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1、第第第第 1 1 页页页页第三章第三章 离散系统的时域分析离散系统的时域分析1.LTI1.LTI离散系统的时域离散系统的时域分析分析：2.2.特点：特点：比较直观、比较直观、物理概念物理概念清楚，是学习离散变换清楚，是学习离散变换时域时域分析法：序列分析法：序列的变量的变量-k k域域分析法的分析法的基础基础 3.3.时域分析法主要内容：时域分析法主要内容：概述：概述： 求出响应与激励关系求出响应与激励关系 经典法经典法 零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 冲击响应与卷积和冲击响应与卷积和 建立线性差分方程建立线性差分方程并并第第第第 2 2 页页页页注意：离散系统与连续系统的分析注
2、意：离散系统与连续系统的分析方法方法并行相似并行相似连续系统连续系统离散系统离散系统微分方程微分方程差分方程差分方程卷积积分卷积积分卷积和卷积和变换域（傅氏、变换域（傅氏、s）变换域（离散傅氏、变换域（离散傅氏、z）系统函数系统函数系统函数系统函数系统描述系统描述分析方法分析方法离散与连续对比离散与连续对比第第第第 3 3 页页页页2.1 LTI离散系统的响应离散系统的响应差分与差分方程差分与差分方程 前向差分、后向差分以及差分方程前向差分、后向差分以及差分方程差分方程解差分方程解 数值解数值解、经典解，以及不同特征根对应的经典解，以及不同特征根对应的齐次解和不同激励对应的特解齐次解和不同激励
3、对应的特解零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应第第第第 4 4 页页页页一、差分与差分方程一、差分与差分方程 设有序列设有序列f(k)，则，则 ，f(k+2)，f(k+1)，f(k- -1)，f(k- -2)等等，称为，称为f(k)的的移位序列。移位序列。仿照仿照微分微分运算，引出离散信号的运算，引出离散信号的差分差分运算的概念。运算的概念。 1. 差分运算差分运算离散信号的变化率有两种表示形式：离散信号的变化率有两种表示形式：第第第第 5 5 页页页页（1）一阶一阶前向差分前向差分定义：定义： f(k) = f(k+1) f(k)（2）一阶后向差分一阶后向差分定义：定义： f(k)
4、= f(k) f(k 1)（3）差分的线性性质：差分的线性性质： af1(k) + bf2(k) = a f1(k) + b f2(k) （4）二阶二阶差分定义：差分定义： 2f(k) = f(k) = f(k) f(k-1) = f(k) f(k-1) = f(k)f(k-1) f(k-1) f(k-2) = f(k) 2 f(k-1) +f(k-2)（5） m阶阶差分差分: : mf(k) = f(k) + b1f(k-1) + bmf(k-m)第第第第 6 6 页页页页2. 差分方程差分方程 包含未知序列包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为及其各阶差分的方程式称为差差分方程分方程
5、。将将差分差分展开为展开为移位序列移位序列，得一般形式，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m) 差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。条件和激励，利用迭代法可求得其数值解。差分方程的差分方程的阶数：阶数：未知序列最高与最低序数的差未知序列最高与最低序数的差描述描述LTI离散系统：常系数线性差分方程离散系统：常系数线性差分方程第第第第 7 7 页页页页差分方程迭代解举例差分方程迭代解举例例：例：若描述某系统的差分方程为若描述某系统的差分方程为 y
6、(k) + 3y(k 1) + 2y(k 2) = f(k) 已知初始条件已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励激励f(k)=2k(k), 求求y(k)。 解：解： y(k) = 3y(k 1) 2y(k 2) + f(k) k=2 y(2)= 3y(1) 2y(0) + f(2) = 2 k=3 y(3)= 3y(2) 2y(1) + f(3) = 10 k=4 y(4)= 3y(3) 2y(2) + f(4) = 10 第第第第 8 8 页页页页二、差分方程的经典解二、差分方程的经典解1.1.齐次解齐次解与微分方程经典解类似与微分方程经典解类似: y(k) = yh(k) + yp(
7、k) y(k) + an-1y(k-1) + a0y(k-n) = bmf(k)+ b0f(k-m)齐次方程齐次方程 y(k) + an-1y(k-1) + + a0y(k-n) = 0特征方程特征方程 1 + an-1 1 + + a0 n = 0 ，即即 n + an-1n 1 + + a0 = 0其根其根i( i = 1，2，n)称为差分方程的称为差分方程的特征根。特征根。第第第第 9 9 页页页页不同特征根所对应的齐次解不同特征根所对应的齐次解特征根特征根单实根单实根一对共轭复根一对共轭复根r重实根重实根r重共轭复根重共轭复根齐次解齐次解y h (k)第第第第 1010 页页页页2.2
8、.特解特解yp(k)激励激励f(k)响应响应y(k)的特解的特解yp(k)特解的形式与激励的形式类似特解的形式与激励的形式类似 或或第第第第 1111 页页页页差分方程全解举例差分方程全解举例例：例：系统系统方程方程 y(k)+ 4y(k 1) + 4y(k 2) = f(k)已知初始条件已知初始条件y(0)=0，y(1)= 1；激励；激励f(k)=2k，k0。求方程的全解。求方程的全解。 解：解： 特征方程特征方程 2 + 4+ 4=0 特征根特征根 1=2= 2 齐次解齐次解 yh(k)=(C1k +C2) ( 2)k 特解特解 yp(k)=P (2)k , k0 代入差分方程代入差分方程
9、 P(2)k+4P(2)k 1+4P(2)k2= f(k) = 2k 解得解得 P=1/4 所以特解所以特解 yp(k)=2k2 , k0故全解为故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) ( 2)k + 2k2 , k0 代入初始条件解得代入初始条件解得 C1=1 , C2= 1/4 第第第第 1212 页页页页三三.零输入响应和零状态响应零输入响应和零状态响应 一般而言，如果单输入一般而言，如果单输入单输出的单输出的LTI系统的系统的激励激励 ，其全响应为，其全响应为 ，那么，描述该系统激励，那么，描述该系统激励 与响应与响应 之间关系的数学模型是之间关系的数学模型是n阶常系
10、数线性阶常系数线性差分方程，它可以写为：差分方程，它可以写为：全响应全响应 y(t) = yzi(k) + yzs(k) 借助借助经典方法经典方法卷积和方法卷积和方法（后面学）（后面学）第第第第 1313 页页页页1.零输入响应零输入响应 称为零输入响应，称为零输入响应， 用用y yzizi(k) (k) 表示。表示。差分方程：差分方程：齐次齐次y(k) + an-1y(k-1) + + a0y (k-n)=0没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应没有外加输入信号，只由起始状态所产生的响应，k0时为零，因时为零，因 而在而在k0时，系统的时，系统的h(k)和系统的零输入响应的和系统的零输入
11、响应的 函数形式相同。函数形式相同。 第第第第 2626 页页页页单位序列响应例单位序列响应例1 例例1 求图所示离散系统的单位序列响应求图所示离散系统的单位序列响应h(k)。 根据根据h(k)的定义的定义 有有 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = (k) （1） h(1) = h(2) = 0（1）递推求初始值）递推求初始值h(0)和和h(1)。 h(k)= h(k 1) + 2h(k 2) +(k) h(0)= h(1) + 2h(2) + (0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(1) + (1) = 1 DD 解：解： 差分方程为差分方程为 ： y(k) -y(k-1)-
12、2y(k-2)= f(k) 第第第第 2727 页页页页(2) 求求h(k)对于对于k 0， h(k)满足齐次方程满足齐次方程 h(k) h(k 1) 2h(k 2) = 0特征方程特征方程 (+1) ( 2) = 0 h(k) = C1( 1)k + C2(2)k ， k0 h(0) = C1 + C2 =1 , h(1)= C1+2C2 = 1 解得解得 C1= 1/3 , C2=2/3 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k , k0或写为或写为 h(k) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k (k) 第第第第 2828 页页页页单位序列响应例单位序列响应
13、例2 例例2 系统方程为系统方程为 y(k) - -y(k- -1)- -2y(k- -2)= f(k) - -f(k- -2) 求单位序列响应求单位序列响应h(k)。 解解 h(k)满足满足 h(k) h(k 1) 2h(k 2)=(k) (k 2)令只有令只有(k)作用时，系统的单位序列响应作用时，系统的单位序列响应h1(k) ,它满足它满足 h1(k) h1(k 1) 2h1(k 2)=(k) 根据线性时不变性根据线性时不变性 h(k) = h1(k) h1(k 2) = (1/3)( 1)k + (2/3)(2)k(k) (1/3)( 1)k 2 + (2/3)(2)k2(k 2) 第
14、第第第 2929 页页页页三、阶跃响应三、阶跃响应g(k)=T(k), 0由于由于(k) = (k) =(k) (k 1)所以所以h(k) = g(k) =g(k) g(k-1)当当LTILTI离散系统的激励为单位阶跃序列离散系统的激励为单位阶跃序列(k)时，系统时，系统的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用的零状态响应称为单位阶跃响应或阶跃响应，用h(k) 表示。表示。 经典法经典法; ;由由h(k)h(k)求出求出 求求g(k)g(k)的方法的方法: : 第第第第 3030 页页页页单位阶跃响应例单位阶跃响应例1 例例: 差分方程为差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)=
15、 f(k) 解解:经典法：经典法： g(k)-g(k-1)-2g(k-2)= (k) g(-1)=g(-2)=0 对对k0,g(k)-g(k-1)-2g（k-2）=1 齐次解：齐次解：gn(k)=c1 (-1) k+c2 (2)k 特解：特解：gp(k)=p=- 第第第第 3131 页页页页g(k)= cg(k)= c1 1 (-1)(-1)k k + c + c2 2(2)(2)k k - k0 - k0 所以：所以：c1 =1/6; c2=4/3 g(k)=1/6g(k)=1/6 (-1)(-1)k k + 4/3(2) + 4/3(2)k k - (k) - (k)利用h(k)求g(k)
16、: 第第第第 3232 页页页页l 卷积和卷积和l 卷积和图解法卷积和图解法l 不进位乘法求卷积不进位乘法求卷积l 卷积和的性质卷积和的性质3.3 3.3 卷积和卷积和第第第第 3333 页页页页一、卷积和一、卷积和1 . .序列的时域分解序列的时域分解 任意序列任意序列f(k) 可表示为可表示为 f(k)=+f(-1)(k+1) + f(0)(k) + f(1)(k-1)+ f(2)(k-2) + + f(i)(k i) + 信号信号f(k)f(k)分解为分解为单位序列叠加单位序列叠加第第第第 3434 页页页页2 .任意序列作用下的零状态响应任意序列作用下的零状态响应yzs(k)f (k)
17、根据根据h(k)的定义：的定义： (k) h(k) 由时不变性：由时不变性：(k - -i)h(k - -i)f (i)(k- -i) 由齐次性：由齐次性：f (i) h(k- -i)由叠加性：由叠加性：f (k)yzs(k)卷积和卷积和第第第第 3535 页页页页3 .卷积和的定义卷积和的定义 已知定义在区间（已知定义在区间（ ，）上的两个函数）上的两个函数f1(k)为为f1(k)与与f2(k)的的卷积和卷积和，简称，简称卷积卷积；记为；记为 f(k)= f1(k)*f2(k)注意注意：求和是在虚设的变量：求和是在虚设的变量 i 下进行的，下进行的， i 为求和变为求和变 量，量，k k 为
18、参变量，结果仍为为参变量，结果仍为k k 的函数。的函数。和和f2(k)，则定义和，则定义和 第第第第 3636 页页页页用定义求卷积和用定义求卷积和例：例：f (k) = a k(k), h(k) = b k(k) ，求求yzs(k)。 解：解： yzs(k) = f (k) * h(k)当当i k时，时，(k - i) = 0(k)*(k) = (k+1)(k)第第第第 3737 页页页页二、卷积的图解法二、卷积的图解法（1）换元换元： k换为换为 i得得 f1(i)、 f2(i)卷积过程可分解为卷积过程可分解为四步四步：（2）反转平移反转平移：由：由f2(i)反转反转 f2(i)平移平移
19、k f2(k i)（3）乘积乘积： f1(i) f2(k i) （4）求和求和： i 从从 到到对乘积项求和。对乘积项求和。注意：注意：k 为参变量。为参变量。第第第第 3838 页页页页图解法求卷积和图解法求卷积和例：例：f1(k)、 f2(k)如图所示，已知如图所示，已知f(k) = f1(k)* f2(k)，求，求f(2) =？解解：（1）换元）换元（2） f2(i)反转得反转得f2( i)（3） f2(i)右移右移2得得f2(2i)（4） f1(i)乘乘f2(2i)（5）求和，得）求和，得f(2) = 4.5f2(i )f2(2i)f(2) = f2(0)f1(2)+f2(1)f1(1
20、)+f2(2)f1(0)第第第第 3939 页页页页图解法求卷积和图解法求卷积和 例：如有两个序列例：如有两个序列第第第第 4040 页页页页（1）将序列）将序列 的自变量换为的自变量换为i，序列，序列 的图形如图所示。的图形如图所示。（2）将）将 反转后，得反转后，得 ，如图所示。，如图所示。 第第第第 4141 页页页页第第第第 4242 页页页页第第第第 4343 页页页页三、不进位乘法求卷积三、不进位乘法求卷积方法：方法： 将两序列样值以各自将两序列样值以各自k k的最高值按右端对齐，的最高值按右端对齐，然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最然后把逐个样值对应相乘，但不进位，最后后把同一
21、列上的乘积值按对位求和。把同一列上的乘积值按对位求和。对有限长序列，卷积和的计算用：对有限长序列，卷积和的计算用：不进位乘法不进位乘法第第第第 4444 页页页页不进位乘法求卷积和不进位乘法求卷积和例例 f1(k) =1， 2 ， 3 ， 4 k=0 f2(k) = 5，6，7 k=01 ， 2， 3， 45 ， 6 ， 7解解7 ，14， 21， 286 ，12, 18, 245 , 10，15, 20+ 5, 16, 34 , 52, 45， 28求求f(k) = f1(k)* f2(k)f(k) = 5，16 ，34，52，45，28k=0第第第第 4545 页页页页四、卷积和的性质四、
22、卷积和的性质1. 满足乘法的三律：满足乘法的三律：(1) 交换律交换律, (2) 分配律分配律,(3) 结合律结合律.交换律：交换律：分配律：分配律：结合律：结合律：第第第第 4646 页页页页 卷积和的性质卷积和的性质2. 复合系统的单位序列响应复合系统的单位序列响应第第第第 4747 页页页页3. f(k)*(k) = (k)* f(k) = f(k) f(k)*(k k0) = (k k0)* f(k)= f(k k0) 5. f(k)*(k) =4. f1(k k1)* f2(k k2) = f(k k1 k2) 6. f1(k)* f2(k) = f1(k)* f2(k) = f1(
23、k)* f2(k) 卷积和的性质卷积和的性质第第第第 4848 页页页页性质求卷积和性质求卷积和例例1 复合系统中复合系统中h1(k) = (k)， h2(k) = (k 5)，求复合系统的，求复合系统的单位序列响应单位序列响应h (k) 。 解解 根据根据h(k)的定义，有的定义，有h(k)= (k)* h1(k) (k)* h2(k) * h1(k) = h1(k) h2(k) * h1(k) = h1(k) * h1(k) h2(k) * h1(k) = (k)* (k) (k 5) *(k) = (k+1)(k) (k+1 5)(k 5) = (k+1)(k) (k 4)(k 5)(k
24、)*(k) = (k+1)(k)第第第第 4949 页页页页例：如图所示的离散系统，求系统的全响应。例：如图所示的离散系统，求系统的全响应。 已知初始状态已知初始状态 激励激励DD第第第第 5050 页页页页3.4一、反卷积一、反卷积对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易对连续系统不易写出明确的关系式，而对离散系统容易写出：写出：在在y(k)=f(k)*h(k)中，中， 若已知若已知y(k)，h(k)，如何求，如何求f(k)（信号恢复信号恢复）；）； 如血压计传感器。如血压计传感器。 若已知若已知y(k)，f(k)，如何求，如何求h(k)（系统辩识系统辩识）；）； 如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘如地震信号处理、地质勘探、考古、石油勘探等问题。探等问题。这两类问题都是求反卷积的问题。这两类问题都是求反卷积的问题。第第第第 5151 页页页页写成矩阵形式写成矩阵形式目的反求目的反求f(k)同理同理第第第第 5252 页页页页二举例第第第第 5353 页页页页解：（1）求h(k)第第第第 5454 页页页页（2）即即第第第第 5555 页页页页系统框图系统框图以上两式相减得以上两式相减得第第第第 5656 页页页页三、应用实例雷达探测系统雷达探测系统
