《医用高等数学课件：4 函数单调性》由会员分享，可在线阅读，更多相关《医用高等数学课件：4 函数单调性（30页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、函数单调性的判别函数单调性与导数定理设函数在上连续，在内可导1.若，则在上单调增加；2.若，则在上单调减少。函数单调性与导数证：在上任取两点，则函数在上满足拉格朗日中值定理条件。由定理必存在，使得由的任意性，可知在上单调递增。函数单调性与导数例1确定函数的单调区间。其中.解：求的导函数.函数单调性与导数区间区间区间区间例2确定的单调区间.解：所以当时，导数不存在。函数单调性与导数区间区间区间区间命题1若函数在区间上满足则必有利用导数证明不等式命题2若函数在区间上满足则必有利用导数证明不等式例证明：证：先证令：则有:所以,即.函数单调性与导数再证：令：则有： 所以,原不等式成立。函数单调性与导数
2、极值问题驱动数学发展的黄金问题。数学在很大程度上因为解决或为了解决这些问题而获得长足的进步。函数的极值与最值一些极值问题例1最速降线问题(变分法)函数的极值与最值例2悬链线问题(变分法)函数的极值与最值悬链线一些极值最值问题1.邮递员-最短路径问题2.博弈论-最佳策略问题3.计算机-最佳搜索/排序算法4.交通-最佳管制方案5.金融-最佳投资组合6.通讯-最优编码方案函数的极值与最值一、函数的极值与求法定义4.1设函数在点的某邻域内有定义.1.若对该邻域内任意一点，都有，则称为的极大值，点为极大值点。2.反之称为极小值。函数的极值与最值函数的极值与最值定理4.7(极值点的必要条件)设函数在点的某
3、邻域内有定义，点是极值点的必要条件是:或不存在证明类似罗尔中值定理函数的极值与最值注意：1.导数为零的点称为驻驻点点。2.定理4.7仅为极值存在的必要条件。也就是说，极值点要在驻驻点点中筛选。函数的极值与最值定理4.8(极值点存在的充分条件-)设函数在点连续，且在点的某空心邻域内可导。1.若在点的两侧邻域内，的正负性不同，则为极值点。从左至右，由正变负为极大值；否则为极小值。2.否则不是极值点。函数的极值与最值注意：1.定理4.8为极值存在的充分条件。只有满足定理成立条件的才适用该判定方法。2.该方法的一个优点是不需要在点处可导。3.通常以列表法使用该定理确定极值。函数的极值与最值例1求的极值
4、。解：首先求得以驻点和导数不存在点分隔区间。函数的极值与最值不存在极小值极大值极小值不存在极小值极大值极小值定理4.8(极值点存在的充分条件-)设是的驻点，二阶导数存在且不为零，则1.当时，为极小值。2.当时，为极大值。函数的极值与最值仅证：当时，为极小值。证：设点在的邻域内，则有函数的极值与最值注意：1.定理4.8的优点在于在驻点处求二阶导数就能判定极值类型，可以避免使用列表法(较繁琐)。2.缺点：当时方法失效。当不存在时方法失效。函数的极值与最值例2求的极值。解：求得驻点为再由可知1.为极大值.2.为极小值.函数的极值与最值最值(最大/最小)的求法-区间上1.先求出在上的极值。2.再将这些极值与作比较以择出最值。3.特别当内仅有一个极值点时，极值点就是最值点。函数的极值与最值函数的极值与最值
