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1、第三节第三节 圆的方程圆的方程基础梳理基础梳理1. 圆的标准方程（1）方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r0)表示圆心为 ,半径为 r 的圆的标准方程.（2）特别地，以原点为圆心，半径为r(r0)的圆的标准方程为 .2. 圆的一般方程方程x2+y2+Dx+Ey+F=0可变形为(x+ )2+(y+ )2= .故有：（1）当D2+E2-4F0时，方程表示以 为圆心，以 为半径的圆;(a,b)x2+y2=r23. 点与圆的位置关系对于平面上的任意一点M(x0,y0)和一个圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2,点M与圆C的位置关系及判断方法如下：（1）点M在圆外(x0-a)2+(y0-b)2r2
2、;(2)点M在圆上(x0-a)2+(y0-b)2=r2;(3)点M在圆内(x0-a)2+(y0-b)2r2.4. 求圆的方程的方法和步骤确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为：（2）当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(- ,- ); (3)当D2+E2-4Fr,所以点P在圆外.学后反思 （1）本题方法一与方法二都使用了待定系数法，其中方法一设了圆的标准方程，方法二设了圆的一般方程，都是结合条件来求所设方程中的待定系数；方法三则应用了平面几何知识：圆心与弦的中点的连线与弦垂直.一般而言，在解析几何问题中，能用上平面几何知识，会使解题变得相对简单.(2)无论哪种解法，都围绕着求圆的圆
3、心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系.举一反三举一反三1. 求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x-y-3=0上的圆的方程.解析: 因为圆经过点A(5,2),B(3,2),所以圆心在x=4上;又圆心在2x-y-3=0上，所以可得圆心为（4，5）.可设圆的方程为 ,又圆过B(3,2)，所以 ,即r2=10.故圆的方程为 题型二题型二 与圆有关的参数问题与圆有关的参数问题【例2】(2009威海模拟）已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0,一定点A(1,2),要使过定点A的圆的切线有两条.求实数a的取值范围.分析 (1)方程表
4、示圆，则D2+E2-4F0,即a2+4-4a20.(2)由定点A的切线有两条，则点A一定在圆外.解 已知x2+y2+ax+2y+a2=0表示圆，则应满足a2+4-4a20,即4-3a20,又A应在圆外，有12+22+a+22+a20,即a2+a+90,由,得- a0，此点易被忽视.（2）点(x0,y0)在x2+y2+Dx+Ey+F=0外，x02+y02+Dx0+Ey0+F0.答案： -3举一反三举一反三2. (2009福州模拟)圆 与y轴交于A、B两点，其圆心为P，若APB=90,则实数c=.解析： 圆的方程可化为 ,5-c0.P(2,-1),又APB=90,PA=PB,2=PBsin 45,
5、PB=22.5-c=8,c=-3.题型三题型三 与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题【例3】已知实数x、y满足方程x2+y2-4x+1=0.(1)求 的最大值和最小值；（2）求y-x的最大值和最小值；（3）求x2+y2的最大值和最小值.解 原方程可化为（x-2）2+y2=3,表示以（2，0）为圆心， 为半径的圆.分析 根据代数式的几何意义，借助于平面几何知识，数形结合求解.（1） 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，设 =k,即y=kx.当直线y=kx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时 ,解得k= .(如图1）所以yx的最大值为 ,最小值为- .(2)y-x可看作是直线y=x+b在y轴
6、上的截距.当直线y=x+b与圆相切时，纵截距b取得最大值或最小值，此时 ,解得b=-2 .（如图2）所以y-x的最大值为-2+ ，最小值为-2- .(3)x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方.由平面几何知识知，在原点与圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值.（如图3）又圆心到的原点的距离为 .所以x2+y2的最大值是（2+ ）2=7+4 ,x2+y2的最小值是（2- ）2=7-4 学后反思 （1）本例中利用图形的直观性，使代数问题得到非常简捷的解决，这是数形巧妙结合的好处.（2）本例的解题关键在于能否抓住“数”中的某些结构特征，从而联想到解析几何中的某些公式或方程，从而挖掘出“数”的几
7、何意义，实现由“数”到“形”的转化.(3)与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：形如=y-bx-a形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；形如t=ax+by形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题，可转化为动点到定点距离的平方的最值问题.举一反三举一反三3.已知圆C：（x-3）2+(y-4)2=1,点A(-1,0),B(1,0),点P为圆上的动点，求d=PA2+PB2的最大值、最小值及对应的点P坐标.解析 设P(x0,y0),则d=PA2+PB2=(x0+1)2+y02+(x0-1)2+y02=2(x02+y02)+2.欲求d的最值，
8、只需求=x02+y02的最值，即求圆C上的点到原点距离平方的最值，故过原点O与圆心C的直线与圆的两个交点P1，P2即为所求.设过O,C两点的直线交圆C于P1，P2两点，易知OC所在直线方程为y= x，则min=(OC-1)2=16=OP12,此时dmin=216+2=34,并易得P1( );max=(OC+1)2=36=OP22,此时dmax=236+2=74,并易得P2( ).题型四题型四 圆的方程的实际应用圆的方程的实际应用【例4】(14分）在气象台A正西方向300千米处有一台风中心B，它以每小时40千米的速度向东北方向移动，距台风中心250千米以内的地方都要受其影响，问：从现在起，大约多
9、长时间后，气象台A所在地将受台风影响？持续多长时间？分析几小时后气象台所在地受到台风影响，就是指以台风中心为圆心的圆何时开始经过该城市，持续多长时间即为台风圆何时离开.建立直角坐标系，用时间变量t表示出B点坐标，进而求解.解 以气象台为坐标原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.如图，则现在台风中心B的坐标为（-300，0）.根据题意可知,t小时后，B的坐标为（-300+40tcos 45,40tsin 45）,(300+202t,202t）.3因为以台风中心为圆心，以250千米为半径长的圆上和圆内的区域将遭受台风影响，所以气象台A在圆上或圆内时，将受台风影响.所以令A
10、B250,即（-300+202t2+(202t)22502,.7整理得16t2-1202t+2750,.10解得152-574t152+574.12故大约2小时后，气象台A所在地将遭受台风影响，大约持续6个半小时.14学后反思在解决有关实际问题时，关键要明确题意，根据所给条件建立直角坐标系，建立数学基本模型，将实际问题转化为数学问题解决.举一反三举一反三4. 有一种大型商品，A、B两地都有出售，且价格相同.某地居民从两地之一购得商品后运回的费用是：A地每公里的运费是B地每公里运费的3倍.已知A、B两地距离为10公里，顾客选择A地或B地购买这件商品的标准是：运费和价格的总费用较低.求P地居民选择
11、A地或B地购货总费用相等时，点P所在的方程的曲线形状，并指出曲线上、曲线内、曲线外的居民应如何选择购物地点？解析:如图，以A、B所在的直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系.AB=10,A(-5,0),B(5,0).设P(x,y),P到A、B两地购物的运费分别是3a、a(元/公里).当由P地到A、B两地购物费用相等时，即价格+A地运费=价格+B地运费， 化简整理，得 (1)当P点在以 ,0为圆心、154为半径的圆上时，居民到A地或B地购货总费用相等，此时到A地或B地购物均可.（2）当P点在上述圆内时， .此时到A地购物合算.（3）当P点在上述圆外时， .此时到B地购物合算.考点演练考点
12、演练10. (2009天津)若圆 与圆 （a0）的公共弦的长为 ,求a的值.解析： 易知 的半径为 ，画图可知 ,解得a=1.11. （2010济南模拟）两圆 和 相交于PQ两点，若点P的坐标是(1,2),求点Q的坐标.解析： 由两圆的方程可知它们的圆心坐标分别为(-1,1),(2,-2),则过它们圆心的直线方程为 ,即y=-x，根据圆的几何性质可知两圆的交点应关于过它们圆心的直线对称，故由P(1,2)可得它关于直线y=-x的对称点,即点Q的坐标为(-2,-1).12. 求与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为 的圆的方程.解析: 设所求的圆的方程是 则圆心(a,
13、b)到直线y-x=0的距离为 ,即 .所求的圆与x轴相切， .又圆心在直线3x-y=0上，3a-b=0.联立得：a=1,b=3, 或a=-1,b=-3, ,所求圆的方程为 或 第三节第三节 等比数列等比数列基础梳理基础梳理1. 等比数列的定义一般地，如果一个数列 从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比，通常用字母q表示.2. 等比数列的通项公式一般地，对于等比数列an的第n项an,有公式an= a1qn-1 ,这就是等比数列an的通项公式，其中a1为首项，q为公比.3. 等比中项如果 a,G,b成等比数列 ，那么G叫做a与b的
14、 等比中项.4. 等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am qn-m (n,mN*).(2)若an为等比数列，且k+l=m+n(k、l、m、nN*),则 akal= aman.(3)若an,bn（项数相同）是等比数列，则 (bn0)仍是等比数列. 5. 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(q0),其前n项和为Sn，当q=1时，Sn=na1;当q1时，Sn= a1+a1q+a1qn-1，即6. 等比数列前n项和的性质等比数列an的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列.题型一题型一 等比数列的基本运算等比数列的基本运算【例1】设等比数列an的公比为q
15、(q0)，它的前n项和为40,前2n项和为3 280,且前n项中数值最大项为27,求数列的第2n项.分析 利用前n项和公式列出关于a1与q的方程组，求出a1与q即可，但是需注意的是应分q=1和q1两种情况讨论.解若q=1，则na1=40,2na1=3 280，矛盾. 得1+qn=82,qn=81.将代入，得q=1+2a1.又q0,qn=81,q1,an为递增数列.an=a1qn-1=27.由、得q=3,a1=1,n=4.a2n=a8=137=2 187. 学后反思 在等比数列求基本量的运算中“知三求二”问题通常是利用通项公式与前n项和公式建立方程(组)，解之即可，同时利用前n项和公式时需对q进
16、行讨论.解析: a9+a10=a,a9(1+q)=a,又a19+a20=b,a19(1+q)=b,由 得则a99(1+q)=x,由 得答案: 举一反三举一反三1.(2009潍坊模拟)在等比数列 中, (a0), 则 =_.题型二题型二 等比数列的判定等比数列的判定【例2】已知数列an满足a1=1,an+1=2an+1(nN*).(1)求证：数列an+1是等比数列;(2)求通项公式an.分析利用等比数列的定义证明 为非零常数即可.解 (1)an+1=2an+1,an+1+1=2(an+1) an+1是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列.(2)由（1）知an+1=22n-1=2n,an=2n
17、-1.学后反思 等比数列的判定方法主要有：(1)定义法: (q是不为0的常数，nN*)；(2)通项公式法：an=cqn(c,q均是不为0的常数，nN*); (3)中项公式法：a2n+1=anan+2(anan+1an+2不为零，nN*); (4)前n项和公式法： 是常数，且q0,q1).举一反三举一反三2. (2010合肥质检)已知数列 的前n项和为 ,数列 是公比为2的等比数列.求证：数列 成等比数列的充要条件是 证明：数列 是公比为2的等比数列, 即 ,n=1, n=1 ,n2, n2显然，当n2时， 充分性:当 时， ,所以对nN*,都有 ,即数列 是等比数列.必要性:因为 是等比数列，
18、所以 ,即 ,解得 题型三题型三 等比数列的性质等比数列的性质【例3】(1)在等比数列an中，a1+a2=324,a3+a4=36,求a5+a6的值；(2)已知一个等比数列的前四项之积为 ,第2、3项的和为 ,求这个等比数列的公比.分析(1)利用等比数列的性质求解.（2）注意4个数成等比数列的设法.解（1）由等比数列的性质,知a1+a2,a3+a4,a5+a6也成等比数列，则(a3+a4)2=(a1+a2)(a5+a6),a5+a6=4.(2)依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则学后反思在等比数列的基本运算问题中，一般是建立a1、q满足的方程组，求解方程组，但如果可利用等比数列的性
19、质，便可减少运算量，提高解题速度，要注意挖掘已知，注意“隐含条件”.举一反三举一反三3. (1)在等比数列an中，S4=1,S8=3,求a17+a18+a19+a20的值.(2)在等比数列an中，已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.解析：（1）S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等比数列，而S4=1，S8-S4=2，a17+a18+a19+a20=S424=124=16.（）a3a5=a24,a3a4a5=a34=8,a4=2.又a2a6=a3a5=a24, a2a3a4a5a6 =32 题型四题型四 等比数列的最值问题等比数列的最值问题【例4】(14
20、分)等比数列an的首项为a1=2 008，公比.(1)设f(n)表示该数列的前n项的积，求f(n)的表达式; (2)当n取何值时，f(n)有最大值？分析（1）求出等比数列的通项公式an，然后根据f(n)=a1a2a3an求f(n)的表达式.（2）先判断f(n)的符号，然后根据|f(n)|的单调性，进一步解决问题.解当n=12时，f(n)有最大值为学后反思 只要明确a1的正负，q与1的大小关系即可确定等比数列的前n项和,但是对于求等比数列前n项和的最值问题的方法有:一是用定义，若f(n)f(n+1),f(n)f(n-1)，则f(n)为最大值；二是用函数法.举一反三举一反三4. （2009潍坊模拟
21、）已知等比数列bn与数列an满足bn= （nN*）.(1)判断an是何种数列，并给出证明；(2)若a8+a13=m,求b1b2b20;(3)若b3b5=39,a4+a6=3,求b1b2bn的最大或最小值.解析:(1)证明:设bn的公比为q,bn=3an,3a1qn-1=3an.an=a1+(n-1)log3q,an是以a1为首项，log3q为公差的等差数列.（2）a8+a13=m,由等差数列的性质，得a1+a20=a8+a13=m.(3)由b3b5=39,得a3+a5=9.易错警示易错警示【例1】(2010临沂质检)已知数列 中， ,前n项的和为 ,对任意的自然数n2， 是 与 的等差中项.（
22、1）求 的通项公式;(2)求 错解(1)由已知得 ,又 ,得 , 两式相减得 ,故 ,又 ,故 (2)由于 是首项为1，公比为 的等比数列，故 错解分析 错解(1)主要忽视了 成立的前提n2,只能说明数列从第2项起为等比数列，至于整个数列an是否为等比数列还需验证 是否等于 ，这种在解答过程中忽视数列“定义域”限制而致错的题目频率是非常高的，应引起足够的重视.正解(1)由已知，当n2时， .又 ,由、得 (n2), 上两式相减得 , 成等比数列，其中 ,即 , ,当n2时， 即 ,n=1 （2）当n2时， 当n=1时， 也符合上述公式.【例2】已知一个等比数列的前四项之积为116,第2项、第3
23、项的和为2,求这个等比数列的公比 错解依题意，设这四个数为 , ,aq, ,则 , ,由得 ,代入并整理，得 解得 或 故原等比数列的公比为 或 错解分析从表面上看，这种解法正确无误，但认真审查整个解题过程，由于设这四个数为 , ,aq,aq2,公比为q2,就等于规定了这个等比数列各项要么同正，要么同负，而例题中无此规定，错误就出在这里.正解依题意，设这四个数为a,aq,aq2,aq3,则 解得 或 考点演练考点演练10. 各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ，若 , ,求 解析：由等比数列性质得， , , , 成等比数列，则 由 得 ,又 解得 11. (2010惠州模拟)设正项等比数列 的前n项和为 ,已知 , (1)求首项 和公比q的值；（2）若 ，求n的值.解析 (1) ,解得 (2)由 ,得 n=10.12. (2009全国)设数列 的前n项和为 ,已知 , (1)设 ,证明数列 是等比数列；（2）求数列 的通项公式.解析： (1)由 及 ,得 ,即 , ,当n2时， .-得 = , 又 , 是首项为 ,公比为q=2的等比数列.（2）由(1)可得 =3 , 数列 是首项为 ,公差为 的等差数列, ,即
