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1、第第4节直线、平面平行的判定及性质节直线、平面平行的判定及性质 .以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题整合主干知识1直线与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理平面外一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与此平面_(简记为“线线平行线面平行”)平行l (2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线_(简记为“线面平行线线平行”)ab 平行质疑探究1：若直线a与平面内无数条直线都平行，是否a？提
2、示：有可能a.2平面与平面平行(1)判定定理文字语言图形语言符号语言判定定理一个平面内的两条_与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行面面平行”)相交直线abP (2)性质定理文字语言图形语言符号语言性质定理如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行ab 质疑探究2：(1)能否由线线平行推证面面平行？(2)能否由线面垂直推证面面平行？提示：(1)可以，只需一平面内两相交直线分别平行于另一平面内的两相交直线，即得两平面平行(2)可以，只需两平面垂直于同一直线，即得面面平行质疑探究3：如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面，那么两个平面一定平行吗？提示：不一定可能相
3、交，此时无数条直线都平行于交线质疑探究4：由公理4知直线与直线的平行有传递性，那么平面与平面的平行具有传递性吗？提示：有即三个不重合的平面，若，则.1设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l解析：利用相应的判定定理或性质定理进行判断，可以参考教室内存在的线面关系辅助分析选项A，若l，l，则和可能平行也可能相交，故错误；选项B，若l，l，则，故正确；选项C，若l，l，则，故错误；选项D，若，l，则l与的位置关系有三种可能：l，l，l，故错误故选B.答案：B2下列命题正确的是()A若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
4、B若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行解析：利用线面位置关系的判定和性质解答A错误，如圆锥的任意两条母线与底面所成的角相等，但两条母线相交；B错误，ABC的三个顶点中，A、B在的同侧，而点C在的另一侧，且AB平行于，此时可有A、B、C三点到平面距离相等，但两平面相交；D错误，如教室中两个相邻墙面都与地面垂直，但这两个面相交，故选C.答案：C3(2015长沙模拟)若直线ab，且直线a平面，则直线b与平面的位置关系是()AbBbCb或bDb与相交或b或b解析：当b
5、与相交或b或b时，均满足直线ab，且直线a平面的情况，故选D.答案：D4已知、是不同的两个平面，直线a，直线b，命题p：a与b没有公共点；命题q：，则p是q的_条件解析：a与b没有公共点，不能推出，而时，a与b一定没有公共点，即p/ q，qp，p是q的必要不充分条件答案：必要不充分5在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为_解析：如图连接BD与AC交于O点，连接OE，所以OEBD1，而OE平面ACE，BD1平面ACE，所以BD1平面ACE.答案：平行聚集热点题型典例赏析1如图，四棱锥PABCD中，ABAC，ABPA，ABCD，AB2CD，E，F，G
6、，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点(1)求证：MNAB；(2)求证：CE面PAD. 直线与平面平行的判定与性质 思路索引(1)由中点联想中位线MNDCAB.(2)可在PAD中寻作与CE平行的线，或者利用面CEF面PAD，证CE面PAD.证明(1)M、N为PD、PC的中点，MNDC，又DCAB，MNAB.(2)证法一：图(1)图(2)又AFCD，所以四边形AFCD为平行四边形所以CFAD.又CF平面PAD，所以CF平面PAD.因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EFPA.又EF平面PAD，所以EF平面PAD.因为CFEFF，故平面CEF平面PAD.又CE平面CEF，所以CE平面P
7、AD.拓展提高(1)证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质，或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行(2)证明直线与平面平行的方法：利用定义结合反证；利用线面平行的判定定理；利用面面平行的性质提醒证明线面平行时，要注意说明已知直线不在平面内变式训练1(2015湛江模拟)如图，在直三棱柱(侧菱与底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，点D是AB的中点求证：AC1平面CDB1.证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，D是AB的中点，E是BC1的中点，DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平
8、面CDB1.典例赏析2 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证：(1)B，C，H，G四点共面. (2)平面EFA1平面BCHG. 平面与平面平行的判定与性质 思路索引(1)要证明B，C，H，G四点共面，只需要证明直线GH与直线BC共面，即证明GHBC即可(2)要证明平面EFA1与平面BCHG平行，可利用面面平行的判定定理证明证明(1)因为G，H分别是A1B1，A1C1的中点，所以GH是A1B1C1的中位线，所以GHB1C1.又因为B1C1BC，所以GHBC，所以B，C，H，G四点共面(2)因为E，F分别是AB，AC的中点，所以EFBC
9、.因为EF平面BCHG，BC平面BCHG，所以EF平面BCHG.因为A1G綊EB，所以四边形A1EBG是平行四边形，所以A1EGB.因为A1E平面BCHG，GB平面BCHG，所以A1E平面BCHG.因为A1EEFE，所以平面EFA1平面BCHG.思考在本例条件下，若D1，D分别为B1C1，BC的中点，求证：平面A1BD1平面AC1D.证明：如图所示，连接A1C交AC1于点H，因为四边形A1ACC1是平行四边形，所以H是A1C的中点，连接HD，因为D为BC的中点，所以A1BHD.因为A1B平面A1BD1，DH平面A1BD1，所以DH平面A1BD1.又由三棱柱的性质知，D1C1綊BD，所以四边形B
10、DC1D1为平行四边形，所以DC1BD1.又DC1平面A1BD1，BD1平面A1BD1，所以DC1平面A1BD1，又因为DC1DHD，所以平面A1BD1平面AC1D.名师讲坛1判定面面平行的方法方法一利用定义(不易操作)方法二利用面面平行的判定定理方法三利用线线平行直接证面面平行方法四利用面面平行的传递性(，)方法五利用线面垂直的性质(l，l )2面面平行的性质(1)两平面平行，则一个平面内的直线平行于另一平面(2)若一平面与两平行平面相交，则交线平行提醒：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行重视三种平行间的转化关系线线平行、线面平行、面面平
11、行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想，解题中既要注意一般的转化规律，又要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向 证明：(1)连接AC，BD，设ACBDO，连接VO，则VO平面ABCD.设AMBDE，由BMBC13，MEBAED，得BEED13，E为OB的中点，连接PE，E为OB的中点，P为VB的中点，故PEVO，在DA上取一点N，使DNDA13，连接CN，设CNBDF，连接QF，同理QFVO，于是PEQF.连接QN，在正方形ABCD中，AMCN，平面APM平面CQN，又CQ平面CQN，CQ平面PAM.典例赏析3 (2015东城区综合练习)一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M，N分
12、别是AB，AC的中点，G是DF上的一动点(1)求该多面体的体积与表面积；(2)当FGGD时，在棱AD上确定一点P，使得GP平面FMC，并给出证明空间平行的探索问题 思路索引(1)由三视图得出几何体的特征，计算体积(2)猜想P在AD上的位置来证明GP面FMC.拓展提高平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行变式训练3 如 图 ， 四 棱 锥 PABCD中 ，PD平面ABCD，底面ABCD为矩形，PDDC4，AD2，E为PC的中点(1)求三棱锥APDE的体
13、积；(2)AC边上是否存在一点M，使得PA平面EDM？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由解：(1)因为PD平面ABCD，所以PDAD.又因ABCD是矩形，所以ADCD.因PDCDD，所以AD平面PCD， 所以AD是三棱锥APDE的高因为E为PC的中点，且PDDC4，备课札记_提升学科素养(理)立体几何证明问题中的转化思想(注：对应文数热点突破之三十五)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点求证：(1)AN平面A1MK；(2)平面A1B1C平面A1MK.审题视角(1)要证线面平行，需证线线平行(2)要证面面垂直，需证线面垂直，要证线面垂直，
14、需证线线垂直. 证明(1)如图所示，连接NK.在正方体ABCDA1B1C1D1中，四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，AA1DD1，AA1DD1，C1D1CD，C1D1CD.N，K分别为CD，C1D1的中点，DND1K，DND1K，四边形DD1KN为平行四边形KNDD1，KNDD1，AA1KN，AA1KN.四边形AA1KN为平行四边形ANA1K.A1K平面A1MK，AN平面A1MK，AN平面A1MK.(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCDA1B1C1D1中，ABC1D1，ABC1D1.M，K分别为AB，C1D1的中点，BMC1K，BMC1K.四边形BC1KM为平行四边形MKBC1
15、.在正方体ABCDA1B1C1D1中，A1B1平面BB1C1C，BC1平面BB1C1C，A1B1BC1.MKBC1，A1B1MK.四边形BB1C1C为正方形，BC1B1C.MKB1C.A1B1平 面 A1B1C， B1C平 面 A1B1C，A1B1B1CB1，MK平面A1B1C.又MK平面A1MK，平面A1B1C平面A1MK.方法点睛(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形
16、的中线等；(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范(2014北京高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中 ， 侧 棱 垂 直 于 底 面 ，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F分别是A1C1，BC的中点(1)求证：平面ABE平面B1BCC1；(2)求证：C1F平面ABE；(3)求三棱锥EABC的体积(1)证 明 ： 在 三 棱 柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，所以BB1AB.又因为ABBC，所以AB平面B1BCC1.所以平面ABE平面B1BCC1.1一种关系平行问题的转化关系2二个防范(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误(2)线面平行的性质定理的符号语言为：a，a，bab，三个条件缺一不可.
