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1、3.4.2基本不等式的应用目标导航预习引导目标导航预习引导预习预习交流交流1两个正数的积为定值,它们的和一定有最小值吗?目标导航预习引导预习预习交流交流2获得基本不等式的条件的方法有哪些?提示:(1)添项、拆项、配凑;(2)常值代换;(3)构造不等式,当和与积同时出现在同一个等式中,可利用基本不等式构造一个不等式从而求出和或积的取值范围.预习预习交流交流3(1)设x,y满足x+4y=40,且x,y都是正数,则lg x+lg y的最大值是.一二三一二三一二三一二三一二三一二名师点津名师点津1.求函数最值问题第一步就是“找”定值,观察、分析、构造定值是问题突破口.定值找到还要看“=”是否成立,不管
2、题目是否要求指出等号成立条件,都要验证“=”是否成立.2.求两数和或两数积的最值时,一般需要知道这两数的积或和为定值,当条件不满足时,往往利用题目中的已知条件将两数进行适当的拆项和添项.通过变形使转化后的两数积或和为定值,再利用基本不等式求最值,变形后仍要求满足“一正二定三相等”.三一二三二、利用基本不等式解决实际问题活动与探究例2某渔业公司今年初用98万元购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4万元.该船每年捕捞总收入50万元.(1)问捕捞几年后总盈利最大,最大是多少?(2)问捕捞几年后的平均利润最大,最大是多少?思路分析:解此类应
3、用题的一般方法及操作流程为:设出变量列函数关系式利用函数求最大值求平均利润利用均值不等式求最值写出结论一二三一二三迁移与应用1.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=吨.答案:20解析:某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,一二三2.某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费、养路费、汽油费约为0.9万元,年维修费第一年是0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?解:设使用x年平均费用最少.由条件知,汽车每年维修费构成以0.2万元为首项,0.2
4、万元为公差的等差数列.一二三名师点津名师点津1.在运用基本不等式时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足应用基本不等式求最值时具备的三个条件,即“正”(条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为一定值)、“等”(等号取得的条件).2.对于形如 的函数,如果利用基本不等式求最值,等号条件不存在,那么这时就可以考虑用函数的单调性进行求解.一二三3.利用基本不等式解应用题的步骤为:(1)审清题意,读懂题;(2)恰当地设未知数,通常情况下把欲求最值的变量看成因变量y;(3)建立数学模型,即从实际问题中抽象出函数的关系式,并指明函数的定义域,把实际问题转化为求函数最值的问题;(4)在函数的
5、定义域内,利用基本不等式求出函数的最值;(5)根据实际问题写出答案.上述过程可用下图表示:二三一思路分析:利用向量数量积的定义及余弦定理可求得cos C;由a+b=4为定值表示出ABC的周长,利用基本不等式求最值.二三一二三一二三一二三一名师点津名师点津不等式是继函数与方程之后的又一重点内容之一,作为解决问题的工具,与其他知识综合运用的特点比较突出.不等式的应用大致可分为两类:一类是建立不等式,求参数的取值范围或解决一些实际应用问题;另一类是建立函数关系,利用基本不等式求最值问题.2345162345162.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,在下列四种长度的铁丝
6、中,选用最合理(够用且浪费最少)的是()A.6.5 mB.6.8 mC.7 mD.7.2 m答案:C解析:设两直角边分别为a,b,直角三角形框架的周长为l,由于要求够用且浪费最少,故选C. 2345163.已知直线a2x+y-2=0与直线bx-(a2+1)y-1=0互相垂直,则|ab|的最小值为.答案:2解析:由于两直线垂直,则a2b-(a2+1)=0,2345164.建造一个容积为8 m3,深为2 m的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元,那么水池的最低总造价为元.答案:1 760解析:设水池底的长为a m,宽为b m,水池的总造价为y元,则2ab=8,ab=4.由y=120ab+804(a+b)=480+320(a+b)480+ =1 760,当且仅当a=b=2时取等号,故水池的最低总造价为1 760元.2345165.若直角三角形的周长为定值l(l0),求三角形面积的最大值.解:设直角三角形的两条直角边分别为a,b,2341656.阳光蔬菜生产基地计划建造一个室内面积为800 m2的矩形蔬菜温室.在温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m宽的通道,沿前侧内墙保留3 m宽的空地,当矩形温室的边长各为多少时,蔬菜的种植面积最大?最大种植面积是多少?
