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1、第二节 数列的极限一、一、 数列极限的定义数列极限的定义二、二、 数列极限的性质数列极限的性质三、三、 收敛准那么收敛准那么上一页上一页下一页下一页返回返回“割之弥割之弥细，所，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以致于不可割，以致于不可割，那么与割，那么与圆周周合体而无所失矣合体而无所失矣1 1、割、割圆术：播放播放刘徽刘徽概念的引入概念的引入上一页上一页下一页下一页返回返回正六边形的面积正六边形的面积正十二边形的面积正十二边形的面积正正 形的面积形的面积上一页上一页下一页下一页返回返回2 2、截丈问题：、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭一尺之棰，日截其半，万世不竭上一页上一页下一页下
2、一页返回返回一、数列极限的定义一、数列极限的定义例如例如上一页上一页下一页下一页返回返回留意：留意： 1.数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一可看作一动点在数轴上依次取动点在数轴上依次取2.数列是整标函数数列是整标函数上一页上一页下一页下一页返回返回播放播放数列的极限上一页上一页下一页下一页返回返回问题问题: 当当 无限增大时无限增大时, 能否无限接近于某能否无限接近于某一确定的数值一确定的数值?假设是假设是,如何确定如何确定?问题: “无限接近意味着什么无限接近意味着什么?如何用数学言如何用数学言语刻划它刻划它.经过上面演示上面演示实验的察看的察看:上一页上一页下一页下
3、一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回定义定义 假假设对于恣意于恣意给定的正数定的正数( (不论它多么不论它多么小小),), 总存在正数总存在正数N, ,使得对于使得对于Nn 时的一切时的一切nx, ,不等式不等式e e N2 时, 有1. 收收敛数列的极限独一数列的极限独一.使当 n N1 时, 假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必独一.那么当 n N 时, 故假设不真 !满足的不等式上一页上一页下一页下一页返回返回2、有界性、有界性例如例如,有界有界无界无界上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理2 2 收敛的数列必定有界收敛的数列必定有界. .证由定由定义,留意：有界性是数列收留意：
4、有界性是数列收敛的必要条件的必要条件.推推论 无界数列必定无界数列必定发散散. .上一页上一页下一页下一页返回返回例例5证由定由定义,区区间长度度为1.不能不能够同同时位于位于长度度为1的区的区间内内.上一页上一页下一页下一页返回返回3. 收敛数列的保号性收敛数列的保号性.假设且时, 有证: 对 a 0 , 取推推论: 假设数列从某项起(用反证法证明)上一页上一页下一页下一页返回返回4、子数列的收敛性、子数列的收敛性留意：留意：例如，例如，上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理4 4 收敛数列的任一子数列也收敛且极限收敛数列的任一子数列也收敛且极限一样一样证证毕上一页上一页下一页下一页返回返
5、回定定义5 数数列列xn的的项假假设满足足x1x2xnxn+1,那么称数列那么称数列xn为单调添加数列添加数列; 假假设满足足x1x2xnxn+1,那那么么称称数数列列xn为单调减少数列减少数列; 当当上上述述不不等等式式中中等等号号都都不不成成立立时,那那么么分分别称称xn 是是严厉单调添加和添加和严厉单调减少数列减少数列.收收敛准准那那么么1 单调添添加加且且有有上上界界的的数数列列必必有有极极限限;单调减少有下界的数列必有极限减少有下界的数列必有极限.三、收敛准那么上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回2. 2. 夹逼准那么夹逼准
6、那么 ( (准那么准那么2)2)证: 由条件 (2) ,当时,当时,令那么当时, 有由条件 (1)即故 上一页上一页下一页下一页返回返回例例5. 证明证明证: 利用利用夹逼准那么逼准那么 .且由上一页上一页下一页下一页返回返回五、小结数列数列: :研研讨其其变化化规律律; ;数列极限数列极限: :极限思想、准确定极限思想、准确定义、几何意、几何意义; ;收收敛数列的性数列的性质: :独一性、有界性、保号性、子数列的收独一性、有界性、保号性、子数列的收敛性性. .数列收数列收敛的准那么的准那么: :单调有界准那么、有界准那么、夹逼准那么逼准那么. .上一页上一页下一页下一页返回返回思索题思索题证明证明要使要使只需使只需使从而由从而由得得取取当当 时，必有时，必有 成立成立上一页上一页下一页下一页返回返回思索题解答思索题解答等价等价证明中所采用的明中所采用的实践上就是不等式践上就是不等式即即证明中没有采用明中没有采用“适当放大适当放大 的的值上一页上一页下一页下一页返回返回从而从而 时，时，仅有仅有 成立，成立，但不是但不是 的充分条件的充分条件反而减少为反而减少为上一页上一页下一页下一页返回返回练练 习习 题题
