algebra代数系统实用教案

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1、第五章代数(dish)系统例5.1考察下列运算是否是指定(zhdng)集合上二元运算?(1)自然数集合N上的加、减、乘、除。(2)整数集合Z上的加、减、乘、除。(3)非零实数集R*上的加、减、乘、除。(4)n阶实矩阵上的加、乘。(5)集合S的幂集上的、-、。(6)集合S上的所有函数的集SS上的复合运算。注意:通常用。，*，.，等符号表示二元运算，称为算符。如：设f:SSS称为S上的二元运算，对于任意的x,yS，如果x与y的运算结果是z，即f()=z,可利用算符。简记为x。y=z第2页/共58页第1页/共58页第一页，共59页。第五章代数(dish)系统例5.2定义实数(shsh)集R上二元运算

2、。：x,yR,x。y=x,计算5。6,4.9。(-8)。定义5.2设S为集合，函数称为S上的一个一元运算，简称为一元运算。例如：(1)求一个数的相反数是Z、Q、R上一元运算。(2)求一个数的倒数是Q*、R*上一元运算。(3)求一个数的共轭复数C上一元运算。(4)集合上的绝对(judu)补运算。(5)求一个双射函数的反函数运算。(6)矩阵的转置运算。同二元运算一样，一元运算也可以用算符。，* *，. .，来表示。第3页/共58页第2页/共58页第二页，共59页。第五章代数(dish)系统运算(ynsun)表一元、二元运算(ynsun)的另一种表示法ai 。aia1 。a1a2 。a2 an 。a

3、n一元(yyun)运算表的一般形式。 a1 a2 ana1 a1。a1 a1 。a2 a1 。ana2 a2。a1 a2 。a2 a2 。an an an。a1 an 。a2 an 。an二元运算表的一般形式第4页/共58页第3页/共58页第三页，共59页。第五章代数(dish)系统例5.4：设S=1，2，给出P(S)上的运算(ynsun)和的运算(ynsun)表。ai ai 1，21 2 2 1 1，2 例5.5设S=1，2，3，4，5，定义S上的二元运算(ynsun)。如下：x。y=(xy)mod5,x,yS求运算(ynsun)。的运算(ynsun)表。 1 2 1，2 1 2 1,2 1

4、 1 1,2 22 2 1,2 1 1,2 1,2 2 1 第5页/共58页第4页/共58页第四页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.3设。为S上的二元运算，如果对于任意的x,yS都有x。y=y。x则称运算。在S上是可交换(jiohun)的，或说。运算在S上符合交换(jiohun)律。考察下列运算在指定集合上是否符合(fh)交换律?(1)实数集合上的加、减、乘、除。(2)n阶实矩阵上的加、乘。(3)集合S的幂集上的、-、。(4) (4) 集合集合S S上的所有函数的集上的所有函数的集S SS S上的上的复合复合运算运算。第6页/共58页第5页/共58页第五页，共59页。第五章代数(d

5、ish)系统定义(dngy)5.4设。为S上的二元运算，如果对于任意的x,y,zS都有(x。y)。z=x。(y。z)则称运算。在S上是可结合的，或说。运算在S上符合结合律。考察下列运算在指定集合上是否(shfu)符合结合律?(1)N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。(2)n阶实矩阵上的加、乘。(3)集合S的幂集上的、。第7页/共58页第6页/共58页第六页，共59页。第五章代数(dish)系统定义(dngy)5.5设。为S上的二元运算，如果对于任意的xS都有x。x=x则称该运算适合幂等律,x为运算。的幂等元。考察下列运算在指定集合上是否符合幂等律?(1)N、Z、Q、R、C集合上的加、乘。普通加法

6、、乘法(chngf)不适合幂等律，但0是加法的幂等元，1是乘法(chngf)的幂等元。(2)n阶实矩阵上的加、乘。同理，n阶零矩阵是矩阵加法的幂等元，n阶单位矩阵是矩阵乘法(chngf)的幂等元。(3)集合S的幂集上的、-。后两个运算一般不适合幂等律，但是它们的幂等元。第8页/共58页第7页/共58页第七页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.6设。和*是S上的两个二元运算(ynsun)，如果对于任意的x,y,zS有x*(y。z)=(x*y)。(x*z)（左分配律）(y。z)*x=(x*y)。(x*z)（右分配律）则称运算(ynsun)*对。是可分配的,也称*对。适合分配律。如：(1)

7、N、Z、Q、R、C集合上的乘法对加法(jif)。(2)n阶实矩阵上的乘法对加法(jif)。(3)集合上的、互相可分配。推而广之,如果*对。分配律成立，则x *(y1。 y2。yn) =(x * y1)。(x * y2)。(x * yn)(y1。 y2。yn)* x =(y1 * x)。(y2 * x)。(yn * x)第9页/共58页第8页/共58页第八页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.7设。和*是S上的两个可交换的二元运算，如果(rgu)对于任意的x,yS都有x*(x。y)=xx。(x*y)=x则称*和。满足吸收律。如：集合上的和满足(mnz)吸收律。即，任意集合A，B满足 A

8、 (A B) =A A (A B) =A第10页/共58页第9页/共58页第九页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.8设。是S上的二元运算(ynsun)，如果存在el(或er)S使得xS都有el。x=x(或x。er=x)则称el(或er)是S中关于。运算(ynsun)的一个左单位元（右单位元）。若eS关于。运算(ynsun)既是左单位元又是右单位元，则称e为S上关于。运算(ynsun)的单位元，即幺元。如：(1)在N、Z、Q、R、C上，0是加法的幺元，1是乘法的幺元。(2)n阶0矩阵是矩阵加法的幺元，n阶单位矩阵是矩阵乘法的幺元。(3)在集合上，是、运算的幺元，全集是运算的幺元。(4

9、)恒等关系是函数复合(fh)运算的单位元。第11页/共58页第10页/共58页第十页，共59页。第五章代数(dish)系统定理5.1设。是S上的二元运算，el、er分别(fnbi)为。运算的左、右单位元，则有el=er=e且e为S上关于运算。的唯一单位元。证明(zhngmng)：el=el。er=erel=er er是右单位元 el是左单位元把把el = = er 记作记作e，则则e是是S S中的单位元。假设中的单位元。假设e 也是也是S S中的单位元，则中的单位元，则e=e。e=e e是单位元 e是是S S中关于中关于。运算的唯一的单位元。运算的唯一的单位元。第12页/共58页第11页/共5

10、8页第十一页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.9设。是S上的二元运算，如果存在l(或r)S使得xS都有l。x=l(或x。r=r)则称l(或r)是S中关于(guny)。运算的一个左零元（右零元）。若S关于(guny)。运算既是左零元又是右零元，则称为S上关于(guny)。运算的零元。如：(1)在N、Z、Q、R、C上，0是乘法的零元，加法没有零元。(2)n阶0矩阵是矩阵乘法的零元，n阶矩阵的加法无零元。(3)在集合上，运算(ynsun)的零元是全集，运算(ynsun)的零元是，无零元。第13页/共58页第12页/共58页第十二页，共59页。第五章代数(dish)系统定理5.2设。是S上

11、的二元运算，l、r分别(fnbi)为。运算的左、右零元，则有l=r=且为S上关于运算。的唯一零元。证明(zhngmng)：l=l。r=rl=r r是右零元 l是左零元把把l = = r 记作记作，则则是是S S中的零元。假设中的零元。假设 也是也是S S中的零元，则中的零元，则=。= 是零元 是是S S中关于中关于。运算的唯一的零元。运算的唯一的零元。第14页/共58页第13页/共58页第十三页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.10设。是S上的二元运算(ynsun)，eS为。运算(ynsun)的单位元，对于xS，如果ylS(或yrS)使得yl。x=e(或x。yr=e)则称yl(或y

12、r)是x的左逆元(或右逆元)。若yS既是x的左逆元又是x的右逆元，则称y为x的逆元。如果x的逆元存在，则称x是可逆的。考虑：(1)整数(zhngsh)集合Z上，加法逆元?(2)n阶0矩阵是乘法逆元、加法逆元?(3)在集合上，运算、运算的逆元?第15页/共58页第14页/共58页第十四页，共59页。第五章代数(dish)系统定理5.3设。是S上的二元运算(ynsun)，e为该运算(ynsun)的单位元.对于xS，如果存在左逆元yl和右逆元yr，则有yl=yr=y且y是x的唯一逆元。证明(zhngmng)：由和得yl=yl。e=yl。(x。yr)=(yl。x)。yr=e。yr=yr yl 。x =

13、e x 。yr = e令令yl= yr= y，则，则y y是是x x的逆元。假若的逆元。假若yS也是也是x x的逆元，则的逆元，则 y=y y=y 。e= y e= y 。(x。y) = (y= (y。x)。y= e。y=y所以y是x的唯一逆元。 通常，将通常，将x x的逆元记作的逆元记作x x-1-1。第16页/共58页第15页/共58页第十五页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.11设。是S上的二元运算，如果(rgu)x,y,zS满足以下条件(1)若x。y=x。z且x,则y=z.(2)若y。x=z。x且x,则y=z.则称。运算满足消去律。(1)、(2)分别称作左、右消去律。考虑：

14、(1)N、Z、Q、R、C上的乘法(chngf)、加法。(2)在集合上，、。第17页/共58页第16页/共58页第十六页，共59页。第五章代数(dish)系统综上所述，二元运算的主要性质(xngzh)：交换律，结合律，幂等律，消去律分配律，吸收律特殊元素：单位元，零元，逆元第18页/共58页第17页/共58页第十七页，共59页。第五章代数(dish)系统例5.6对于(duy)下列给定的集合和该集合上的二元运算，指出该运算的性质，并求出它的幺元，零元和所有可逆元素的逆元。(1)Z+,x,yZ+,x*y=lcm(x,y),即求x,y的最小公倍数。(2)Q,x,yQ,x*y=x+y-xy.解：(1)此

15、运算符合(fh)交换律、结合律、幂等律。1为幺元。不存在零元。只有1有逆元，是它自身，其它元素无逆元。(2)x,yQ都有x*y=x+y-xy=y+x-yx=y*x*满足交换律x,y,zQ有(x*y)*z=(x+y-xy)*z=x+y+z-xy-xz-yz+xyzx*(y*z)=x*(y+z-yz)=x+y+z-xy-xz-yz+xyz*满足结合律第19页/共58页第18页/共58页第十八页，共59页。第五章代数(dish)系统 3 Q 3 Q 有有 3*3=3+3-33=-33 3*3=3+3-33=-33 * *不满足幂等律不满足幂等律 x,y,z Q (x1) x,y,z Q (x1) 有

16、有 x*y=x*z = x+y-xy=x+z-xz = y-z=x(y-z) = y=z x*y=x*z = x+y-xy=x+z-xz = y-z=x(y-z) = y=z 同理由于同理由于* *是可交换是可交换(jiohun)(jiohun)的，故右消去律也成立。的，故右消去律也成立。 * *满足消去律满足消去律 xQ xQ 有有 x*0=x+0-x0=x=0+x-0x=0*x x*0=x+0-x0=x=0+x-0x=0*x 0 0是是* *运算的幺元运算的幺元 xQ xQ 有有 x*1=x+1-x1=1=1+x-1x=1*x x*1=x+1-x1=1=1+x-1x=1*x 1 1是是*

17、*运算的零元运算的零元 对于对于 xQ xQ ，欲使，欲使 x*y=0 x*y=0 和和 y*x=0 y*x=0 成立，即成立，即 x+y-xy=0 x+y-xy=0成立，须成立，须 x x x x y= x-1 (x1) x-1= x-1 (x1) y= x-1 (x1) x-1= x-1 (x1) 第20页/共58页第19页/共58页第十九页，共59页。第五章代数(dish)系统在运算表中判断在运算表中判断(pndun)(pndun)规律：规律：(1) (1) 交换律交换律表是否是关于主对角线对称的。表是否是关于主对角线对称的。(2) (2) 结合律、消去律结合律、消去律按定义观察，找反例

18、。按定义观察，找反例。(3) (3) 幂等律幂等律主对角线元素是否与行、列元素相等。主对角线元素是否与行、列元素相等。(4) (4) 单位元单位元行（列）是否与参与运算的行（列）相行（列）是否与参与运算的行（列）相等的。等的。(5) (5) 零元零元行（列）是否始终是一个值。行（列）是否始终是一个值。(6) (6) 逆元逆元两个元素相交处是否均为单位元。两个元素相交处是否均为单位元。第21页/共58页第20页/共58页第二十页，共59页。第五章代数(dish)系统5.2代数系统及其子代数和积代数定义5.12非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,fk组成的系统称为一个代数系统，简称代数，

19、记作。例如,等都是代数系统。在某些代数系统中存在着一些特定的元素，如单位(dnwi)元、零元等，它们对该系统的运算起着重要的作用，称这些元素为该代数系统的特异元素或代数常数。有时，为了强调这些元素的重要性，经常把它们列到代数系统表达式中。如：，等。第22页/共58页第21页/共58页第二十一页，共59页。第五章代数(dish)系统定义5.13设V=是代数系统，BS,如果(rgu)B对f1,f2,fk都是封闭的，且B和S含有相同的代数常数，则称是V的子代数系统，简称子代数。代数系统的公理(gngl)：代数运算的性质 平凡子代数：对任何代数系统V=，其子代数一定存在。最大的子代数就是V本身。如果令

20、V中所有的代数常数构成的集合是B，且B对V中所有的运算都是封闭的，那么，B就构成了V的最小的子代数。这种最大与最小的子代数称为V的平凡的子代数。第23页/共58页第22页/共58页第二十二页，共59页。第五章代数(dish)系统真子代数：如V的子代数V=满足BS,则称V是V的真子代数。例5.5 设V=,令nZ=nz | z Z.n为自然数。那么nZ是 V的子代数。证明：任取 nZ中的两个(lin )元素nz1和nz2，z1、z2 Z.则有 nz1+nz2=n(z1+z2) nZ, 即nZ对+运算是封闭的；并且0=n0 nZ.所以nZ是 V的子代数。第24页/共58页第23页/共58页第二十三页

21、，共59页。定义5.14积代数(dish)：设V1=，V2=是代数(dish)系统，和*为二元运算。V1和V2的积代数(dish)V1V2是含有一个二元运算的代数(dish)系统，即V1V2=，其中S=S1S2,且对任意的,S1S2有=第五章代数(dish)系统第25页/共58页第24页/共58页第二十四页，共59页。第五章代数(dish)系统53代数(dish)系统的同态与同构定义5.15 代数(dish)系统(S1 , *)和(S2 , o )，是从S1到 S2上 的 一 个 映 射 ： S1S2. x,yS1， 有 (xoy)= (x) *(y)，则称是由(S1,*)到(S2,o)的一个

22、同态映射. 并称G与S同态. 定义5.16 如果是同态且满射，则称S1与S2是满同态，记作S1S2；如果是单射，则称S1与S2是单同态. (f(G),o)称为(G,*)在f下的同态象.。 代数(dish)系统(G,*)到(S, o)，如果f是从G到S的一个双射，则称f是从G到S的同构，设群(G,*)和(S,o)，存在从(G,*)到(S,o)的同态双射，则称群(G,*)与(S,o)同构。 第26页/共58页第25页/共58页第二十五页，共59页。第五章代数(dish)系统例5.6 设V=Z,+,给定a Z,令a:ZZ, a(x)=ax, xZ.那么任取z1,z2Z 有a(z1+z2)=a(z1+

23、z2)=az1+az2=a(z1)+ a(z2)所以a是V到自身的同态，即自同态 当a=0时，有zZ， 0(z)=0,称0为零同态 当a=1时，有zZ， 1(z)=z,1为Z的恒等映射，显然(xinrn)是双射，称1是V的自同构 当a1且a0, zZ有a(z)=az，易知a是单射的，称为单自同态。第27页/共58页第26页/共58页第二十六页，共59页。例5.7对于下面给定的群G1和G2，函数f：G1G2，判断(pndun)f是不是群G1到G2的同态，如果是，说明是单同态，满同态，还是同构？并求同态像f(G1)。(1),其中，是数的加法和乘法，R*是非0实数集合。(2),其中，是数的加法和乘法

24、，C是复数集合(3),其中，是数的加法和乘法，第五章代数(dish)系统第28页/共58页第27页/共58页第二十七页，共59页。解： (1) 总之，f(a+b)=f(a)f(b),所以f是同态函数。因为任何偶数，都映射(yngsh)为1，故f不是单射； 又Ran(f)=1,1R*，故f不是满射。 f(G1)=1,1 第29页/共58页第28页/共58页第二十八页，共59页。 故f=cosx+isinx是同态函数。 容易(rngy)验证所以 f(x)=cosx+isinxs是单射。x取值可数个，而A是幺元上的连续(linx)点，不是满射。所以f(Z)A，f(x)=cosx+isinxs不是满射

25、。 第30页/共58页第29页/共58页第二十九页，共59页。(3) 故f=lnx是同态函数。又因为(yn wi)f(x)=lnx是严格单调函数，只要，所以(suy)，f=lnx是单射。再由f(R+)=R,故f=lnx是满射，最后得到是双射。第31页/共58页第30页/共58页第三十页，共59页。第六章几个(j)典型的代数系统6.1半群与群具有一个二元运算的代数系统定义6.1(1)设V=是代数系统，。为二元运算，如果。是可结合(jih)的，则称V为半群。(2)设V=是半群，若eS是关于。运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫独异点。有时记作。(3)设V=是半群，。为二元运算，如果。是可交换的，则

26、称V为可交换半群。例6.1考察下列代数(dish)系统哪些是半群？哪些是含幺半群？(1),。(2),其中Mn(R)为n阶实矩阵。(3),其中为集合B上的对称差运算。(4),其中Zn=0,1,n-1,为模n加法运算,即xy=(x+y)modn。第32页/共58页第31页/共58页第三十一页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统练习考察下列集合(jh)和运算哪些可以构成半群？哪些可以构成幺半群？(1)S1=1,1/2,2,1/3,3,1/4,*为普通乘法。(2)S2=a1,a2,an,nZ,*定义为:ai*aj=ai,i,jS2。(3)S3=0,1,*为普通乘法。(4)S4=1,2,3,

27、6,x*y表示求x和y的最小公倍数，x,yS2。(5)S5=0,1,*为模2加法。解：(1)不是代数(dish)运算。(2)半群。(3)幺半群，幺元为1。(4)幺半群，幺元为1。(5)幺半群，幺元为0。第33页/共58页第32页/共58页第三十二页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统半群的幂运算对于(duy)半群V=中，xS，规定：x1=xxn+1=xn。x,nZ+用数学归纳法易证得：xn。xm=xn+m(xn)m=xnmm,nZ+独异点是特殊的半群，故也具有(jyu)以上幂运算，只是：x0=exn+1=xn。x,nN本页知识只需了解，不作重点要求。第34页/共58页第33页/共5

28、8页第三十三页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统子半群半群的子代数如果V=是半群，TS，如果T对V中的。运算(ynsun)封闭，则就是V的子半群。子独异点独异点的子代数如果(rgu)V=是独异点，TS，如果(rgu)T对V中的。运算。封闭，且eT，则就是V的子独异点。例题6.2设半群V1=,独异点V2=,其中.为矩阵乘法,S=a,dR,e为2阶单位矩阵,则a 00 d1 00 1T=aRa 00 0V3=是否为半群或独异点?是否为V1的子半群或V2的子独异点?其中第35页/共58页第34页/共58页第三十四页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统解解: : T T对

29、矩阵乘法对矩阵乘法(chngf) . (chngf) . 是可结合的是可结合的, , 故故V3V3是半群。是半群。 T T S, V3 S, V3是是V1V1子半群。子半群。 V3 V3存在自己的幺元存在自己的幺元1 00 0 V3 V3是独异点。是独异点。V3V3不是不是(b shi)V2(b shi)V2的子独异点，因为的子独异点，因为V2V2的幺元的幺元e= e= T T1 00 1第36页/共58页第35页/共58页第三十五页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统定义定义(dngy)6.2 (dngy)6.2 设设V1=S1,V1=, V2=, V2=是半是半群群( (或独异

30、点或独异点) )，令，令S= S1S2 S= S1S2 ， 并定义并定义(dngy)S(dngy)S上上 . . 运算如下：运算如下： ,S, .=a ,S, .=c, b *d称称为为V1V1和和V2V2的积半群，记作的积半群，记作V1 V2 V1 V2 。本页知识只需了解(lioji)，不作重点要求。定义定义6.3 6.3 (1) (1) 设设V V1 1=S=, V, V2 2=S=,*是半群，是半群， :S:S1 1S S2 2 , ,若若 x,yx,yS S1 1有有 (x(x。y)= y)= (x)*(x)* (y)(y)则则 为半群为半群V V1 1到到V V2 2的的同态映射同

31、态映射，简称为，简称为同态同态。(2) (2) 设设V V1 1=S=, V, V2 2=S= 是独异点，是独异点， :S:S1 1S S2 2, ,若若 x,yx,yS S1 1有有 (x(x。y)= y)= (x)*(x)* (y)(y)且且 (e(e1 1)= e)= e2 2则则 为独异点为独异点V V1 1到到V V2 2的的同态映射同态映射，简称为，简称为同态同态。第37页/共58页第36页/共58页第三十六页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统定义6.4设是代数系统，。为二元运算，如果。是可结合的，存在(cnzi)单位元eS，且xG都x-1G，则称G为群。例考察下

32、列(xili)代数系统哪些是群？(1),。(2),Mn(R)为n阶实矩阵。(3),为集合B上的对称差运算。(4),其中Zn=0,1,n-1,为模n加法运算,即xy=(x+y)modn。(5),。为集合S上的复合运算。(6),其中为非零实数集合，。运算定义为：a,bS,a。b=b第38页/共58页第37页/共58页第三十七页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统练习1：考察下列代数系统哪些是群？(1),其中G=an|aZ+nZ,*为普通乘法(chngf)。(2),其中*为普通乘法(chngf)。(3),其中*为普通加法。解：解：(1) (1) 是群，其中是群，其中(qzhng)(qzh

33、ng)单位元为单位元为a0,ana0,an的逆元为的逆元为a-n a-n 。(2) (2) 是群，其中是群，其中(qzhng)(qzhng)单位元为单位元为1, x1, x的逆元为的逆元为1/x1/x。(3) (3) 不是群。不是群。第39页/共58页第38页/共58页第三十八页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统练习2：设V=,其中*定义(dngy)如下：a，bZ,a*b=a+b-2请验证V是群。解：解：显然显然 * * 运算在运算在Z Z上是封闭上是封闭(fngb)(fngb)的。的。 a a，b,cZ,b,cZ, (a*b)*c=(a+b-2)*c=(a+b-2)+c-2

34、=a+b+c-4 (a*b)*c=(a+b-2)*c=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+(b+c-2)-2= a+b+c-4 a*(b*c)=a*(b+c-2)=a+(b+c-2)-2= a+b+c-4 * * 运算是可结合的。运算是可结合的。 aZ, a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*aaZ, a*2=a+2-2=a=2+a-2=2*a 2 2是是* * 运算的单位元。运算的单位元。 aZaZ都存在逆元都存在逆元, a-1=4-a, a-1=4-a综上所述，综上所述，V V是群。是群。第40页/共58页第39页/共58页第三十九页，共59页

35、。第六章几个典型的代数(dish)系统群中常用概念或术语(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则称为无限群。群G的基数称为群G的阶。(2)只含单位(dnwi)元的群称为平凡群。(3)若群G中的二元运算是可交换的，则称G是可交换群或阿贝尔(Abel)群。练习：考察下列代数系统哪些(nxi)是有限群，无限群，可交换群？(1),其中G=an|aZ+nZ,*为普通乘法。(2),其中Zn=0,1,n-1,为模n加法运算,即xy=(x+y)modn。(3),Mn(R)为可逆矩阵。解：(1) (1) 无限群，可交换群。无限群，可交换群。(2) n(2) n阶有限群，可交换群。阶有限群，可交换群。(3) (

36、3) 无限群。无限群。设设G, 是是群，群， a a G,G,使得使得G=aG=ak k|k |k GG证明证明G, 是交换群。是交换群。第41页/共58页第40页/共58页第四十页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统群的幂运算(ynsun)设G是群，xG,nZ,则a的n次幂en=0xn=xn-1xn0(x-1)mn0,n=-m练习(linx)：在中,求30、33、3-2。解：30=033=3231=313131=13-2=(3-1)2=(1)2=11=2第42页/共58页第41页/共58页第四十一页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统定义6.7设G是群，xG,使得

37、等式xk=e成立的最小正整数k称为(chnwi)x的阶，也称为(chnwi)x的周期，记作|x|=k,也称x为k阶元。若不存在这样的正整数k,则称x为无限阶元。练习(linx)：在中,求各元素的阶。解：14=1111=01为4阶元同理可求得：2为2阶元3为4阶元0为1阶元第43页/共58页第42页/共58页第四十二页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统定理6.1设G为群，则G中的幂运算(ynsun)满足：(1)xG,(x-1)-1=x。(2)x,yG,(xy)-1=y-1x-1。(3)xG,xnxm=xn+m,n,mZ。(4)xG,(xn)m=xnm,n,mZ。(5)若G为交换

38、群，则(xy)n=xnyn,nZ。证明要点(yodin)：(1)x-1是x的逆元，而x也是x-1的逆元，由逆元的唯一性知(x-1)-1=x。(2)xyy-1x-1=xex-1=xx-1=e且y-1x-1xy=y-1ey=yy-1=e(xy)-1=y-1x-1(3)、(4)应用数学归纳法。(5)(xy)n=xyxyxy=xxyy=xnynn个xyn个xn个y第44页/共58页第43页/共58页第四十三页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统定理6.2设G为群，a,bG,方程(fngchng)ax=b和ya=b在G中有唯一解.证明：先证明方程ax=b在G中有唯一解.(1)解的存在性的证明

39、.将a-1b代入方程左边(zubian)的x得a(a-1b)=(aa-1)b=eb=ba-1b是方程的解(2)解的唯一性证明设c也是方程ax=b的解,则应有ac=b,从而有c=ec=(a-1a)c=a-1(ac)=a-1ba-1b是方程ax=b的唯一解.同理可证明方程ya=b在G中有唯一解.(自己练习)第45页/共58页第44页/共58页第四十四页，共59页。第六章几个(j)典型的代数系统例题6.5设群G为，其中为集合(jh)的对称差运算,解下列方程ax=和ya,b=b.证明：由定理(dngl)6.2得知:X=a-1又已知群G的单位元为,则a-1=aX=a=a同理y=ba,b-1=ba,b=a

40、第46页/共58页第45页/共58页第四十五页，共59页。第六章几个(j)典型的代数系统例题(lt)6.6设G为群,a,bG,kZ+,证明：(a-1ba)k=a-1babk=b证明：先证“”k个(a-1ba)k=a-1ba=(a-1ba)(a-1ba)(a-1ba)=a-1ba=a-1bka=a-1ba=bk=b定理6.3设G为群，则G中适合(shh)消去律,即对a,b,cG有(1)若ab=ac,则b=c.(2)若ba=ca,则b=c.(请自己证明)再证再证“” k k个个 (a(a-1-1ba)ba)k k= = ( ( a a-1-1ba)(ba)( a a-1-1ba)ba)( ( a

41、a-1-1ba) = aba) = a-1-1b bk ka = aa = a-1-1ba (bba (bk k =b) =b)练习设设G G为群为群, ,a,b a,b G,G,且且(ab)(ab)2 2= a= a2 2b b2 2，证明，证明ab=ba.ab=ba.证明：证明： (ab)(ab)2 2= a= a2 2b b2 2 = = abab=aabb = ab =ba (abab=aabb = ab =ba (消去律消去律) )第47页/共58页第46页/共58页第四十六页，共59页。第六章几个(j)典型的代数系统子群定义6.5设是群，H是G的非空子(kngzi)集,如果H关于G

42、中的运算构成群,则称H是G的子群,记作HG.若H是G的子群,且HG,则称H是G的真子群,记做HG。例如是的子群,其中当n1时是真子群.任何群G都存在(cnzi)子群.G和e都是G的子群,称为G的平凡子群.定理6.5子群判定定理一设设G G为群为群,H,H是是G G的非空子集的非空子集.H.H是是G G的子群当且仅当下列条件成立的子群当且仅当下列条件成立: : (1) (1) a,b a,b H H 有有 ab ab H. H. (2) (2) a a H H 有有 a a-1-1 H. H.证明证明: :先证先证“” H H是是G G的子群的子群, ,故有群的定义知故有群的定义知(1)(1)、

43、(2)(2)显然成立。显然成立。 再证再证“”第48页/共58页第47页/共58页第四十七页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统定理6.5子群判定定理一设G为群,H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当下列条件成立:(1)a,bH有abH.(2)aH有a-1H.证明:（接上页）由(2)知，H中任何元素的逆都属于(shy)H。现只需证明eH.H为G的非空子集，故必aH,由(2)可知a-1H，再由(1)可得aa-1H,即eH.H是G子群。第49页/共58页第48页/共58页第四十八页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统定理6.6子群判定定理二设G为群,H是G的非空子(

44、kngzi)集.H是G的子群a,bH有ab-1H.定理6.7子群判定定理三设G为群,H是G的非空子(kngzi)集.如果H是有穷集，则H是G的子群a,bH有abH.定义(dngy)6.6在群G中如果存在aG使得G=akkZ则称G是循环群.记作G，a是群G的生成元。群G的每个元素都是G的某一固定元素a的乘幂。例：是循环群，其生成元是1或1是循环群，其生成元是1或1第50页/共58页第49页/共58页第四十九页，共59页。定义6.6 在群G中如果存在aG使得G=akkZ 则称G是循环群. 记作G，a是群G的生成元。群G的每个元素(yun s)都是G的某一固定元素(yun s)a的乘幂。例： 是循环

45、群，其生成元是1或1 是循环群，其生成元是1或1第51页/共58页第50页/共58页第五十页，共59页。说明： 1) 循环群都是阿贝尔群，但阿贝尔群不一定是循环群。 2) 在循环群G=中，生成元a的阶与群G的阶是一样的。 3) 对于无限循环群G=中，G的生成元是a或a-1 4) 对于n阶循环群G=e,a,a2,a3,an-1，G的生成元是at是当且仅当t与n是互质(h zh)的。 5) 循环群的子群仍是循环群。第六章几个典型(dinxng)的代数系统第52页/共58页第51页/共58页第五十一页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统6.2环的定义和性质具有两个(lin)二元运算的

46、代数系统定义6.8设是代数系统,+和.是二元运算。如果满足以下条件：(1)构成交换群。(2)构成半群。(3).关于+适合分配律。则称是一个环。例考察下列代数系统哪些是环？(1),。(2),Mn(R)为n阶实矩阵。(3),为集合B上的对称差运算。(4),其中Zn=0,1,n-1,为模n加法(jif)运算,即xy=(x+y)modn, 为模n乘法运算。为了区分环中的两个运算，通常将为了区分环中的两个运算，通常将 + + 运算称为环中的加法，其单位元记作运算称为环中的加法，其单位元记作0 0；. . 运运算为环中的乘法，其单位元记作算为环中的乘法，其单位元记作1 1。对环中的任何元素。对环中的任何元

47、素x x，其加法逆元称为，其加法逆元称为负元负元，记，记作作-x-x；若存在乘法；若存在乘法逆元逆元，则称之为，则称之为逆元逆元，记作，记作x x-1-1。第53页/共58页第52页/共58页第五十二页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统定理(dngl)6.6设是环，则：(1)aR，a0=0a=0。(2)a,bR，(-a)b=a(-b)=-ab。(3)a,b,cR，a(b-c)=ab-ac(b-c)a=ba=ca(4)a1,a2,，an,b1,b2,，bnR(n,m2)=证明：证明：(1) (1) a R a R 有有 a0=a(0+0)=a0+a0 a0=a(0+0)=a0+a0

48、由环中由环中(hun zhn)(hun zhn)加法的消去律得：加法的消去律得： a0=0 a0=0同理可证同理可证 0a=0 0a=0第54页/共58页第53页/共58页第五十三页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统证明证明(zhngmng)(zhngmng)：(2) (2) a,b R a,b R 有有 (-a)b+ab=(-a+a)b = 0b = 0 (-a)b+ab=(-a+a)b = 0b = 0 ab+(-a)b=(a+(-a)b=0b = 0 ab+(-a)b=(a+(-a)b=0b = 0 (-a)b(-a)b是是abab的负元。的负元。由负元的唯一性知由负元

49、的唯一性知 (-a)b=-ab (-a)b=-ab同理可证同理可证 a(-b)=-ab a(-b)=-ab. 对+具有(jyu)分配律0是+的单位元, 也是 . 的零元(3) (3) a,b R a,b R 有有 a(b-c)=a(b+(-c) = ab + a(-c) = ab - aca(b-c)=a(b+(-c) = ab + a(-c) = ab - ac (b-c)a =(b+(-c)a = ba + (-c)a = ba - ca (b-c)a =(b+(-c)a = ba + (-c)a = ba - ca. 对+具有分配律利用（2）的结论第55页/共58页第54页/共58页第五

50、十四页，共59页。第六章几个典型的代数(dish)系统例如(lr)在环中计算(a+b)3,(a-b)2.解:(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)=(a2+ba+ab+b2)(a+b)=a3+ba2+aba+b2a+a2b+bab+ab2+b3(a-b)2=(a-b)(a-b)=a2-ba-ab+b2上述定理的应用.6.2 6.2 整环与域整环与域定义定义6.9 6.9 设设是环是环, ,(1) (1) 若环中若环中(hun zhn)(hun zhn)乘法乘法 . . 适合交换律适合交换律, ,则称则称R R是交换是交换环环. .(2) (2) 若环中若环中(hun zhn)(hun z

51、hn)存在乘法存在乘法 . . 的单位元的单位元, ,则称则称R R是含是含幺环幺环. .(3) (3) 若若 a,b R,ab=0 a,b R,ab=0 a=0b=0, a=0b=0,则称则称R R是无零因子环是无零因子环. .(4) (4) 若若R R既是交换环、含幺环、无零因子环，则称既是交换环、含幺环、无零因子环，则称R R上整环。上整环。补充：设a是环R中的非零元素，若b b R均有ab=ba=0,则称a为环R的零因子。例如:1、整数环、有理数环、实数环、复数环。2、令2Z=2z|z R R关于普通加法和乘法构成的环。3、M(R),+ , ., , M Mn n(R) (R) 为为n

52、 n阶实矩阵。阶实矩阵。第56页/共58页第55页/共58页第五十五页，共59页。第六章几个典型(dinxng)的代数系统定义定义6.106.10设设是整环是整环, ,且且R R中至少中至少(zhsho)(zhsho)含有两个元素。若含有两个元素。若 aR*=R-0,aR*=R-0,都有都有 a-1 R, a-1 R,则称则称R R是域是域. .例如：实数集、复数集关于普通加法和乘法构成域。例如：实数集、复数集关于普通加法和乘法构成域。 而整数环、有理数集不行。而整数环、有理数集不行。第57页/共58页第56页/共58页第五十六页，共59页。结束语依据大纲，其他章节(zhngji)因学时不足故跳过不讲。T THHA ANNK KS S! !THIS IS END OF THIS PART!THIS IS END OF THIS PART!第58页/共58页第57页/共58页第五十七页，共59页。感谢您的观赏(gunshng)！第58页/共58页第五十八页，共59页。内容(nirng)总结第五章代数系统。a1a2。aiai。xx。(1),其中，是数的加法和乘法，R*是非(shfi)0实数集合。(2),其中，是数的加法和乘法，。(xn)m=xnmm,nZ+第五十九页，共59页。