《高三数学一轮复习 第六篇 数列 第2节 等差数列课件 理》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习 第六篇 数列 第2节 等差数列课件 理（42页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第第2 2节等差数列节等差数列知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破类题探源精析类题探源精析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来提示提示: :充分必要条件充分必要条件. .2.2.如何推导等差数列的通项公式如何推导等差数列的通项公式? ?提示提示: :可用累加法可用累加法. .3.3.如何推导等差数列的前如何推导等差数列的前n n项和公式项和公式? ?提示提示: :利用倒序相加法推导利用倒序相加法推导. .知识梳理知识梳理 1.1.等差数列的相关概念等差数列的相关概念(1)(1)定义定义: :如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起项起, ,每一项与它的前
2、一项的每一项与它的前一项的 都等都等于于 常数常数, ,那么这个数列就叫做等差数列那么这个数列就叫做等差数列. .符号表示为符号表示为 . .(n2,n(n2,nN N* *,d,d为常数为常数).).差差同一个同一个a an n-a-an-1n-1=d=d2.2.等差数列的通项公式等差数列的通项公式(1)(1)若等差数列若等差数列 a an n 的首项是的首项是a a1 1, ,公差为公差为d,d,则其通项公式为则其通项公式为a an n= = . .(2)(2)通项的推广通项的推广:a:an n=a=am m+(+( )d.)d.a a1 1+(n-1)d+(n-1)dn-mn-m4.4.
3、等差数列等差数列aan n 的性质的性质(1)(1)若若m+n=p+qm+n=p+q, ,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q( (其中其中m,n,p,qm,n,p,qN N* *),),特别地特别地, ,若若p+qp+q=2m,=2m,则则a ap p+a+aq q= = (p,q,m(p,q,mN N* *).).(2)(2)若等差数列若等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S Sk k,S,S2k2k-S-Sk k,S,S3k3k-S-S2k2k, ,成等差数列成等差数列. .(3)(3)若下标成等差数列若下标成等差数列, ,则相应
4、的项也成等差数列则相应的项也成等差数列, ,即即a ak k,a,ak+mk+m,a,ak+2mk+2m, ,(k,m(k,mN N* *) )成等差数列成等差数列. .(4)(4)若等差数列若等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,则则S S2n-12n-1=(2n-1)a=(2n-1)an n. .2a2am m5.5.等差数列的增减性与最值等差数列的增减性与最值公差公差d0d0时为递时为递增增数列数列, ,且当且当a a1 100时时, ,前前n n项和项和S Sn n有最有最小小值值;d0;d00时时, ,前前n n项和项和S Sn n有最有最大大值值. .
5、6.6.等差数列与一次函数的关系等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式a an n=a=a1 1+(n-1)d+(n-1)d可得可得a an n=dn+(a=dn+(a1 1-d),-d),如果设如果设p=d,qp=d,q=a=a1 1-d,-d,那么那么a an n=pn+q=pn+q, ,其中其中p,qp,q是常数是常数. .当当p0p0时时,(n,a,(n,an n) )在一次函数在一次函数y=px+qy=px+q的图象上的图象上, ,即公差不为零的等差数列的图象是直线即公差不为零的等差数列的图象是直线y=px+qy=px+q上的上的均匀排开的一群孤立的点均匀排
6、开的一群孤立的点. .当当p=0p=0时时,a,an n=q,=q,等差数列为常数列等差数列为常数列, ,此时数列此时数列的图象是平行于的图象是平行于x x轴的直线轴的直线( (或或x x轴轴) )上的均匀排开的一群孤立的点上的均匀排开的一群孤立的点. .【重要结论【重要结论】 1.1.等差数列等差数列 a an n 中中, ,若若a am m=n,a=n,an n=m,=m,则则a am+nm+n=0.=0.2.2.等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sm m=S=Sn n(mn(mn),),则则S Sm+nm+n=0.=0.3.3.等差数列等
7、差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若S Sm m=n,S=n,Sn n=m,=m,则则S Sm+nm+n=-(m+n=-(m+n).).夯基自测夯基自测1.(20151.(2015高考新课标全国卷高考新课标全国卷)设设S Sn n是等差数列是等差数列 a an n 的前的前n n项和项和, ,若若a a1 1+a+a3 3+a+a5 5=3,=3,则则S S5 5等于等于( ( ) )(A)5(A)5(B)7(B)7(C)9(C)9(D)11(D)11A AC C D D 4.(20154.(2015高考陕西卷高考陕西卷) )中位数为中位数为1 0101 01
8、0的一组数构成等差数列的一组数构成等差数列, ,其末项为其末项为2 015,2 015,则该数列的首项为则该数列的首项为 . .解析解析: :设数列的首项为设数列的首项为a a1 1, ,则则a a1 1+2 015=2+2 015=21 010=2 020,1 010=2 020,所以所以a a1 1=5,=5,故该数列的首项为故该数列的首项为5.5.答案答案: :5 5答案答案: :2727考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识考点一考点一 等差数列的基本量运算等差数列的基本量运算【例【例1 1】 (1)(2015(1)(2015榆林模拟榆林模拟) )等差数列等差数列
9、a an n 前前n n项和为项和为S Sn n,a,a3 3=7,S=7,S6 6=51,=51,则则公差公差d d的值为的值为( () )(A)2(A)2(B)3(B)3(C)-3(C)-3(D)4(D)4解析解析: :(1)(1)根据已知得根据已知得a a1 1+2d=7+2d=7且且6a6a1 1+15d=51,+15d=51,消去消去a a1 1, ,解得解得d=3.d=3.故选故选B.B.(2)(2015(2)(2015河南三市联考河南三市联考) )设设S Sn n为等差数列为等差数列 a an n 的前的前n n项和项和,a,a1 1=1,a=1,a3 3=5,S=5,Sk+2k
10、+2-S-Sk k=36,=36,则则k k的值为的值为( () )(A)8(A)8(B)7(B)7(C)6(C)6(D)5(D)5解析解析: :(2)(2)由由2d=a2d=a3 3-a-a1 1=5-1=4=5-1=4得得d=2,d=2,所以所以a an n=1+(n-1)=1+(n-1)2=2n-1,2=2n-1,由由S Sk+2k+2-S-Sk k=a=ak+2k+2+a+ak+1k+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,=4k+4=36,得得k=8.k=8.故选故选A.A.反思归纳反思归纳 等差数列基本运算的方法策略等差数列基本运
11、算的方法策略(1)(1)等差数列中包含等差数列中包含a a1 1,d,n,a,d,n,an n,S,Sn n五个量五个量, ,可知三求二可知三求二. .解决这些问题一般解决这些问题一般设基本量设基本量a a1 1,d,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程利用等差数列的通项公式与求和公式列方程( (组组) )求解求解, ,体体现方程思想现方程思想. .【即时训练】【即时训练】 (1)(2016(1)(2016河南六市第一次联考河南六市第一次联考) )在等差数列在等差数列 a an n 中中, ,首项首项a a1 1=0,=0,公差公差d0,d0,若若a ak k=a=a1 1+a+a2 2
12、+a+a3 3+ +a+a7 7, ,则则k k等于等于( () )(A)22(A)22(B)23(B)23(C)24(C)24(D)25(D)25解析解析: :(1)(1)因为因为a a1 1=0,=0,所以所以a ak k=(k-1)d,=(k-1)d,所以所以a a1 1+a+a2 2+a+a3 3+ +a+a7 7=(1+2+3+4+5+6)d=21d=(k-1)d,=(1+2+3+4+5+6)d=21d=(k-1)d,所以所以k=22.k=22.故选故选A.A.(2)(2016(2)(2016郑州第一次质量预测郑州第一次质量预测) )等差数列等差数列 a an n 的前的前n n项和
13、为项和为S Sn n, ,且且S S3 3=6,a=6,a3 3=0,=0,则公差则公差d d等于等于( () )(A)-1(A)-1(B)1(B)1(C)2(C)2(D)-2(D)-2考点二考点二等差数列的判断与证明等差数列的判断与证明【例【例2 2】 (2014(2014高考新课标全国卷高考新课标全国卷)已知数列已知数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n,a,a1 1=1,=1,a an n0,a0,an na an+1n+1=S=Sn n-1,-1,其中其中为常数为常数. .(1)(1)证明证明:a:an+2n+2-a-an n=;=;(1)(1)证明证明: :由题设
14、由题设,a,an na an+1n+1=S=Sn n-1,a-1,an+1n+1a an+2n+2=S=Sn+1n+1-1.-1.两式相减得两式相减得a an+1n+1(a(an+2n+2-a-an n)=a)=an+1n+1. .由于由于a an+1n+10,0,所以所以a an+2n+2-a-an n=.=.(2)(2)是否存在是否存在,使得使得 a an n 为等差数列为等差数列? ?并说明理由并说明理由. .(2)(2)解解: :存在满足题意的存在满足题意的,由题设由题设,a,a1 1=1,a=1,a1 1a a2 2=S=S1 1-1,-1,可得可得a a2 2=-1.=-1.由由(
15、1)(1)知知,a,a3 3=+1,=+1,令令2a2a2 2=a=a1 1+a+a3 3, ,解得解得=4.=4.故故a an+2n+2-a-an n=4,=4,由此可得由此可得aa2n-12n-1 是首项为是首项为1,1,公差为公差为4 4的等差数列的等差数列,a,a2n-12n-1=4n-3;=4n-3;aa2n2n 是首项为是首项为3,3,公差为公差为4 4的等差数列的等差数列,a,a2n2n=4n-1.=4n-1.所以所以a an n=2n-1,a=2n-1,an+1n+1-a-an n=2.=2.因此存在因此存在=4,=4,使得数列使得数列aan n 为等差数列为等差数列. .反思
16、归纳反思归纳 判定数列判定数列aan n 是等差数列的常用方法是等差数列的常用方法(1)(1)定义法定义法: :对任意对任意nnN N* *,a,an+1n+1-a-an n是同一个常数是同一个常数; ;(2)(2)等差中项法等差中项法: :对任意对任意n2,nn2,nN N* *, ,满足满足2a2an n=a=an+1n+1+a+an-1n-1; ;(3)(3)通项公式法通项公式法: :数列的通项公式数列的通项公式a an n是是n n的一次函数的一次函数; ;(4)(4)前前n n项和公式法项和公式法: :数列的前数列的前n n项和公式项和公式S Sn n是是n n的二次函数的二次函数,
17、 ,且常数项为且常数项为0.0.(2)(2)求求S Sn n及及a an n. .等差数列的性质等差数列的性质考点三考点三 答案答案: :(1)B(1)B(2)(2015(2)(2015兰州高三诊断兰州高三诊断) )已知等差数列已知等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为S Sn n, ,若若a a4 4=18-a=18-a5 5, ,则则S S8 8等于等于( () )(A)18(A)18(B)36(B)36(C)54(C)54(D)72(D)72答案答案: :(2)D(2)D(3)(3)等差数列等差数列 a an n 的前的前m m项和为项和为30,30,前前3m3m项和为项和为
18、90,90,则它的前则它的前2m2m项和为项和为. .答案答案: : (3)60(3)60反思归纳反思归纳 一般地一般地, ,运用等差数列性质可以优化解题过程运用等差数列性质可以优化解题过程, ,但要注但要注意性质运用的条件意性质运用的条件, ,如如m+n=p+qm+n=p+q, ,则则a am m+a+an n=a=ap p+a+aq q(m,m,p,q(m,m,p,qN N* *) ). .【即时训练【即时训练】 (1)(1)等差数列等差数列 a an n 中中,a,a1 1+a+a7 7=26,a=26,a3 3+a+a9 9=18,=18,则数列则数列 a an n 的前的前9 9项和
19、为项和为( () )(A)66(A)66 (B)99 (B)99(C)144(C)144 (D)297 (D)297答案答案: :(1)B(1)B(2)(2)设设S Sn n是公差不为零的等差数列是公差不为零的等差数列 a an n 的前的前n n项和项和, ,且且a a1 10,0,若若S S5 5=S=S9 9, ,则当则当S Sn n最大时最大时,n,n等于等于( () )(A)6(A)6(B)7(B)7(C)8(C)8(D)9(D)9答案答案: : (2)B (2)B 解析解析: : (2) (2)因为因为S S5 5=S=S9 9, ,所以所以a a6 6+a+a7 7+a+a8 8
20、+a+a9 9=0.=0.又又a a6 6+a+a9 9=a=a7 7+a+a8 8, ,所以所以a a7 7+a+a8 8=0,=0,又又a a1 10,0,所以所以a a7 70,a0,a8 80.0,d0,前前n n项和为项和为S Sn n, ,且满足且满足a a2 2a a3 3=45,=45,a a1 1+a+a4 4=14.=14.(1)(1)求数列求数列 a an n 的通项公式及前的通项公式及前n n项和项和S Sn n; ;【例【例4 4】 在公差为在公差为d d的等差数列的等差数列 a an n 中中, ,已知已知a a1 1=10,=10,且且a a1 1,2a,2a2
21、2+2,5a+2,5a3 3成等成等比数列比数列. .(1)(1)求求d,ad,an n; ;解解: :(1)(1)由题意得由题意得a a1 15a5a3 3=(2a=(2a2 2+2)+2)2 2, ,由由a a1 1=10,a=10,an n 为公差为为公差为d d的等差数列得的等差数列得, ,d d2 2-3d-4=0,-3d-4=0,解得解得d=-1d=-1或或d=4.d=4.所以所以a an n=-n+11(n=-n+11(nN N* *) )或或a an n=4n+6(n=4n+6(nN N* *).).(2)(2)若若d0,d0,0,设其前设其前n n项和为项和为S Sn n, ,且且S S5 5=S=S1212, ,则则当当n n为何值时为何值时,S,Sn n有最大值有最大值? ?
