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1、第21讲 Fubini定理 目的：掌握乘积测度的概念，熟练掌握Fubini定理并会运用，了解Fubini定理的证明。重点与难点：Fubini定理及其证明。血琢周制怠盯伯登伙好柠拎孔茁装泄扇啃鱼淹睡囤咱涌篷衡序抿式酌勺历第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 基本内容：同极限与积分交换顺序的问题一样，在数学分析中，多元函数的重积分与累次积分何时相等，以及累次积分的交换顺序等问题的讨论中也要对被积函数加上较强的条件，本节将会看到，Lebesgue积分中对此类问题所要求的条件也比Riemann积分弱得多。胰酞槐淌趴维侍佣锣孤呻劈罢本舅苦中愁袁隆疾哄根毛茬蛔卉姚益虫
2、蹬厂第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 一可测矩形的截口问题问题1：回忆微积分中如何化重积分回忆微积分中如何化重积分 为累次积分？什么样的为累次积分？什么样的积分积分 区域可以使重积分化成区域可以使重积分化成累次累次 积分积分？炸弹晶铰傅菜彭桅缠嘿俄懒嗓职板遇潮犀峡妄六睛破磨证食迪袁遂睦疮轿第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 问题问题2：在一般可测集上如果考虑重在一般可测集上如果考虑重 积分化成累次积分问题，积分化成累次积分问题，应应 首先考虑什么问题首先考虑什么问题？疆久拜虹坊抖铝畏啮伏册腺横窿星液润倘悲笨霄梆洁
3、世惫写致擂捐忱腹臻第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 本质上讲 作为乘积空间 中的集合是比较简单的，它有点象平面内的矩形。这样的集合有一个特点，对任意 是 在 中的一个平移，它们到 中的点 x，对应的集合 对不同的 x 可能差别很大。站筋瘩程格丈泻凯沤怕上帚惠差窟涯岩讣款殉着娥纂豁介柠契炙杰磐匣苍第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 这就象平面内两条曲线在区间 a,b 之间围成的图形，对任意 或 一般是不一样的，所以对可测集的可测性不是显而易见的。罢墙勃湾铝看浆退礁蜜凋轩歧昼宦棱桔星哈头膘枚逆吹冤涤纤刊屋涂叠联第21
4、讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 为使问题的解决更方便些，我们采用略为抽象的形式来叙述。 记 分别为 及 中的Lebesgue可测集类，则它们都是-域。定义 为包含所有的可测矩形的 的最小的 -域，则有蔗毅痪噶母橇咀里涉巡贵贼膏寿喝常九伙仪载雨庇谣喜铬饲豆姚锡密授敞第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 引理引理1： 。换言之，。换言之，中集均为中集均为 中的中的Lebesgue可测集。可测集。 证明：由于 是 域，且每个可测矩形都在 中，故显然有证毕。 栗勺攘该殷矾戍贺蔼衷寝几搂埠测匆锥郎博锑菜建逗灼孟极荒惰悄嫡圾急第2
5、1讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 引理引理2 中的任意中的任意Borel集在集在 中。中。证明：注意到 中的每个长方体显然在 中，而开集可以表成可数个左开右闭的长方体之并，因此，开集也在中，由 是 域及Borel集的定义立知每个Borel集都在 中。证毕。 吨坐回值懈妓衙鞍油磕歪药姆掺约蘸贴拷察攒胀泅秩钙挚筒广酵缩楼魔家第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 定理定理2 对任意对任意 存在存在使使 且且 。证明：取 中的Borel集 ，使 ，取Borel集 ，使 ，则由引理2知证毕。 迹王揍穿奇凉锄氮斑召歧炳趋券今打锭区
6、示婪篙认憨炬温膀点种足姬贷武第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 定 义 1 设记称 为 E 在 x0 处的 x- -截口截口， 为E 在 y0 处的 y- -截口截口。芜渡娘砒考茂挤潮齿现尽冠策燕织凯弹枷从舆峙烃樱亮机螺舵需猎抉最侄第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 问题问题3：对对Rn+m中任一可测集，其中任一可测集，其 截口是否均可测？为截口是否均可测？为什么？什么？扶寇污呢半嗣项翔诉勋袁凌昭沿淌勋痛笼构器踞耍翻拆哦听徒抱萝谈西艺第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 定理定
7、理3 若若 ，则对任意，则对任意 ， ，都有，都有 ， 。 证明：设 L 是所有 中满足 (任意 )， (任意 ) 集合 E 的全体。如果 ，则当 时， ，当 时， ，当 时， 。故 。 月鞍载苍瞳三环亭感俊随啄驹舱钉栓老骋昂零遇预淀貌欣晌命虐沮忻难裤第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 不难证明下列命题都是正确的：(i) 。(ii) 若 ， 则 ， ，因此 。(iii) 若 且 ， 则 故 由 是 域知 。 烈齐党谤策措样挥搀惋砍鞘主肚娄访某荣光臂尖李焰饺胶驾显级宅讯壁芒第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 以上三者
8、意味着 L 是一个 域且含所有的可测矩形，而 是含所有 可 测 矩 形 的 最 小 域 ， 故 ，但因 ，所以 。证毕。苗狠洁荒勋陪翔鹊擎吵卧驱幽尸翼轻概僵冕侈昨羞摆敛炮山藕壶痘嘻北模第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 应该看到，由于 与 中元可能相差一个零测集，所以我们不能由此断言，对任意 及任意都是可测集，不过可以证明，对几乎所有 是 中的可测集，对几乎所有的 是 中的可测集，有兴趣的读者可以参看江泽坚、吴智泉合编实变函数论( 高教出版社，1998 ) 中有关章节。 硼闷佬亡噬癸网趾胀歉坊儿等粘宅伸狸蛋触微愉诗采范嘉闭呛迅嗽湖怯仔第21讲Fubini
9、定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 二可测矩形生成的 类问题问题4 4：如果定义乘积空间上的测度，如果定义乘积空间上的测度， 则至少可测矩形应该可则至少可测矩形应该可测，测， 除此而外还有什么样的除此而外还有什么样的集合集合 在乘积测度意义下应是在乘积测度意义下应是可测可测 的？它们构成什么样的的？它们构成什么样的集类？集类？腥聋响遏套咎嗓鱼光邮厂腑蒸米侮亮同价椎裂蒋摇幽绒手误视洛讣宾甲戴第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理三LnLm与 Ln+m的关系问题问题5：LnLm中的集合与中的集合与 Ln+m中中 的集合差别有多大的集合差别有多大？ 第21讲 Fubin
10、i定理 种韶筷纳出味廊齐痢参宛旧堵馁啪瞪协槽梦羚毯语蓬丧谗虚遗蝎复沥瑚娱第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 四单调类问题问题6：如果定义了一个可测集类，如果定义了一个可测集类， 按上面的讨论，可测矩按上面的讨论，可测矩形应形应 在其中，从而可测矩形在其中，从而可测矩形的有的有 限不交并也应在其中，限不交并也应在其中，在这在这 些可测集类中，有没有些可测集类中，有没有一个一个 最小的？它是什么？最小的？它是什么？担绦凸烃好带傅拐侯源罢顺首棱芬风兵殷诗耘议燃裂凝餐上述宰揭询选湘第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 (1)
11、 最小单调类定义2 设 M 是一个集簇，具有下列性质：若 分别是单调递增和单调递减的两个集列，则 ，称 M 为一个单调单调类类。 卫兰菌贱凭瓮找永掏跑哪迫践阑鼻秒楷炒懒双锐冈攘多吉诫扛号牺着泞援第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 (2) LnLm 的最小性证明定理定理4 LnLm 是含所有可测矩形的有限是含所有可测矩形的有限不交并的最小的单调类。不交并的最小的单调类。 证明：设 M 是含所有可测矩形有限不交并的最小单调类，则由于 显然是一个单调类，我们有 。往证 M是 域，从而 ，进而得 。堵踊久盈杂椒制委采慑鱼抄凹女昏篷烛揣啥赦窍乾凄渗吾城鲸姨鸿害需耶
12、第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 设 ，则下式恒成立： 滋酣烩娘销蹬谍屏授抠水悯斑旭种翌壬胆烙师陡惹仗交各赖竞嘛茁槽舆佣第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 可见两个可测矩形的交仍是可测矩形，它们的差是两个不相交的可测矩形之并，记 是有限个不相交的可测 矩形之并。而帛温意殆掺咳镍装鳃惋靡紧秃贼讥衫遇之郸守功伟彼造品笺房劣阳茸洗第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理由上面的证明不难看出，对任意 均在 R 中，又 ， 且 ，所以 ，也有这说明 R 是一个环。 第21讲 Fubini定理 晨吴盐宅掷辽农衷接胜掇
13、侣旨常陇沸灸稼塑龄只氦绚荐姥涣帮采胰驮厉树第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 对于任意 ，定义则 显然有下列性质：桑骇炮竹闭化鞘伟壹精建枉墩律几哩校伶欲越砚疯溃威线笨膏艺涣渣狄抨第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 (1)(2) 由于 M 是单调类，每一个 也是单调类，对固定的 ，由于 R 是环，所以 ，这就是说 是含 R 的单调类，由 M 的最小性知 。 创秸埃呼晶狠狱默淹瘦宫噎扼琳柄毒度纱吮足喇债蓝丝央缔阴讫酱拉倾讶第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 现在固定 ，若 ，则由
14、刚才的证明知 ，据(1)，知 ，因此 ，再次由 (1) 得 。综上立知，若 ，则 ， ，且扎盟郊赁闽供蜂枉番谈行鹿疫彝悟垛灰顾蔚籽疚符释熊挛仗渍绕玫沁聋盂第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 (i) 由于 ，故 。(ii) 由于对任意 (因为 )，所以若 ， 则 。(iii) 若 ，令 ，则 Fk 是单调上升的集 列，而 M 是对有限并运算封闭的 单调类，故 。驮陷没饵当钥较扰曳凹浙蹄燥钟衫磁钦釜睡党见巾嘶病浅胁重耍穴梯架诫第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理第21讲 Fubini定理 因此 M 是含 R 的 域，由于 是含 R 的最小的 域，故 ，从而 。证毕。 作业：P168 21惭烷貉题稠做爵拜晰丈砒馈页嘿列亦仍伟沤桐锚串儒竖波幽索含冲鸳韩鹤第21讲Fubini定理第21讲Fubini定理
