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1、期末考试复习要点期末考试复习要点1. 函数在一点有定义、连续、可导、可微函数在一点有定义、连续、可导、可微概念之间的关系，函数定义的理解概念之间的关系，函数定义的理解2. 函数在一点可导的定义函数在一点可导的定义3. 会求导数、微分会求导数、微分 复合函数求导：具体函数、抽象函数复合函数求导：具体函数、抽象函数 隐函数求导（求一点处的导数）隐函数求导（求一点处的导数） 由参数方程给出的函数求导由参数方程给出的函数求导 导数的几何意义：会求曲线在一点处的切导数的几何意义：会求曲线在一点处的切线和线和 法线方程法线方程高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数的二阶导
2、数）的二阶导数）4. 函数单调性、极值、极值点、凹凸性、函数单调性、极值、极值点、凹凸性、拐点的判定拐点的判定 用单调性证明不等式用单调性证明不等式 求实际问题的最值求实际问题的最值5. 求极限基本方法，未定式极限求极限基本方法，未定式极限罗比罗比达法则达法则 会求铅直、水平、斜渐近线会求铅直、水平、斜渐近线*6. 原函数、不定积分的定义、性质原函数、不定积分的定义、性质 求不定积分的方法求不定积分的方法直接积分、凑微直接积分、凑微分法、第二换元法、分部积分法分法、第二换元法、分部积分法7. 变限积分求导（各类综合问题）变限积分求导（各类综合问题）*8. 定积分计算：定积分计算： 利用定积分的
3、性质、换元积分法、分部积利用定积分的性质、换元积分法、分部积分法、利用几何意义、对称性（奇分法、利用几何意义、对称性（奇0偶倍）偶倍） 用定积分求平面图形的面积。要求会画圆、用定积分求平面图形的面积。要求会画圆、直线、以及下列曲线的图形：直线、以及下列曲线的图形： 用定积分求旋转体的体积（绕用定积分求旋转体的体积（绕x轴或轴或y轴）轴）9. 反常积分收敛、发散反常积分收敛、发散10. 定理或重要结论的叙述及证明定理或重要结论的叙述及证明 （1）可导与可微的关系）可导与可微的关系 （2）罗尔定理）罗尔定理 （3）拉格朗日定理）拉格朗日定理 （4）原函数存在定理）原函数存在定理 （5）微积分基本公
4、式）微积分基本公式考试题型：考试题型： 选择选择5个，基本计算个，基本计算8个，个， 计算计算4个，个， 应用应用2个，个， 证明证明1个。个。 考试时间：考试时间： 1月月8日日总复习总复习11. 函数在一点有定义、连续、可导、函数在一点有定义、连续、可导、 可微概念之间的关系，函数定义的理解可微概念之间的关系，函数定义的理解有定义有定义连续连续可导可导可微可微有极限有极限1、 设设f(x)在在x0处不连续，则处不连续，则f(x)在在x0处必定（处必定（ ）（A）无定义；）无定义； （B）左、右极限不相等；）左、右极限不相等； （C）不可微；）不可微； （D）不一定可导）不一定可导. 设设f
5、(x)在在x0处连续是处连续是f(x)在在x0处可导的处可导的 （ ）.（A）必要非充分条件；（）必要非充分条件；（B）充分非必要条件；）充分非必要条件；（C）充分必要条件；）充分必要条件； （D）无关条件）无关条件. CA (1) 符号函数符号函数1-1xyo非初等函数举例非初等函数举例:2 2、(2) 取整函数取整函数 y=xx表示不超过表示不超过 的的最大整数最大整数. 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo阶梯曲线阶梯曲线当当求求3 3、2. 函数在一点可导的定义函数在一点可导的定义1 1、解解9/21解解 2、原式原式=解解3、2594 4
6、、解解5、解：解：6、解解7、已知已知解解8、9 9、设设在在处连续处连续, ,且且求求解解: 设设其中其中在在解解:求求处处连续连续,由于由于 f (a) = 0，故，故10、不存在不存在所以所以f(x)不连续，当然更不可导。不连续，当然更不可导。解解11、在在x=1是否可导。是否可导。1212、解解16/21选择选择使使 f(x) 在在处有二阶导数处有二阶导数.1) 利用利用在在连续连续, 即即得得2) 利用利用而而得得1313、解解3) 3) 利用利用而而得得可导可导解解首先首先f(x)在在x=1必须连续，必须连续，其次其次f(x)在在x=1可导，可导，14、1515、解解xxD D=
7、=D D1sinlim01616、解解的连续性和可导性。的连续性和可导性。讨论讨论可导。可导。在在x=0连续不可导。连续不可导。证：证：所以所以f(x)在在x=0连续。连续。17、证明证明所以所以f(x)在在x=0不可导。不可导。18、可导，求可导，求a,b,c可导必连续，故可导必连续，故f(x)在在x=0可导，故可导，故解解19、解解解：解：3. 会求导数、微分会求导数、微分 复合函数求导：具体函数、抽象函数复合函数求导：具体函数、抽象函数 隐函数求导（求一点处的导数）隐函数求导（求一点处的导数） 由参数方程给出的函数求导由参数方程给出的函数求导 导数的几何意义：会求曲线在一点处的切导数的几
8、何意义：会求曲线在一点处的切线和线和 法线方程法线方程高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数高阶导数：会求二阶导数（包括抽象函数的二阶导数）的二阶导数）1 1、解解8/212、3 3、解解7/214、5、解解解解切线方程为切线方程为解解过点（过点（0, b）6、解解解解7、8、解解9、解解10 、（、（1）解解10 、（、（2）解解解解11、12、解解13、14、解解解法一解法一15、解法二解法二两边对两边对x求导数：求导数：两边求微分：两边求微分：16、解解17、求求 处的切线方程和法线方程处的切线方程和法线方程. 切线方程切线方程法线方程法线方程解解18、解：解：解解19、解解20、21、解
9、：解：设设，则则22、4. 函数单调性、极值、极值点、凹凸性、函数单调性、极值、极值点、凹凸性、拐点的判定拐点的判定 用单调性证明不等式用单调性证明不等式 求实际问题的最值求实际问题的最值1、求凹凸区间及拐点求凹凸区间及拐点 。二阶导处处非零，但二阶导处处非零，但x=5时二阶导不存在，时二阶导不存在，连续连续拐点拐点凹区间：凹区间：凸区间：凸区间：拐点（拐点（5，2）解解2、求求a,b,并求出的并求出的f(x)所有极值点、极值和拐点所有极值点、极值和拐点解解是拐点。是拐点。有拐点（有拐点（1，2），），曲线曲线且在拐点处的切线斜率为且在拐点处的切线斜率为 -1，求，求a,b,c.解：解：3、求
10、其凹凸区间和拐点。求其凹凸区间和拐点。已知已知4 4、解解x-+0-f(x)凸凸凹凹拐点拐点凸凸凸区间：凸区间：凹区间：凹区间：拐点：拐点：求其单调区间和极值。求其单调区间和极值。已知已知5 5、解解x0+0-f(x)增增极大极大减减减减单调增区间：单调增区间：单调减区间：单调减区间：是极大值点，极大值为是极大值点，极大值为-1.6、求单调、凹凸区间。求单调、凹凸区间。(-1,0)0(0,1)(1.+)-+-0+ 减凸减凸 增凸增凸拐拐点点 增凹增凹 减凹减凹单调减，单调减，单调增，单调增，拐点：拐点：无极值点。无极值点。y=f(x)在在x=x0处连续且取得极小值，则处连续且取得极小值，则f(
11、x)在在x=x0处必有：处必有： A. B.C. D. 答：答：D7、8、证明：证明：f(x)单调增，单调增，9 9、证证8/2110、设容器底面半径为设容器底面半径为 r,高微高微h,则则容器所用的材料为容器所用的材料为为所求最小值点。为所求最小值点。欲做一个容积为欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能价的两倍，问蓄水池的尺寸怎样设计才能使总造价最低。使总造价最低。解：解：设圆柱底圆半径为设圆柱底圆半径为r,高为高为h，周围单位，周围单位造价为造价为a,则则总造价总造
12、价:11、从而是最小值。从而是最小值。所以当底圆半径和高均设计为所以当底圆半径和高均设计为 时时 ，总造价最低。总造价最低。1212、解解解得解得14/18( k 为某常数为某常数 )13、 铁路上铁路上 AB 段的距离为段的距离为100 km , 工厂工厂C 距距 A 处处20AC AB ,要在要在 AB 线上选定一点线上选定一点 D 向工厂修一条向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运已知铁路与公路每公里货运为使货物从为使货物从B 运到工运到工 20解解: 设设则则令令得得 又所以所以 为唯一为唯一的的极小值点极小值点 ,故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 .总运费总运费厂厂C
13、的运费最省的运费最省,从而为最小值点从而为最小值点 ,问问D点应如何取点应如何取?km ,公路公路, 价之比为价之比为3:5 ,5. 求极限基本方法，未定式极限求极限基本方法，未定式极限罗比达法则罗比达法则 会求铅直、水平、斜渐近线会求铅直、水平、斜渐近线常用等价无穷小：常用等价无穷小：连续，则连续，则k = 1、求求a求求a2、3、4、5、无穷小乘有界变量是无穷小。无穷小乘有界变量是无穷小。6、7、8、9、使用罗比达法则前尽量先化简使用罗比达法则前尽量先化简11、12、求常数求常数使得当使得当. 13、16、17、例例18、19、水平渐近线。水平渐近线。铅垂渐近线。铅垂渐近线。求其渐近线。求其渐近线。20、水平渐近线。水平渐近线。铅垂渐近线。铅垂渐近线。求其渐近线。求其渐近线。斜渐近线斜渐近线斜渐近线的求法斜渐近线的求法: :若若k=0则为水平渐近线。则为水平渐近线。如果上述两个极限有一个不存在，则意味着曲如果上述两个极限有一个不存在，则意味着曲线没有斜渐近线。线没有斜渐近线。渐近线。渐近线。解：解：21、
