)3 0，由1,2,3线性无关知13 0k12 0m 023其系数矩阵的行列式101D k10 km 10m1 当D km 1 0 即km 1时，向量组线性无关； 当D

46、 km 1 0 即km 1时，向量组线性相关；例 7已知 n 维向量1，2，3线性无关，若1，2，3可由1，2，3线性表示，设123123C证明：1，2，3线性无关的充分必要条件是C 0证明记A123，B 123必要性：若1，2，3线性无关，则R(B) R(1又23) 3R(B) R(AC) R(C) 3因此，R(C) 3，即矩阵 C 可逆，C 0充分性：若C 0，即矩阵 C 可逆，RC3则R(B) R(AC) R(A) R(123) 31，2，3线性无关.例 8已知向量组1，2，3线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（A）12，23，31（B）12，23,1 223（C）1 22，21 3

47、3，331（D）123，21 32 223，31 5253解由例 7 方法易知，选（C）例 9已知向量组1，2，3线性无关，向量组1 a2，1 223，a13线性相关，则 a =解由例 7 知11a1a 1aa20 a20 a2 a 2 0011011知a 1或a 2例 10设 A 是 n 阶矩阵，是 n 维列向量，若Am1 0，Am 0，证明向量组，A，A2，Am1线性无关。证： （用定义，同乘）设x1 x2A xmAm1 0由Am 0知Am1 0，Am2 0，用Am1左乘（1）两边，得x1Am1 0又Am1 0x1 0（2）把x1 0代入（1）式，有x2A xmAm1 0用Am2左乘上式，

48、可知x2Am1 0从而x2 0。类似地可证x3 xn 0所以，A，Am1线性无关。（三）两向量组等价的证明（三）两向量组等价的证明例 11已 知1,r与1,r,r1,s有 相 同 的 秩 ， 证 明1,r与1,r,rr,s等价。证明：设A1,r, B 1,r,r1,s，且R(A) R(B) t。显然， 向量组 A 可由向量组 B 线性表示， 下证向量组 B 也可由向量组 A 线性表示即可。设 A 中极大无关组为i1,it，由条件知i1,it也是 B 中的一个极大无关组，由极大无关组的定义知，r1,s可由i1,it线性表示，从而可由1,r线性表示，从而 B 可由 A 线性表示，即 A 与 B 等

49、价。例12设 向 量 组A123， 其 中1102,21 13,311a 2,B 1,2,32 (21a 6)，3 (21a 4)，其中112a 3，试问： 当 a 为何值时，向量组A 与 B 等价？ 当 a 为何值时，向量组A 与 B 不等价？解令C (123对C作初等行变换得121122113) 01111123a 2a 3a 6a 42111 10C 01121100a 1a 1a 1a 1 当a 1时，1,2,3线性无关，则R(A) R(C) 3由上例知A与C等价，同理可计算出R(B) 3 R(C)知 B 与 C 等价，故有R(A) R(C) R(B)即 A 与 B 等价。 当 a=-

50、1 时有C (123121021113) 011211000 202由于R(A) R(C)，故不能为1,2,3线性表示，因此 A 与 B 不等价。（四）向量组的极大无关组（四）向量组的极大无关组例 13 设向量组1 (1 1 13),2 (1351)，3 (321p 2)，p)（1）P 为何值时，该向量组线性无关，并在此时将向量 (41610),用1,2,3,4线性表示；（2）P 为何值时，该向量组线性相关？此时求出它的一个极大无关组。解令4 ( 2 6103 243 211112 6 10 21 413A 00151106 7031P 2P 1000P 9P 24 3 78 (1234)（1

51、）P 2时，向量组1234线性无关，再用初等行变换将矩阵化为1000 213P4100(43P)/2 P0101001(1 P)/ P20002P223(1P)P24（2）当 P=2 时，对(1234)再进行初等行变换得1132102140 (1,2,3,4) 00100 007001,2,3是一个极大无关组，是4 22。例 14设 4 维向量组11 a1 1 1，222 aT00010201000022，T3333 a3T，44444a。问 a 为何值时，1，2，3，4线性相关？当1，2，3，4线性相关时，求其一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。解解法 1记A1,2,3,

52、4，则T1 aA 11122 a22333 a34444 aa 10a3于是当a 0或a 10时1，2，3，4线性相关。当a 0时，且2 21，2，4的一个极大线性无关组，331，4 411为1，3，当a 10时，对 A 施以初等行变换，有34 9234 924101000183A12 74100100123 610001034 0000 92011001101,2,3,41010101010011001由于2,3,4为1,2,3,4的一个极大线性无关组， 且1 234， 故2，3，4为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且1 234。解法 2记记A1,2,3,4，对 A 施以初等行变换，有2

53、341 a1 a12 a34 aA123 a4 a1234 a a234a00 B0a000a当a 0时，A 的秩为 1，因而1，2，3，4线性相关，此时，1为1，2，3，4的一个极大线性无关组，且2 21，331，4 41当a 0时，再对 B 施以初等行变换，有1 a1B 11234a 10100101010011000100C 1,2,3,4010001如果a 10，C 的秩为 4，从而 A 的秩为 4，故1，2，3，4线性无关。如果a 10，C 的秩为 3，从而 A 的秩为 3，故1，2，3，4线性相关。由于2,3,4为1,2,3,4的一个极大线性无关组，且1 234。于是2，3，4为1

54、，2，3，4的一个极大线性无关组，且1 234。（五）向量组的秩与矩阵的秩的证明（五）向量组的秩与矩阵的秩的证明例 15设向量组（）1,2,向量组（）1,2,m；向量组（）1,2,n且秩分别为1,2。,m,1,2,n的秩为3，证明312。证明：由条件可设（） ：i1,2r1为（）的一个极大无关组；（） ：j1,（） ：st1,又设（）为i1,jr2为（）的一个极大无关组；,str为（）的一个极大无关组。3,ir1,j1,jr2（）中向量可由（）线性表示， ()中向量也可由（）线性表示，又 ()线性无关，312。例 16证明R(A B) R(A) R(B)证明：设 A、B 是两个mn矩阵，且设A

55、 (1,2,n),B (1,2,n)A B (11,22,于是 A+B 的每个列向量都是1,2,nn),n的线性组合，则,n,1,2,R(A B) R(1, R(1,n,1,n),n),n) R(1, R(A) R(B)例 17A 为m p矩阵，B 为pn矩阵，若 AB=0证明：R(A) R(B) P证明AB 0，B 的 n 个列向量都是AX 0的解向量。xR，故AX 0的基础解系所含向量的个数应为P R(A)，从而R(B) P R(A)。即R(A) R(B) P例 18设 A 为 n 阶矩阵，且 A2=A，若R(A) . 证明PR(A E) nr，其中 E 为 n 阶单位阵证明A2 A，A(

56、A E) 0从而由上例知R(A) R(A E) n又E E A A，n R(E) R(E A A) R(E A) R(A) R(A E) R(A)故R(A E) R(A) n，又R(A) ，从而R(A E) n例19设A与B都是n阶方阵， 证明R(AB) R(B)的充要条件是ABX 0与BX 0同解。证明“”设R(AB) R(B)，则方程组ABX 0与BX 0的基础解系所含向量的个数相同，又BX 0的解必为ABX 0的解，故BX 0的基础解系必为ABX 0的基础解系。从而两个方程组有相同的基础解系，故它们同解。“”若ABX 0与BX 0同解，则必有相同的基础解系，设基础解系所含向量的个数为 s

57、，则R(AB) ns，R(B) ns，R(AB) R(B)。（六）过渡矩阵的求法（六）过渡矩阵的求法例 20已知 R3中的两组向量为1 (1 2 1)，2 (2 3 3)，3 (3 7 1)1 (3 1 4)，2 (5 2 1)，3 (1 1 6) 证明1,2,3和1,2,3都是R的基； 求1,2,3到1,2,3的过渡矩阵； 求 (0 1 2)在1,2,3下的坐标。3121解233 1 01,2,3线性无关41 4 01,2,3线性无关33713152116从而它们都是R的基 设(1,2,3) (1,2,3)P1P (123) (123)27714192094128 x11 x22 x33，解

58、出方程组可求出x1,x2,x3。第三讲第三讲线性方程组线性方程组一、内容提要一、内容提要（一）线性方程组的三种表达形式（一）线性方程组的三种表达形式1一般形式a11x1a12x2a1nxnb1a x a x a x b21 12222nn2（1）am1x1am2x2amnxnbm（当b1 b2 bm 0时，称为齐次线性方程组）2矩阵形式a1n a11a12 x1 b1aaaxb222n设A21,X 2,b 2axbaamnm1m2nm则（1）可表为Ax b (Ax 0)3向量形式 a11 a12aa22221,2,aam1m2则（1）可表为 a1n b1ab22n,n,abmnmx11 x22

59、(x11 x22（二）齐次线性方程组（二）齐次线性方程组1解与解空间 xnn xnn 0) x1x2解向量：X Rn，满足AX 0的 X 称为齐次线性方程组的一个解向量。xn解空间：AX 0的所有解的集合，对于线性运算封闭，称为一个向量空间，亦即称为AX 0的解空间。2齐次线性方程组解的性质（1）齐次线性方程组恒有解；（2）齐次线性方程组任二个解的线性组合仍为其解；（3）齐次线性方程组所有解的集合构成一个向量空间，称为解空间。3齐次线性方程组的通解（1）基础解系：齐次线性方程组解空间的基称为一个基础解系（2）基础解系所含向量的个数=n R(A)。其中 n 为未知量的个数。A 为齐次线性方程组的

60、系数矩阵。（3）通解：齐次线性方程组AX 0的任一解均可表为其基础解系的线性组合，即 k11 k22 knrnr其中R(A) r,1,2,nr为基础解系。（三）非齐次线性方程组（三）非齐次线性方程组1AX b有解的充要条件AX b有解 R(A) R(A)向量可由向量组1,2,n线性表示1,2,n与1,2,n，等价2AX b的解的性质（1）,为AX b的解，则为AX 0的解。（2）设是AX 0的解，是AX b的解，则AX b的任一解。（3） 设1,2,s为AX b的解， 则k11kss(k1k2k31)仍为AX b的解。3非齐次线性方程组解的判定（1）设AX bR(A) R(A)时，AX b无解

61、（2）r R(A) R(A)时有解，在有解时r n，有无穷多解，r n有唯一解4解的结构为AX b的任一解，则 r0k11k22knrnr其 中r0为AX b的 一 个 特 解 ，1,2,nr为AX 0的 基 础 解 系 ， 这 时R(A) R(A) r。（四）（四）AX b与与AX 0的解之间的关系的解之间的关系AX b有无穷多解AX 0有非零解；AX b有唯一解AX 0只有零解。反之呢？二、重点二、重点（一）（一） 齐次线性方程组基础解系的求法与判定。齐次线性方程组基础解系的求法与判定。（二）（二） 非齐次线性方程组解的性质。非齐次线性方程组解的性质。（三）（三） 非齐次线性方程组解的结构

62、。非齐次线性方程组解的结构。三、典型例题三、典型例题（一）齐次线性方程组（一）齐次线性方程组例 1 求下列齐次线性方程组的基础解系及通解：x1 x2 x5 0x1 x2 x3 0x x x 0345解 对其系数矩阵 A 进行初等行变换1100111001A 11100001000011100010则有x1 x2 x5x3 x5x 04令x21,x5 0得11 10x2 0,x51得21000TT101。故1,2即为所求得基础解系。从而通解为k11 k22（k1,k2为常数） 。x1 2x2 3x3 4x4 02x1 3x2 4x3 5x4 0例 2齐次线性方程组的基础解系是3x 4x 5x 6

63、x 023414x1 5x2 6x3 7x4 0（A） 3,0,1,0，2,3,0,1；TT（B）k11,2,1,0 k22,3,0,1；TT3（C）2,3,0,1，1,0,122TT（D）3,4,1,2，3,5,1,1TT解对系数矩阵进行初等行变换有12A342341345004560567234112300000000001 2123000000知（D）即为所选。例3设1,2,3是 齐 次 线 性 方 程 组AX 0的 一 个 基 础 解 系 。 证 明12,23,31也是该方程组的一个基础解系。证明（法一） 由A(12) A1 A2 0，知12为AX 0的解。同理23,31也都是AX 0

64、的解。设k1(12)k2(23)k3(31) 0得(k1k3)1(k1k2)2(k2k3)3 0由1,2,3是基础解系知 ，1,2,3线性无关，所以有101k1k3 0k1k2 0由110 2 0有k1 k2 k3 0k k 001123从而12,23,31线性无关。由题设知，AX 0的基础解系只含 3 个线性无关的解向量，所以12,23,31也是该方程组的一个基础解系。（法二）由题设 令112,223,331可知1,2,3可由1,2,3线性表示。又因123121011013110而110 2 001101110131100111故有12312即1,2,3也可由,2,3线性表示。从而两向量组等

65、价。由1,2,3线性无关及1等价的向量组有相同的秩知,2,3线性无关。 且AX 0只含 3 个线性无关的解向量，1从而12,23,31也是该方程组的一个基础解系。x1 2x2 x3 0x1 ax2 2x3 0例 4已知齐次线性方程组有非零解，则 a =ax 4x 3x 02312x1 (a 2)x25x3 0解对系数矩阵进行初等行变换，有23 12311a20a 21可见R(A) 3 a 2Aa43005 a2a 25008(1a)x1 x2 xn 02x (2a)x 2x 012n例 5设齐次线性方程组，(n 2)，试问 a 为何值时，nx1nx2(na)xn 0该方程组有非零解，并求其解。

66、解方法一对系数矩阵进行初等行变换111 a2 a22A333 a nnn11 a111 2 2aa0033a0a0 B n a na00a（1）若a 0，R(A) 1，方程组有非零解，其同解方程为x1 x2 xn 0故其基础解系为11,1,0,0T，21,0,1,0,0T，n11,0,0,1T所以方程组的通解为k11 k22 kn1n1（k1,kn1为任意常数）（2）若a 0，对矩阵 B 继续作初等行变换，有1 a111 a 2100B 3010 n0011n(n 1)000 2 21003010 n001当a n(n 1)时，R(A) n 1 n，方程组有非零解，其同解方程为12 2x1 x

67、2 03x1 x3 0T得基础解系为1,2,n所以通解为k（k 为任意常数） nx1 xn 0（方法二）由于系数行列式1 aA 2n1n122 an(n 1)n1a a2n a故当a 0或a n(n 1)时，方程组有非零解。2 111 111 222000（1）当a 0时，有A故方程组的同解方程为 nnn000x1 x2 xn 0由此行基础解系为1 (1,1,0)T，2 (1,0,1,0)T，n1 (1,0,1)T通解为k11 k22 kn1n1（k1,kn1为任意常数）（2）当a 1n(n 1)时，对系数矩阵进行初等行变换，有211 a11 2 2aa0 n a na0a11 a2 a2An

68、n1 a11 000 210 210 n01 n01故方程组的同解方程为 2x1 x2 03x1 x3 0 nx1 xn 0可行基础解系为 (1,2,n)T故通解为k（k 为任意常数）（二）非齐次线性方程组（二）非齐次线性方程组例 6 设线性方程组为 x1 x2 x3 2x12x2ax3 12x 3x b12讨论 a,b 为何值时，方程组无解、有唯一解和无穷多解，并在方程组有无穷多解时，求出通解。解 （方法一）方程组系数行列式111D 12a 1a230当D 0时，即a 1时，由 Gramer 法则知方程组有唯一解。111 当a 1时，方程组系数矩阵A 121230对方程组的增广矩阵进行初等行

69、变换得1 1112 111A 1211 0123230b000b1当b 1时，R(A) 2,R(A) 3,R(A) R(A),线性方程组无解；当b 1时，R(A) R(A) 2 3,线性方程组有无穷多解。其通解为x1x2。x3530k321（k 为任常数）TTT（方法二） 对方程组的增广矩阵进行初等行变换得12 1112 11A 12a101a13230b00a1b1当a 1,b 1时，R(A) 2,R(A) 3,R(A) R(A),线性方程组无解；当a 1,b任意时，R(A) R(A) 3,线性方程组有唯一解；当a 1,b 1时，R(A) R(A) 2 3,线性方程组有无穷多解。其通解为x1

70、x2。x3530k321（k 为任常数）TTTx13x22x3 x41例 7 设x2ax3ax4 1，问 a 为何值时，该方程组有解？并在有解时求其通解。x 2x 3x 3241解对方程组的增广矩阵进行初等行变换13211 13211A 01aa101222 A11203300a22a1当 a-2 时，R(A) R(A) 34 n，故方程组有无穷多解。对 A1，再从下自上进行初等行变换，得1003(7a10)/a2A10100(22a)/a200111/ a2令 x4=0 得特解0 (7a10)/a2,(2 2a)/a2,1/ a2,0)令 x4=1 得基础解系=（-3011）通解 为 r0k

71、.(2)x12x22x31例 8设2x1(5)x24x3 2，问取何值时，此方程组无解，有唯一解或有2x 4x (5)x 1123无穷多解？2解A 25424 (1)2(10)522（1）当1且 0时，R(A) R(A) 3 n，有唯一解。（2）当1时221 1221 1A 2442000024420000R(A) R(A) 1 3有无穷多解。可求得特解r0 (1 00)。基础解系为1 (210)，2 (201)通解 r0k11k22（3）当10时11008221 2A 25420110245110001这里R(A) 2R(A) 3R(A) R(A)故无解。（三）解的性质，结构（三）解的性质，

72、结构例 9已知1，2是 AX=b 的两个不同的解，a1，2是相应齐次线性方程组 AX=0的基础解系，k1,k2是任意常数，则AX b的通解是（A）k11k2(12)122222（C）k11k2(12)1； （D）k11k2(12)122； （B）k11k2(12)12解：122不是AX b的解（A） （C）不对又1，12虽然是AX 0的解， 但1，12是否线性无关不知， 故不能作为AX 0的基础解系（D）不对，从而选（B）x1a1x2a12x3 a1323x1a2x2a2x3 a2例 10设方程组23x a x a x a31323323x1a4x2a4x3 a4（1）证明：若a1 a2 a3

73、 a4时，此方程组无解；（2）设a1 a3 k，a2 a4 k（k0） ，且已知1，2是该方程组的两个解，其中，1 (1,1,1)，2 (1 1 1)试求此方程组的通解。解（1）A (ajai) 0R(A) 41i j4而R(A) 3 R(A)，故无解。（2）当a1 a3 k，a2 a4 kk 0时得等价方程组23x1kx2k x3 k23x1kx2k x3 kk 0，R(A) R(A) 2 3，其基础解系只含一个线性无关的向量，而12 (2 0 2) 0是AX 0的解，故可作为基础解系，从而方程组的通解为1k或2 k（四）线性方程组解的证明（四）线性方程组解的证明例 11设矩阵Amn的秩为，

74、线性方程组AX b有特解r0。它的导出组AX 0的一个基础解系为1,2,n证明（1）向量00，1 r01，2 r02，nr r0nr是方程组AX b的nr 1个线性无关的解向量。（2）0,1,2,nr的一切线性组合。knrnr(k0k1knr1)k00 k11是方程线AX b的全部解。证明（1） 由解的性质知，0,1,nr都是AX b的解向量，下证其线性无关。k00k11knrnr 0knr(r0nr) 0 knrnr 0即k0r0k1(r01)(k0k1 knr)r0 k11两边左乘 A 得(k0k1 knr)Ar0k1A1 knrAnr 0由Ai 0（i 1,2,nr）有k0k1k0k1k

75、nrAr0 0即knrb 0knr 0，于是从而k0k1k11 knrnr 0又由1,2,nr线性无关知，k1 k2 knr 0进而k0 0所以0,1,2,（2）显然，当k0k1,nr线性无关。 knr1时，k00k11knrnr是AX b的解。设为AX b的任一解，则0。为AX 0的解，从而r0 k11k22 r0k11k22knrnrknrnr又由条件知0 r0，1 r01,，nr r0nr11r0,，nrnrr0代入得 r0k1(10) (1k1令k01k1knr(nrr0)knrnrknr)0k11knr k00k11且k0 k1knrnrknr1从而结论得证。（五）关于两个方程组解的

76、讨论（五）关于两个方程组解的讨论例 12设有两个 4 元齐次线性方程组x1 x2 x3 0x1 x2 0（I）； （II）x x 0x x x 043422（1）求线性方程（I）的基础解系；（2）试问方程组（I）和（II）是否有非零的公共解？若有，则求出所有的非零公共解；若没有，则说明理由。解（1） （I）的基础解系为10,0,1,0T，21,1,0,1T关于共公解有下列方法：方法一把（I） （II）联立起来直接求解，令00 1111010101A1110000111000 10101 20000T01 10101 200000由n R(A) 4 31，基础解系为1,1,2,1，从而（I） ，

77、 （II）的全部公共解为k1,1,2,1， （k 为任意实数）T方法二通过（I）与（II）各自的通解，寻找公共解。可求得（II）的基础解系为10,1,1,0T，21,1,0,1T则k11 k22，L11 L22分别为（I） ， （II）的通解。令其相等，即有k10,0,1,0 k2(1,1,0,1)T L10,1,1,0 L21,1,0,1TTT由此得 k2,k2,k1,k2T L2,L1 L2,L1,L2T比较得k1 L1 2k2 2L2故公共解为2k20,0,1,0 k21,1,0,1TT k21,1,2,1T方法三把（I）的通解代入（II）中，在为其解时寻求k1，k2应满足的关系式而求出

78、公共解。由于k11 k22 k2,k2,k1,k2，要是（II）的解，应满足（II）的方程，故T k2 k2 k1 0k k k 0122解出k1 2k2，从而可求出公共解为k21,1,2,1T例 13设四元齐次线性方程组为（）2x13x2 x3 0x12x2 x3 x4 0且已知另一四元齐次线性方程线（）的一个基础解系为1 (2 1 a 2 1)，2 (1,2,4,a8)（1）求（）的一个基础解系：（2）当 a 为何值时，方程组（）与（）有非零公共解？在有公共解时，求出全部非零公共解。解（1） （）的基础解系为1 (53 1 0)，2 (3 2 0 1)（2）由条件知， （）的全部解为：x1

79、2k1k2xk 2k212x k11k22x3(a2)k14k2k (a8)kx124代入（）得(a1)k1 0(a1)k (a1)k 012要使（）与（）有非零公共解，只需有非零解，即a1 0a1 -(a+1) 0当a 1时，有非零解，代入从而得到全部公共解为：2 112k1k21 4 17例 14设线性方程组a11x1a12x2a1nxnb1a x a x a x b21 12222nn2an1x1an2x2annxnbnA11x1 A12x2A x A x 21 1222An1x1 An2x2A1nxnC1A2nxnC2AnnxnCn（1）（2）其中Aij为aij在行列式A aij中的代

80、数余子式，bi,ci(i 1,2,n)不全为零。证明（1）有唯一解的充要条件是（2）有唯一解。证明：由于方程（1）和（2）都是 n 个方程 n 个未知量，由 Gramer 法则知（1）有唯一的* T*解 A 0;（2） 有唯一的解 B Aij 0.又B (A )， 而B (A ) A A* Tn1.从而有 :（1）有唯一解 A 0 An1 B 0（2）有唯一解。（六）线性方程组与向量组线性关系的讨论（六）线性方程组与向量组线性关系的讨论例 15设A (12T34)是四阶方阵，Axb的通解为2,1,3,6 k(1,3,2,0)T问： （1）1能否由2，3线性表示：（2）4能否由1，2，3线性表示

81、。解（1）由n R(A) 1知R(A) 3，又由方程组的向量表示知132 23 0，由此有132 23，故1可由2，3线性表示。（2）设x11 x22 x334（*）令B (1,2,3)，B A1,2,3,4， 由 （1） 知R(B)3， 而R(B) R(A) 3，即R(B) R(B)方程组（*）无解。4不能由1，2，3线性表示。1,2,3,4均为4 维列向量，例 16 已知4 阶方阵A (1,2,3,4)，其中2,3,4线性无关，1 223，如果1234，求线性方程组Ax 的通解。解：法一将Ax 写成向量形式，然后利用向量的知识求之令x1x1xx22Ax (1,2,3,4)x x3x3xx4

82、4即x11 x22 x33 x44，将1 223代入整理得x1(223) x22 x33 x441234 223234 324移项合并得(2x1 x23)2(x1 x3)2(x41)4 0由2,3,4线性关系得2x1 x23 0x1 x3 0x4101 32 k解此线性方程组，通解为01 10 法二由A (1,2,3,4)且2,3,4线性无关，1 223知R(A) 3从而Ax 0的基础解系只含一个向量，显然122304 0故（1-210）T为Ax 0的一个线性无关的解，即可作为基础解系，再由1 11234 (1234) 知（1，1，1，1）T为Ax 的一个特解，11 11 12从而通解为 k1

83、1 10 （七）线性性方程组与几何问题的讨论（七）线性性方程组与几何问题的讨论例17已 知 平 面 上 三 条 不 同 直 线 的 方 程 分 别 为l1:ax2by 3c 0，l2:bx 2cy 3a 0，l3:cx2ay 3b 0。试证这三条直线交于一点的充要条件是abc 0。证明“”设l1,l2,l3交于一点，则线性方程组ax2by 3cbx2cy 3acx2ay 3b（1）a2ba2b3c有唯一解，故系数矩阵A b2c与增广矩阵A b2c3a的秩相等且均为c2ac2a3b2，于是A 0由于a2b3c2223a 3(abc)(ab) (bc) (ca) A bc2c2a3b又(ab)2(

84、bc)2(ca)2 0,故abc 0“”由abc 0，由必要性知A 0故R(A) 3a2bb2c又由于 2(acb2)13 2abb2 0242从而R(A) 2，于是R(A) R(A) 2故方程组有唯一解，即三直线交于一点。第四讲第四讲相似矩阵与二次型相似矩阵与二次型一、内容提要一、内容提要（一）向量的内积（一）向量的内积1向量的内积的定义设 (x1,x2xn)T， (y1, y2, yn)T称（x y） x1y1 x2y2 xnyn为向量与的内积。2运算规律（1）( ) ( )（2）( ) ()( )（3）(k) k()（4）() 0当且仅当 0时( ) 03向量的长度2( ) x12 x2

85、2xn4向量的正交若( ) 0，则称与正交5正交向量组设1,2,s，若(ij) 0i j，则称1,2,s是一个正交向量组。,s线性无关。6正交向量组的性质若 n 维向量1,2,s是一组两两正交的向量组，则1,2,7正交基及标准正交基（正交规范基）正交向量组构成的基称为正交基。两两正交，且都是单位向量的基称为标准正交基。8标准正交基的求法（施密特正交化方法）设1,2,s线性无关。（1）正交化取112233111311(s1)(31)(21)1122(32)2ss（2）单位化1s1s1(ss1)s1r11，r22，rss12sT（二）正交矩阵（二）正交矩阵1定义若 n 阶实矩陈 A 满足A A E

86、，则称 A 为 n 阶正交阵。2A 为正交阵的重要条件。A 是正交矩阵A 的行（列）向量组的每一个向量都是单位向量且两两正交。3正交矩阵的性质（1）若 A 为正交矩阵，则A1也是正交矩阵。（2）若 A，B 均为正交矩阵，则 AB 也是正交矩阵。/（3）若 A 是正交矩阵，则A 1。（4）正交变换：P 为 n 阶正交矩阵，x, y为 n 维列向量，若y Px，则称此变换为正交变换。（三）矩阵的特征值与特征向量（三）矩阵的特征值与特征向量1定义设 A 为 n 阶矩阵，若存在常数和非零 n 维向量，使A，则称为 A 的特征值，是 A 的属于特征值入的特征向量。2特征多项式与特征方程称E A fA()

87、为 A 的特征多项式E A 0为 A 的特征方程。3特征值与特征向量的性质（1）属于不同特征值的特征向量是线性无关的；（2）实对称阵属于不同特征值的特征向量是正交的；（3）A 与 AT有相同的特征值。nn1（4）设f (x) a0x a1x an若是 A 的特征值，则f () a0na1n1 an是f (A)的特征值。（ 5 ）1,2,n是n阶 矩 阵A的 特 征 值 ， 则12annTr(A)n A，12n a11a224特征值与特征向量的求法（1）计算 A 的特征多项式f () （2）求出特征方程f () E AE A 0的全部根1,n即为 A 的全部特征值。（3）对每个i，求出齐次线性方

88、程组(iE A)X 0的基础解系1,2,s则1,2,s即为矩阵 A 的属于特征值i的特征向量。（四）相似矩阵（四）相似矩阵1定义设 A，B 是 n 阶矩阵，若存在可逆距阵 P，使B P AP，则称矩阵 A 与 B 相似，记为 AB。2相似矩阵的性质（1）反身性：AA；（2）对称性：若 AB，则 BA；（3）传递性：若 AB，BC，则 AC；（4）若 AB，则 ATBT；（5）若 AB，且 A，B 都可逆，则 A-1B-1；（6）若 AB，则 AnBn， （nN） ；（7）相似矩阵有相同的特征多项式，特征值；（8）相似矩阵的行列式相等；（9）相似矩阵的秩相等；1（10）相似矩阵有相同的迹。3矩阵

89、对角化（1）定义：若 n 阶矩阵 A 与对角阵相似，则称A 可对角化。（2）n 阶矩阵可对角化的条件； 充要条件：A 有 n 个线性无关的特征向量。 充分条件：若 A 有 n 个不同的特征值，则 A 可对角化。（3）矩阵对角化方法 求 A 的特征值i 解方程组(iE A)X 0，求其基础解系。基础解系的解向量即为A 的属于特征值i的特征向量。 以i的特征向量为列，按特征值的顺序从左往右构成可逆距阵P； 与特征向量相对应，将i写在矩阵主对角线上构成对角阵 写出相似关系式：P AP ；（4）实对称阵的对角化结论： 实对称阵的特征值都是实数； 实对称阵属于不同特征值的特征向量为正交； 实对称阵一定可

90、对角化。（5）实对称阵对角化的步骤： 求出 A 的特征值i和属于i的特征向量； 将 A 的属于同一个特征值的特征向量正交化； 将全部向量单位化； 将正交单位化后向量为列且按i在对角矩阵的主对角线上的位置构成正交矩阵P 写出关系式 PTAP=（五）二次型（五）二次型1二次型的定义含 n 个变量x1,x2,1,xn的齐次函数f (x1,x2,xn) a11x122a12x1x222222a1nx1xna x 2a2nx2xna x2nnn称为二次型2二次型的矩阵及秩利用矩阵，二次型可表为a1nx1a11a12aaa21222nx2f (x1,x2,xn) (x1,x2,xn)axaannnn1n2

91、a1na11a12aaa21222n是对称矩阵，称为二次型 f 的矩阵，A 的秩称为二次型其中Aaaannn1n2f 的秩。3二次型的标准形22只含平方项f 1x12x22nxn的二次型称为二次型的标准形。4二次型的规范形标准形的系数为 1，-1，0 的二次型称为 f 的规范形。5化二次型为标准形的方法（1）配方法： （略）（2）正次变换法： （略）6正定二次型（1）定义：若二次型f X AX对任何X 0都有f 0（0） ，则称 f 为正定（负定）二次型，矩阵 A 称为正定（负定）矩阵。若对x 0，均有f 0（0）则称二次 f 为半正定（半负定）二次型，相应地称矩阵 A 为半正定（半负定）矩阵

92、。（2）惯性定理设实二次型f X AX，它的秩为，若有两个实可逆变换X CY及X P，使2f 1y122y2TTryr2 k1z12 krzr2(i 0,ki 0)k中正数的个数相等。则1,2,中正数的个数与k1,k2,（3）正定（负定）二次型的判别法（充要条件） f 的标准形的 n 个系数全为正（负） ； f 的正（负）惯性指数为n； f 的矩阵 A 的特征值全大于（小于）零； f 的矩阵 A 的各顺序主子式全大于零（奇数阶小于零，偶数阶顺序主子式大于零） ； 存在可逆阵 P，使P AP E(P AP E)。（六）合同变换与矩阵的合同（六）合同变换与矩阵的合同1定义： A、B 都是 n 阶矩

93、阵，若存在可逆阵C，使得B C AC，则称A 与 B 合同，记为AB，称X CY为合同变换。2性质（1）反身性：AA；（2）对称性：若AB，则BA；（3）传递性；若AB，BC则AC。3有关合同的结论（1）数域 P 上任一对称阵合同于一个对角阵；（2）两个同阶实对称阵合同它们有相同的秩和正惯性指数。TTT二、重点二、重点（一）特征值，特征向量的定义及求法（一）特征值，特征向量的定义及求法（二）矩阵的相似对角化；（二）矩阵的相似对角化；（三）化二次型为标准型（正交变换）（三）化二次型为标准型（正交变换） ；（四）矩阵相似的判定；（四）矩阵相似的判定；（五）矩阵正交的性质与判定；（五）矩阵正交的性质

94、与判定；（六）矩阵正定的判定。（六）矩阵正定的判定。三、典型例题三、典型例题（一）特征值，特征向量的求法（一）特征值，特征向量的求法17 2 2例 1求矩阵A 214 4的特征值与特征向量。 2 41417解E A 22211722144214441401818171820221742144 18210411001182 27162 18 92得到矩阵 A 的特征值是1218，39当18时，由18E Ax 0，即1221222440002440002 2,0,1因此属于特征值18的特征向量是k11 k22得基础解系1 2,1,0，TT（k1，k2不全为零）当9时，由9E Ax 0，即2 254

95、 20182254 011 011245000000得基础解系31,2,2，因此属于特征值9的特征向量是k33（k3 0）T注：特例100（1）A230则11，23，3 6；4562131 （2）A42622136393 则12 0，313ai13ij 2 2 9 1bb b1b例 2设 n 阶方阵A bb1（1）求 A 的特征值和特征向量；（2）求可逆阵 P，使P1AP为对角阵。解（1）当b 0时，A E，则特征值为1n1。又因E1，即任何非零列向量均为 1 的特征向量对可逆阵 P，有P1AP P1EP E（2）当b 0时，1E A bbbbbb1 1n11n 1b1 b1n 1b1 bn1

96、故 A 的的特征值 为11 (n 1)b，2n11b。当1n 1b时n 1bbE A bbn 1bb 10001b01001b 00101 00011n 1b00000原方程组的同解方程组为x1 xnx x2n xn-1 xn令xn1，xn11，x21，x11，11 1 1为特征向量。所以全部特征向量为k(1 1 1)（k 0）或设1为1的一个特征向量则 1bb b1b 11n 1b1bbbT易知11 1 1满足该等式从而可知结论.当23n1 b时bbb1bbb1E A (1b)E A1bbb1故基础解系为1 11 11 11 121100T2101 0Tn1001T全部特征向量为k22 kn

97、n，k2k2不全为零令P 12n有P1AP diag1n 1b,1b, 1b.例3设三阶矩阵 A 的三个特征值为 1， 2， 3，求矩阵4A E的特征值。解： 由特征值性质知A 6 0， 故A可逆。 则A的特征值为1, ,。 从而4A E的特征值为3,1,。111 12 31131c ab3，其行列式A 1，又 A 的伴随矩阵A*有一个例 4设矩阵A 51c0aT特征值0。属于0的一个特征向量为 (1,1,1)，求 a，b，c 和0的值。*解由A0，则AA0A，又AA* A EA 10A 1c 1 1 ab3即05111c0a110(a1c) 1于是0(5b3)10(1ca) 11得20 20

98、1a代入方程组得a c，b 3。再由A 1有A 130a3 a3 1a51aa 2从而得01a c 2，b 3。例 5设四阶矩阵 A 满足条件阵。求A的一个特征值。解*2E A 0，AAT 2E，A 0其中 E 为四阶单位2E A 0 2E A 0， 2为 A 的一个特征值，又A* A A1，知A有一个特征值是1A，而AAT A 2E 2416*2A 4 ( A 0)从而可知A一个特征值为（二）矩阵相似的判别及证明（二）矩阵相似的判别及证明4 2 2。 202 114问 a 为何值时 A 能对角化？例 6设A 0a5a22a102解E A 014 (1)(2)(2a1)a5a22a3时，A 有

99、三个不同的特征值，故A 可对角化。2当2a11即 ，a 1时 ， A有 特 征 值1 （ 二 重 ）， 2 ，1时 ，002E A E A 004R(E A) 2从而1的线性无关的特征向量只有一个，632 当2a11,2即a 1，不可对角化。 当2a1 2时，即a 3时，A 有特征值 1，2（二重）又R(2E A) 2，从而A2也不可对角化。故当a 1，3时，A 可对角化。2a3 1例 7已知矩阵A143的特征值有二重根,判断矩阵 A 能否对角化， 并说明1 25理由。1解E A 11 a31 a3 431 43250 2 21 210 a3 43 22810 a11若2是二重根， 则2810

100、 a中， 含有2的因式， 于是2216 10 a 0，解出a 2，此时812 26，矩阵 A 的 3 个特征值是 2，2，62对于2，由于 1 23 R2E A R1 231123故2有 2 个线性无关的特征向量，A 可对角化. 若2不是重根，则2810 a是完全平方，于是知a 6，矩阵 A 的特征值为 2，4，4对于4，由于 3 63 R4E A R103 2121知4只有 1 个线性无关的特征向量，A 不能对角化。例 8若 A 可逆且 A 与 B 相似，证明A B证明由 A 可逆，且A 与 B 相似知 B 也可逆。且存在可逆阵P，使P AP B，两边取逆得1*P1A1P B1即A1 B1，

101、*1*1111又A A A，B B B， 由A B， 于 是PA A P B B即P1A*P B*A* B*。（三）（三）P1AP 中已知两者求第三者中已知两者求第三者求矩阵求矩阵 A A例9设三T阶矩阵AT满足Ai ii(i 1,2,3)T，其中1122,2221,3212。求矩阵 A。解： 由Ai ii(i 1,2,3)，知 A 的特征值为 1，2，3，对应的特征向量分别为11,2,3。由 A 可对角化条件知，A 与对角阵 2相似。即有3P 123，使A PP1.故122 1 122 7021A 2212221052321226232211例10已T知111A abcxyzT的T特征向量为

102、11 1 1,2101,3110，求矩阵 A。解：i为i(i 1,2,3)所对应的特征向量，即Ai ii(i 1,2,3)。对i 1，有11A111即abxy似地， 由A222, A3111 c111。利于矩阵的乘法及相等知，1 3。类1z1 33可得2 0,3 0。 于是记P 123，331 1 1110A P0P 1 1 1这时 P 可逆，从而有P AP 即得1 1 100例 11设三阶实对称阵 A 的特征值为1 1，231，对应于1的特征向量T为1 (0 1 1)，求矩阵 A。T解先求 Q，设 (x1x2x3)是 A 的属于231的特征向量，由性质知x2 x3 0即x2 x3T得2 (1

103、 0 0)，3 (0 1 1)这时Q 012121011 T0Q AQ 121102 100 A 001010求可逆矩阵求可逆矩阵 P P220例 12若矩阵A 82a相似于对角阵，试确定常数 a 的值，并求可逆阵006P，使P1AP 。220解E A 820a (6)2(2)06A 的特征值为12 6，3 2。由于 A 相似于对角阵，故对于12 6应有两个线性无关的特征向量，因此，R(6E A) 1 420 210从而由6E A 84a00a000000知a 0此时可得到12 6的两个线性无关的特征向量。1 (1 2 0)T，2 (0 0 1)T101 61T6当 2时，3 (1 -2 0)

104、，令P 202则有P AP 1102例 13设矩阵11a1 A 1a11，已知Ax 有解但不唯一，试求：a112T（1）a 的值； （2）正交矩阵 Q，使Q AQ为对角阵.解（1）由条件知11aA 1a1 (a1)2(a2) 0a11若a 1时，R(A) 1R(A) 2即无解a 2时，R(A) R(A) 2 3有无穷多解,从而a 2 112（2）A 121E A (3)(3)1 02 33 3;211分别求出特征向量后再将其单位化（不必正交化，为什么？）得11 132602 1TQ 0Q AQ 3使，63311 126 3（四）相似的应用例 14 （1） 已知三阶矩阵 A 的特征值为 1， -

105、1， 2， 设矩阵B A 5A， 试计算B，32A5E。（2） 若 n 阶方阵 A 有 n 个特征值， 0， 1， 2， ， n-1， 且方阵 B 与 A 相似， 求EB。解（1）B 的特征值为5即为-4，-6，-12 从而B 4612 288又32E A (1)(1)(2)令 5代入5E A 72A5E 72（2） B与A相似， 故B有特征值0， 1， 2， n-1则E+B的特征值为1， 即1,2,n，所以EB n!例 15设矩阵 A 满足A2 E，证明3E A可逆证明：A2 EAA E即A A从而 A 的特征值 0，设A，A 22又A2 E，E (1) 0 1故 A 的特征值只能是1，从而

106、 3 不是 A 的特征值，3E A 0故3E A可逆。例 16设三阶矩阵 A 的特征值为11,2 2,3 3对应的特征向量为1221 (1 1 1)T，2 (1 2 4)T，3 (1 3 9)T（1）将向量 (1 1 3)用1，2，a3表示：（2）求A（n 为自然数）解（1） 21223nT111（2）A 有三个不同的特征值，A 可对角化，且P 123，149n1nA P P故有22n13n1nn2n1AnP12nP 223n22n33n23例 17已知矩阵y相似1（1）求 x 与 y， （2）求 P，使P1AP B解（1）A 与 B 相似，E A E B即2(2)(2 x1) (2)(1 y

107、) y2002A 001，B 01x比较对应系数得x 0，y 1（2）AB A 的特征值为 2，1，-1 分别求其特征向量为10 0 10，2 1，31 110 100 211P 011P AP 0111（五）化二次型为标准形（规范形）（五）化二次型为标准形（规范形）求二次型的矩阵和秩求二次型的矩阵和秩例 18设222f (x1,x2,x3,x4) x12 x2 x3 x4 2x1x2 2x1x3 2x1x4 2x2x3 2x2x4 2x3x4求二次型的矩阵及秩。解：二次型的矩阵为1 1 11 1 1A 1 1 11 1 1易知R(A) 1,所以二次型的秩为1。用配方法化二次型为标准型用配方法

108、化二次型为标准型例 19 化下列二次型为标准型1111222（1）f (x1,x2,x3) x1 2x25x3 2x1x2 2x1x36x2x3（2）f (x1,x2,x3) 2x1x22x1x36x2x3解： （1）f中含x1的平方项，故把x1的归并起来，配方可得：22f x122x1x22x1x32x26x2x35x3222 x 2(x x )x2x 6x x 5x1231223322222 x12(x2 x3)x1(x2 x3) (x2 x3) 2x26x2x35x322222(x1 x2 x3) x22x2x3 x3 2x26x2x35x3222(x1 x2 x3) x2 4x2x3

109、4x322(x1 x2 x3) (x2 2x3)令y1 x1 x2 x3y2 x22x3即y3 x322故将二次型化为标准型f y1 y2。x1 y1 y2 y3x2 y22y3x3 y3111 所用的变换矩阵为C 012。001（2）二次型中不含平方项。由于含有x1x2乘积项，故令x1 y1 y2110x2 y1 y2C1 110x y00133代入可得2f 2y122y22(y1 y2)y36(y1 y2)y32 2y122y22y1y22y2y36y1y36y2y32 2y122y24y1y38y2y3222再配方，得f 2(y1 y3) 2(y22y3) 6y3令 z1 y1 y3z2

110、 y22y3即z y33故所用变换矩阵为 y1 z1 z3101y2 z22z3C2012y z00133110 101113 C C1C2110012111001001001用正交变换法化二次型为标准型用正交变换法化二次型为标准型例20用正交变换化下列二次型为标准型f (x1,x2,x3,x4) 2x1x22x1x32x1x42x2x32x2x42x3x4解：二次型的矩阵为 01111011A 1101 1110又E A 1111111111 (1)21221 (1)3(3)11于是 A 的特征值为1 3,2341。当1 3时，解方程(3E A)X 0得基础解系1111 1；当T2341时T

111、，解方程T(E A)X 0得基础解系T21 100,3001 1,411 11由于2,3,4已是正交的，故只需将其单位化即得正交变换：1 1022 x1110x222 x31102x42110222222所以标准型为f 3y1 y2 y3 y4含参数的二次型中参数的求法含参数的二次型中参数的求法222 5x2 x3 2ax1x2 2x1x3 2bx2x3的秩例 21已知二次型fx1,x2,x3 xTAx x11 21 y12y21y32y412为 2，且2,1,2是 A 的特征向量，那么经正交变换二次型的标准形是T1a11b122 T解由Aa5b从2,1,2是 A 的特征向量，有a5b1111

112、b11b122 即2 a 2 212a 5 2b 12 b 2 21解出得a b 2，13从R(A) 2， 知A 0， 于 是2 0是 A 的 特 征 值 。 再 由a iii有1 (5) 13 0 3，知3 6是 A 的特征值。2因此，在正交变换下二次型的标准形是：3y12 6y3例 22已知二次型22f (x1x2x3) 5x125x2cx32x1x26x1x36x2x3的秩为 2（1）求参数 C 及此二次型矩阵的特征值；（2）指出方程f (x1x2x3) 1表示何种曲面？解： （1）二次型的矩阵为 513 A 15333c5R(A) 2A 1153133 0解得c 3c33(4)(9)3

113、5故E A 13533故求得特征值为 0，4，9，从而一定可求得正交矩阵P，使0T4，即X PY，使P AP 922f 4y29y322当f 4y29y31时，表示椭圆柱面。例 23设二次型fx1,x2,x3x1 x2x1 x3x3 x22221. 求二次型 f 的秩；2. 求正交变换 Q，使二次型 f 的标准形；3. 当x2 x3时，求f 0的全部解。解1. 二次型 f 的秩为 22. 记二次型 f 的矩阵为 A 211A121112 2E A 111 0，233又1 0时，特征向量11,1,1；T11132 21 223 3时 ， 特 征 向 量21,1,0T，31,0,1T将1单 位 化

114、 后 得333， 对2，3施 行 施 密 特 正 交 化 后 得r22,2,0，r1,33322TT666r3,663T33 正交变换矩阵Q 33332222066即为所求。663622 3y3且有X QY，使f 3y2。3. 当x2 x3时， 二次型f 2x1 x2， 当f 0时， 有x1 x2 0， 即x1 x2， 则1,12T为其基础解系，故全部解为k(1,1)T。222例 24已知实二次型f (x1x2x3) a(x1 x2 x3) 4x1x2 4x1x3 4x2x3经正交2变换x Py可化为标准形f 6y1，求 a 的值。a22解法一f 的矩阵为A 2a2特征值为 6，0，0。又22

115、aa22E A 22a22(a4)(a2)2a知a4 6a2 0a 2a222法二由f 6y1R(A) 1从而A 2a2 (a2)2(a4) 022a解得a 2 a 4又a 4代入 A 知R(A) 2 1，而a 2代入 A，R(A) 1，从而a 2。（六）二次型及其矩阵是否正定的判别与证明（六）二次型及其矩阵是否正定的判别与证明222 4x2 4x3 2tx1x2 2x1x3 4x2x3正定，则 t =例 25二次型x1解二次型矩阵 1t1At42124由二次型正定知，A 的顺序主子式应全大于零，即11 021t 4t2 0t43 A 4t2 4t 8 0解不等式知 2t 1即为所求例 26设

116、 A 是 3 阶实对称阵，且满足A2 2A 0，若kA E是正定矩阵，则 k解由A2 2A 0知 A 的特征值是 0 或-2，那么kA的特征值是 0 或-2k，kA E的特征值是 1 或 1-2k。又由正定的充分必要条件是特征值全大于0，故k 1。2例 27证明：若 A 是正定矩阵，则A1也是正定矩阵。证明：A 正定，AT A故A1 ATT1 A1，从而A1是对称阵。下面证A1正定。方法一： 设 A 的特征值为， 由 A 正定知，而A1的特征值为1， 由于10，0，故A1正定。方法二：A 正定，故存在可逆阵C，使A CTECA1 C ECT1CE11CT1TC1E C1 T T DTED从而知

117、A1正定。方法三：A 正定，可逆阵 C，使A CTC。故从而知A C C1T1C1CT1TC1C1 TT DTDA1正定。例 28设 A 为m n实距阵，且R(A) n，证明ATA正定。证明：ATAT ATAT T ATA，故ATA是对称阵。T又对x 0，xTATAx Ax Ax 0由 A 是m n距阵，RA n知Ax0仅有零解，即 0 A 0，TATAA A 0, 从而知ATA是正定矩阵。T（七）矩阵的等价、相似、合同、正交（七）矩阵的等价、相似、合同、正交例 29设为 n 维列向量，且 1，证明：TA E 2T为对称的正交矩阵。TTTTTT证明 A (E 2) E 2(2) E 2 A A

118、为对称矩阵TTT又A A (E 2)(E 2) E 44()() E 44( ) E 44 E (TTTTTTTTT1)11-10111 -2,2010T A为正交矩阵2101例 30设A 120 , B= 000t05551C= 033 , D= 00010问： （1）当 t 为何值时，存在可逆矩阵P、Q，使 PAQ =B（2）当 t 为何值时，存在可逆矩阵R，使R AR D（3）当 t 为何值时，存在可逆矩阵W，使WAW C解（1）存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ =B，即 A 与 B 等价，而 A 与 B 等价的充要条件是R(A) R(B)1111 111 因B 01201-2 , R(

119、B)=2012 000故R(A) 2，此时 t= 0，t 0时，存在可逆矩阵 P、Q，使 PAQ =B（2）存在可逆矩阵 R，使R AR D，即AD而AD的充要条件是R(A) R(D)且 A、D 的正惯性指数相等因R(D) 3 t 0时，R(A) 3 R(D)又E D (1)(的正惯性指数为 2而要使 A 的正惯性指数为 2， 必须t 0， 故t 0E A (t)(3)(1)，T1T1515)()，故 D 有两个特征值大于 0，即 D22时，存在可逆矩阵 R，使R AR D（3）存在可逆矩阵 W，使WAW C，即A C而A C则必须R(A) R(C) 3 t 0因而EC (1)(3)(5)，C 的特征值为 1, 3, 5E A (t)(3)(1)要A C，则 A 的特征值必须与 C 的特征值相等故当 t = 5 时，A 的特征值为 1, 3, 5，此时A C。