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1、近世代数近世代数 第三章第三章 环与域环与域 3 3 循环环、剩余类环循环环、剩余类环 7/24/2024一、循环环一、循环环定定义1 1 若若环关于加法是循关于加法是循环群，称群，称为循循环环. . ，则时，（2 2）当）当时，例例1 1 整数整数环是循是循环环. .定理定理1 1 若若（1 1）当）当 7/24/2024定理定理2(1) 循环环是交换环，循环环是交换环，(2) 循环环的子环是循环环，循环环的子环是循环环，(3) 无限阶循环环的特征是无限，无限阶循环环的特征是无限，n阶循环环的特征是阶循环环的特征是n. 7/24/2024二、模二、模m的剩余类环的剩余类环1. 1. 剩余剩余
2、类环的构造的构造: :, ,规定定 , ,则关于剩余关于剩余类的加法与乘法构成的加法与乘法构成为大于大于1 1 的正整数的正整数, , 则有有设设一个有一个有单位元的交位元的交换环. . 7/24/20242. 2. 剩余类环的性质剩余类环的性质定理定理1 1 设, ,则为的零因子的零因子(1)(1)(2)(2)为的可逆元的可逆元证：(1)(1)若若为的零因子的零因子, ,则存在存在, ,使得使得, ,故故. .若若, ,则, ,所以所以, ,矛盾矛盾. .于是于是. . 反之反之, ,如果如果, , 设, ,则, ,所以所以, ,但但, ,于是于是是零因子是零因子. . 7/24/2024(
3、2)(2)若若为为的可逆元的可逆元,则则, ,即即于是于是, ,使得使得, ,也就是也就是，所以，所以反之反之, , 如果如果, ,则, ,因此因此, , ,故故可逆可逆. .剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子剩余类环中非零元不是可逆元就是零因子. 7/24/2024例例 2解解 (1) (1) (2) (2) 直接直接计算可知算可知, ,相相应的逆元的逆元为全部零因子全部零因子:全部可逆元全部可逆元:(3) (3) 全部子环全部子环:(4) (4) 各子环特征各子环特征: 7/24/2024定理定理2为无零因子无零因子环为素数素数. .为素数，若素数，若，则，或者或者，即，即若若不是素数，不是素数，则证：设为无零因子无零因子环. .为有零因子有零因子环. . 7/24/2024定理定理3为域域为素数为素数.（有限无零因子环是除环）（有限无零因子环是除环） 7/24/2024练习：练习： 求求Z18的全部零因子、全部可逆元、全部的全部零因子、全部可逆元、全部子环及子环特征、单位群子环及子环特征、单位群. 7/24/2024
