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1、 随机过程 第六章：正态随机过程第六章：正态随机过程第六章：第六章： 正态随机过程正态随机过程6.1 6.1 随机变量特征函数的回顾随机变量特征函数的回顾6.2 6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩多维正态随机变量的定义与协方差矩6.3 n 6.3 n 维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质6.4 6.4 正态随机过程的定义正态随机过程的定义6.5 6.5 正态随机过程的性质正态随机过程的性质 如果对一个随机过程任意选取如果对一个随机过程任意选取 n n 个时刻，则得到个时刻，则得到 n n 个相应的随机变量个相应的随机变量, , 若此若此 n n 个随机变量的联合分布是个随机变量的联合
2、分布是 n n 维正态分布，则称随机过程维正态分布，则称随机过程 X(tX(t) ) 是是正态随机过程（高正态随机过程（高斯过程）斯过程）。正态随机过程定义：正态随机过程定义：随机变量的特征函数：随机变量的特征函数： 随机变量的随机变量的概率密度函数概率密度函数和和特征函数特征函数之间存在一一之间存在一一对应关系，这个关系就是对应关系，这个关系就是 Fourier Fourier 变换对，因此在得知变换对，因此在得知随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数随机变量的特征函数后，就可以知道它的概率密度函数。6.1 6.1 随机变量特征函数的回顾随机变量特征函数的回顾 设设 为随机变量，称
3、为随机变量，称 的数学期望为随机的数学期望为随机变量变量 的特征函数。记为：的特征函数。记为： 已知特征函数，求概率密度函数已知特征函数，求概率密度函数(Fourier(Fourier反变换反变换) )：（1 1）特征函数的定义）特征函数的定义连续型连续型离散型离散型解：解：解答：解答：详细解答见教材P8例题1.2。例题例题6-16-1：结论：结论： 具有具有 X X 的特征函数为的特征函数为 ，则，则 Y=Y=aX+baX+b 的特征函的特征函数为：数为： 证明：证明：（2 2）特征函数的性质）特征函数的性质证明证明：（归纳法证明）：（归纳法证明）当n=1时： 证明省略。证明省略。即：即：定
4、义：定义：若若（3 3）多维随机变量的特征函数）多维随机变量的特征函数特征函数：特征函数：多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数定义：定义： 同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概同一维随机变量一样，多维随机变量的特征函数与概率密度函数是一对率密度函数是一对fourierfourier变换对：变换对：特征函数：特征函数：概率密度函数：概率密度函数： 若若X1X1，X2 X2 统计独立，则统计独立，则： 推广到推广到n n个：个：证明证明：若独立，则若独立，则多维随机变量的特征函数多维随机变量的特征函数性质：性质： 边际特征函数：边际特征函数： 推广到推广到n n个：个：证明证明：
5、 已知已知证明：证明：比较：比较： 一维正态随机变量一维正态随机变量X X的概率密度函数可以表示为：的概率密度函数可以表示为：记为记为特征函数为特征函数为: :6.2 6.2 多维正态随机变量的定义与协方差矩多维正态随机变量的定义与协方差矩（1 1）一维正态随机变量）一维正态随机变量若随机变量若随机变量X X1 1,X,X2 2的联合概率密度函数可以表示为：的联合概率密度函数可以表示为：则称则称X X1 1,X,X2 2为二维正态随机变量。其中为二维正态随机变量。其中为为X X1 1和和X X2 2的的相关系数相关系数。对于上述二维随机变量，其边际概率密度函数可表示为：对于上述二维随机变量，其
6、边际概率密度函数可表示为：因此其边际分布为一维正态分布因此其边际分布为一维正态分布 ： ，（2 2）二维正态随机变量）二维正态随机变量二维正态分布的协方差矩阵可表示为：二维正态分布的协方差矩阵可表示为：二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质：二维正态分布的协方差矩阵具有如下性质： 实对称矩阵；实对称矩阵； 正定矩阵正定矩阵 其逆矩阵可表示为其逆矩阵可表示为二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：二维正态随机变量的联合概率密度也可表示为：其中其中二维正态随机变量的特征函数表示为：二维正态随机变量的特征函数表示为：其中：其中：二维正态随机变量的特征函数也表示为：二维正态随机变量的特征函数也表示为：
7、 若若n n维随机变量的联合密度函数为：维随机变量的联合密度函数为：则称则称 为为 n n 维正态随机变量，其中维正态随机变量，其中C C为为n n维实对称维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：（3 3）n n 维正态随机变量维正态随机变量 若若n n维随机变量的特征函数为：维随机变量的特征函数为： 若若 ，则存在，则存在 n n 阶正交矩阵阶正交矩阵A A，使得使得向量向量 中的分量中的分量Y Y1 1,Y,Y2 2, , , ,Y Yn n是独立的是独立的随机变量，随机变量， 且且 Y Yi i 为一维正态分布为一维正态分布 N N(0,d(0,di i)
8、 )。说明：说明：6.3 n 6.3 n 维正态随机变量的性质维正态随机变量的性质 的特征函数为的特征函数为证明：证明： 总存在正交矩阵总存在正交矩阵A A，通过变换，通过变换 此时随机向量的协方差矩阵，且此时随机向量的协方差矩阵，且 由性质由性质1 1可以知道：可以知道： 为为 n n 维独立随机变量，维独立随机变量， 且且 其中其中, , 则则 由特征函数线性变换的性质，对于：由特征函数线性变换的性质，对于： 可以得到可以得到: :证毕。证毕。 n n维正态分布中任意维正态分布中任意m m维子向量亦为正态分布维子向量亦为正态分布(mn)(mn)证明：证明：已知已知: :若令若令则: n n
9、维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。维正态随机变量的线性变换也为正态随机变量。 即若即若 为正态随机向量，则为正态随机向量，则 亦为正态随机向量。亦为正态随机向量。只需证明其特征函数亦为正态特征函数只需证明其特征函数亦为正态特征函数即即已知已知若若即证明证明： 若若 为为n n维正态随机变量，那么维正态随机变量，那么X1,X2, X1,X2, , ,XnXn相互独相互独立的充要条件是两两互不相关。立的充要条件是两两互不相关。 证明：证明：(1) (1) 若已知两两相互独立若已知两两相互独立, ,则不相关则不相关. .(2) (2) 若已经知道两两不相关若已经知道两两不相关, ,即即C C
10、ijij=0(=0(当当i i不等于不等于j j时时) )，则，则实际上，若：实际上，若：方法二：方法二： 若若 为为n维正态随机变量，则其混合中心距可以用其特征维正态随机变量，则其混合中心距可以用其特征函数来表述：函数来表述： 6.4 6.4 正态随机过程的定义正态随机过程的定义 如果对一个随机过程任意选取如果对一个随机过程任意选取 n n 个时刻，则得到个时刻，则得到 n n 个相应的随机变量个相应的随机变量, , 若此若此 n n 个随机变量的联合分布是个随机变量的联合分布是 n n 维正态分布，则称随机过程维正态分布，则称随机过程 X(tX(t) ) 是是正态随机过程（高正态随机过程（
11、高斯过程）斯过程）。正态随机过程定义：正态随机过程定义： n n维正态随机变量的联合密度函数为：维正态随机变量的联合密度函数为：则称则称 为为 n n 维正态随机变量，其中维正态随机变量，其中C C为为n n维实对称维实对称正定矩阵，也是协方差矩阵。记为：正定矩阵，也是协方差矩阵。记为： n n维正态随机变量的特征函数为：维正态随机变量的特征函数为：6.5 正态随机过程的性质正态随机过程的性质 若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。若正态随机过程为宽平稳，则必为严平稳。 二阶矩过程二阶矩过程宽平稳特点宽平稳特点 X(tX(t) )的期望为常数，与时间无关的期望为常数，与时间无关X(t)X(t)
12、的相关函数只是时间差的相关函数只是时间差t t的函数的函数 若正态过程为宽平稳过程，则若正态过程为宽平稳过程，则 m mX X(t(t)=a )=a 为常数，为常数，R RX X(t(tk k,t,ti i)= )= R RX X(t(tk k-t-ti i).). 任取任取n n个抽样时刻个抽样时刻 t t1 1,t,t2 2, ,t tn n，这，这n n个时刻所对个时刻所对应的随机变量的协方差矩阵为应的随机变量的协方差矩阵为C C，其任意一元素，其任意一元素c ckiki=R=RX X(t(tk k-t-ti i)-a)-a2 2= =c(tc(tk k-t-ti i) )，则该，则该n
13、 n个正态变量对应的特个正态变量对应的特征函数为：征函数为： 证明：证明： 若把若把 n n 个时间抽样点作一个时间平移个时间抽样点作一个时间平移 h h，即取，即取抽样时刻为抽样时刻为t t1 1+h,t+h,t2 2+h,+h,t tn n+h+h，则平移后的对应的，则平移后的对应的 n n 个个正态分布的随机变量的特征函数为：正态分布的随机变量的特征函数为： 如果对如果对高斯过程高斯过程X(tX(t) )在在n n个不同时刻采样，所得一组个不同时刻采样，所得一组随机变量随机变量 X X1 1,X,X2 2, ,X Xn n 为两两为两两互不相关互不相关，则这些随机变，则这些随机变量也是量
14、也是相互独立相互独立的。的。平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为平稳正态随机过程与确定信号之和的概率分布仍为正正态随机过程态随机过程。若正态随机过程若正态随机过程X(tX(t) )在在T T上是均方可微的，则其上是均方可微的，则其导数导数 X X(t(t) )也是正态过程。也是正态过程。若正态随机过程若正态随机过程X(t)在在T上是均方可积的，则其上是均方可积的，则其下列积下列积分也是正态过程。分也是正态过程。 高斯过程通过高斯过程通过线性系统，线性系统，其输出亦为其输出亦为正态随机过程。正态随机过程。 若系统输入端的随机过程为非高斯过程，只要输入随若系统输入端的随机过程为非高斯过程，
15、只要输入随机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端机过程的等效带宽远大于系统的通频带，系统输出端得到正态随机过程。得到正态随机过程。例题例题6-26-2： 设平稳正态过程设平稳正态过程 X(tX(t) ) 均值为均值为0 0，相关函数，相关函数R RX X( ()=(e)=(e- -2|2| |)/4)/4，求对给定时刻求对给定时刻 t t，X(tX(t1 1) )的值在的值在0.50.5和和1 1之间的概率。之间的概率。解：解：例题例题6-36-3： X(tX(t)=Acosw)=Acosw0 0t+Bsinwt+Bsinw0 0t t，其中其中A A与与B B为两个独立的正为两个独立
16、的正态随机变量，且态随机变量，且EA=EB=0EA=EB=0，EAEA2 2=EB=EB2 2= =2 2，w w0 0为常数，求为常数，求X(tX(t) ) 的一维，二维密度函数。的一维，二维密度函数。解：解：X(tX(t) ) 为正态随机过程为正态随机过程， 所以：所以：或者或者或者或者所以所以1.1.X(t)X(t)Xcos2Xcos2t+Ysint+Ysin2 2t t，式中式中X X和和Y Y是独立的随机变量，是独立的随机变量，且均值为且均值为0 0，方差为，方差为2 2，求，求X(0),X(1/4),X(1/2)X(0),X(1/4),X(1/2)的协方差的协方差矩阵。矩阵。2.2.正态随机过程正态随机过程X(tX(t) )有自相关函数有自相关函数3.3.(1)(1)4.4.(2)(2)5.5.且均值为且均值为0,0,试确定随机变量试确定随机变量X(t),X(t+1),X(t+3) X(t),X(t+1),X(t+3) 的协方差的协方差矩阵。矩阵。作业作业 习题：习题：
