《chapt31二维随机变量及其分布》由会员分享，可在线阅读，更多相关《chapt31二维随机变量及其分布（48页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第三章第三章 多维随机变量及其分布多维随机变量及其分布u第一节第一节 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布u第二节第二节 边缘分布边缘分布u第三节第三节 条件分布（不讲）条件分布（不讲）u第四节第四节 随机变量的独立性随机变量的独立性u第五节第五节 两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 在实际问题中在实际问题中, , 试验结果有时需要同时用两试验结果有时需要同时用两个或两个以上的随机变量来描述个或两个以上的随机变量来描述. .例如：用温度和例如：用温度和风力来描述天气情况风力来描述天气情况. .用身高和体重来描述人的生用身高和体重来描述人的生理特征理特征. .通过对含碳、含硫、
2、含磷量的测定来研究通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究钢的成分钢的成分. .要研究这些随机变量之间的联系要研究这些随机变量之间的联系, ,就需就需考虑多维随机变量及其取值规律考虑多维随机变量及其取值规律多维随机变量多维随机变量及其分布及其分布. .第一节第一节 二维随机变量及其分布二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布三、二维三、二维连续型连续型随机变量及其分布随机变量及其分布四、二维连续型随机变量中两个重要分布四、二维连续型随机变量中两个重要分布一、二维随机变量及其分布一、二维随机变量及其分布1.二维随
3、机变量二维随机变量 P63 设设S=e为随机试验为随机试验E的样本空间，的样本空间，X=X(e)和和Y=Y(e)为定义在样本空间为定义在样本空间S上的二个随机变量，则上的二个随机变量，则由它们构成的向量由它们构成的向量(X,Y) 称为样本空间称为样本空间S上的一个上的一个二维随机变量二维随机变量或或二维随机向量二维随机向量. .注注注注1）应把二维随机变量）应把二维随机变量(X,Y)看作一个整体，因为看作一个整体，因为X与与Y之间是有联系的之间是有联系的.2）几何上二维随机变量）几何上二维随机变量(X,Y)可看作平面上的随可看作平面上的随机点机点.二维随机变量的例子二维随机变量的例子1）对一目
4、标进行射击，令）对一目标进行射击，令X: 弹着点与目标的水平距弹着点与目标的水平距离离; Y: 弹着点与目标的垂直距离，则弹着点与目标的垂直距离，则 (X, Y)是一个是一个二维随机变量二维随机变量.2）观察某地区的气候状况，令）观察某地区的气候状况，令X: 该地区的温度；该地区的温度； Y: 该地区的湿度，则该地区的湿度，则 (X, Y)也是一个二维随机变量也是一个二维随机变量.2.二维随机变量的联合分布函数二维随机变量的联合分布函数 P63(1)(1)定义定义 设设（X, YX, Y）是二维是二维是二维是二维随机变量随机变量, ,对于任意实对于任意实数数x, y. .二元函数二元函数称为称
5、为二维随机变量二维随机变量（X, YX, Y）的分布函数的分布函数或或X X和和和和Y Y的的联合分布函数联合分布函数将二维随机变量看作将二维随机变量看作XOY平面上平面上随机点的坐标，则联合分布函数随机点的坐标，则联合分布函数F(x,y)表示随机点表示随机点(X,Y)落在无穷落在无穷矩形区域矩形区域内的概率内的概率( (图中阴影部分图中阴影部分) )(2)(2)二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义二元分布函数的几何意义 P63 P63(x,y)(X,Y)x1x2y1y2当当时时(3)(3)一个重要的公式一个重要的公式一个重要的公式一个重要的公式1)1) 对任意对
6、任意(x, y) R2 , xyxy(4)(4)二元分布函数的二元分布函数的二元分布函数的二元分布函数的性质性质性质性质 P64 P640 F(x, y) 1 ，且，且xyxy 2) F(x, y)关于关于 x 和和 y 是不减函数是不减函数. .即：即： 对任意对任意y R, 当当x1x2时，时，F( x1, y ) F( x2 , y )； 对任意对任意x R, , 当当y1 y2时，时，F(x , y1 ) F(x , y2). 3) F(x, y)关于关于x和和y均是右连续的，即：均是右连续的，即：说明：说明：任一具有上述四条性质的二元函数任一具有上述四条性质的二元函数F(x, y)皆
7、可以作为某个二维随机变皆可以作为某个二维随机变量量(X, Y)的分布函数。的分布函数。4) 4) 对于任意对于任意例例l(P64) 已知二维随机变量（已知二维随机变量（X，Y）的联合分布函数）的联合分布函数（1 1）确定常数）确定常数A、B、C（2 2）求概率）求概率(补补)为为解：解：从而得：从而得：1.二维离散型随机变量二维离散型随机变量 P65二、二维离散型随机变量及其分布二、二维离散型随机变量及其分布 若二维随机变量若二维随机变量(X,Y)的所有可能的取值为的所有可能的取值为有限对或可列无限多对时，则称有限对或可列无限多对时，则称(X,Y)为为二维离二维离散型随机变量散型随机变量. .
8、2.二维离散型随机变量的联合分布律二维离散型随机变量的联合分布律 P65 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的所有可能取值为的所有可能取值为(xi , yj) , (i , j=1,2, ),且每对取值的概率为且每对取值的概率为并且并且pij满足满足( () )则称则称( () )为为二维随机变量二维随机变量(X,Y)的概率分布或分布律的概率分布或分布律，或称为或称为随机变量随机变量X X和和和和Y Y的联合分布律的联合分布律(1)(2)Y Xy1y2yjx1p11p12p1jx2p21p22p2jxipi1pi2pij其中其中二维离散型随机变量的联合分布律表格表示法二维离散型随机变量的联
9、合分布律表格表示法例例2.一一口口袋袋中中5个个球球，依依次次标标有有2，2，2，3，3，在在袋袋中中任任取取一一球球，不不放放回回袋袋中中，再再从从袋袋中中任任取取一一球球，设设每每次次取取球球时时，袋袋中中各各球球取取到到的的可可能能性性相相同同，以以X、Y分分别别表表示示第第一一次次、第第二二次次取取得得的的球球上上标标有有的的数数字字，求（求（X，Y）的联合分布律。）的联合分布律。解：解：(X,Y)的可能取值为的可能取值为(2,2), (2,3), (3,2), (3,3)从而得从而得(X,Y)的联合分布律：的联合分布律：1/103/1033/103/10232YX3.二维离散型随机变
10、量（二维离散型随机变量（X，Y）的分布函数）的分布函数D为为XOY平面上某一个点集平面上某一个点集例例3 在箱子里装有在箱子里装有12只开关，其中只开关，其中2只是次品，在其只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只作不放回抽样，设随机中随机地取两次，每次取一只作不放回抽样，设随机变量变量X、Y如下：如下：求求: (1) (X,Y)的联合分布律；的联合分布律；(2) (3) 分布函数分布函数F(x , y)(X,Y)的可能取值为的可能取值为(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)解解. .（1 1）X Y0101/665/3315/3315/22从而得从而得(X,Y)的联合分布律：的
11、联合分布律：(2)（X,YX,Y）（X,YX,Y）x0 或或 y0 时时0x1 且且 0 y1 时时0x1 且且 y 1 时时11xyo（X,YX,Y）(3)（X,YX,Y）x1 且且 0 y0、 20、| | 1，则称，则称(X, Y) 服从参数为服从参数为 1 , 2 , 1 , 2 , 的的二维正态分布二维正态分布，记为，记为二维正态分布图二维正态分布图例例6. 设设(X, Y)在区域在区域 G =(x, y)|1x 1,x2 y 1上服从均匀分布，试求概率上服从均匀分布，试求概率PY X解：解： 区域区域G的面积为：的面积为：所以所以,（X, Y）的概率密度为的概率密度为xyoG1-1y=x21xyoG1-1y=x21y=x
