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1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论7.1 应力状态概述应力状态概述一、问题的提出一、问题的提出轴向拉压：轴向拉压：扭转：扭转：弯曲：弯曲：腹板翼缘工字形截面梁腹板与翼缘交结点的应力：工字形截面梁腹板与翼缘交结点的应力： 正应力正应力 切应力切应力两者均较大两者均较大如何分析该点的强度如何分析该点的强度？材料力学9应力状态分析与强度理论课件 研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力研究杆件受力后各点处，特别是危险点处的应力状态可以：状态可以： 1. 了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢了解材料发生破坏的力学上的原因，例如低碳钢拉伸时的屈服拉伸时的屈服(yield
2、)现象是由于在切应力最大的现象是由于在切应力最大的45 斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭斜截面上材料发生滑移所致；又如铸铁圆截面杆的扭转破坏是由于在转破坏是由于在45 方向拉应力最大从而使材料发生方向拉应力最大从而使材料发生断裂断裂(fracture)所致。所致。 2. 在不可能总是通过实验测定材料在不可能总是通过实验测定材料极限应力的复杂应力状态下，如图所极限应力的复杂应力状态下，如图所示示,应力状态分析是建立关于材料破坏应力状态分析是建立关于材料破坏规律的假设规律的假设(称为称为强度理论强度理论-theory of strength, failure criterion)的基
3、础。的基础。材料力学9应力状态分析与强度理论课件 本章将研究本章将研究 . 平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三平面应力状态下不同方位截面上的应力和关于三向应力状态向应力状态(空间应力状态空间应力状态) 的概念；的概念；. 平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关平面应力状态和三向应力状态下的应力应变关系系广义胡克定律广义胡克定律(generalized Hookes law)，以及这类应力状态下的应变能密度，以及这类应力状态下的应变能密度(strain energy density)；. 强度理论。强度理论。材料力学9应力状态分析与强度理论课件P二、一点应力状态的概念二、一点应力状态的
4、概念轴向拉伸：轴向拉伸：应力单元体应力单元体可见：同一点不同截面上的应力情况是不同的。可见：同一点不同截面上的应力情况是不同的。同一点所有截面上的应力情况集合同一点所有截面上的应力情况集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态PPpntp材料力学9应力状态分析与强度理论课件单元体单元体（Element）dx, dy, dz 01.每个面上应力均匀分布；每个面上应力均匀分布；2.相互平行的面上应力相同；相互平行的面上应力相同；点点3.通过研究单元体不同斜截面上通过研究单元体不同斜截面上的应力来分析该点的应力状态。的应力来分析该点的应力状态。三、一点应力状态的表示三、一点应力状态的表示应力状态的研
5、究方法应力状态的研究方法: 1.选取一个单元体（含几个应力已知的特殊面），这个过选取一个单元体（含几个应力已知的特殊面），这个过 程常称为一点应力状态的描述。程常称为一点应力状态的描述。 2.研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，就是应力状研究通过一点的不同截面上的应力变化情况，就是应力状态分析。态分析。同一点所有截面上的应力情况集合同一点所有截面上的应力情况集合 称为一点的应力状态称为一点的应力状态材料力学9应力状态分析与强度理论课件应力状态的几个概念：应力状态的几个概念：主平面：主平面：切应力为零的平面；切应力为零的平面；主应力：主应力： 过一点主平面上的正应力；过一点主平面上的正应力；
6、主方向：主方向： 主平面的法线方向。主平面的法线方向。三、一点应力状态的表示（续）三、一点应力状态的表示（续） 过一点某单元体上各面的应力已知，则过该点其它面上应力过一点某单元体上各面的应力已知，则过该点其它面上应力也就完全确定了。也就完全确定了。可以证明可以证明:材料力学9应力状态分析与强度理论课件四、应力状态分类：四、应力状态分类：可以证明：通过受力构件内的任一点，可以证明：通过受力构件内的任一点，一定一定存在三个互相垂直的主平面存在三个互相垂直的主平面。对应三个主应力：对应三个主应力：按其代数值大小排列：按其代数值大小排列：三向（空间）应力状态三向（空间）应力状态:单向应力状态单向应力状
7、态纯剪应力状态纯剪应力状态应力状态分类应力状态分类：二向（平面）应力状态二向（平面）应力状态:材料力学9应力状态分析与强度理论课件7. 2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例1、二向应力状态实例、二向应力状态实例1圆筒形薄壁压力容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为、壁厚为 t，承受内力，承受内力p作用作用材料力学9应力状态分析与强度理论课件圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为，内径为D，承受内压，承受内压p作用。作用。二向应力状态实例二向应力状态实例2材料力学9应力状态分析与强度理论课件7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析 解析法解析法1.
8、任意一点二向应力状态的表示方法任意一点二向应力状态的表示方法 法线平行于法线平行于 x 轴面上正应力和切应力轴面上正应力和切应力 法线平行于法线平行于 y 轴面上正应力和切应力轴面上正应力和切应力 第一个角标第一个角标 x 表示切应力作用面的法表示切应力作用面的法 线方向；线方向；第二个角标第二个角标 y 表示切应力的方向。表示切应力的方向。应力的正负号规定：应力的正负号规定： 正应力以拉为正，压为负；正应力以拉为正，压为负； 切应力对单元体中任一点的矩切应力对单元体中任一点的矩为顺时针转向时为正，反之为负；为顺时针转向时为正，反之为负；材料力学9应力状态分析与强度理论课件2. 平面应力状态任
9、意斜截面上的应力平面应力状态任意斜截面上的应力：拉应力为正：拉应力为正：顺时针转动为正：顺时针转动为正：逆时针转动为正：逆时针转动为正n :t :材料力学9应力状态分析与强度理论课件考虑到考虑到化简整理求得：化简整理求得： 平面应力状态任意斜截面上应力计算公式平面应力状态任意斜截面上应力计算公式表明：若表明：若x、 y 、 xy已知，则已知，则、完全可确定。完全可确定。2.平面应力状态任意斜截面上的应力平面应力状态任意斜截面上的应力(续续)3、极值应力及主应力、极值应力及主应力则则 取极值取极值便可以确定正应力和剪应力的极值便可以确定正应力和剪应力的极值材料力学9应力状态分析与强度理论课件 确
10、定两个互相垂直确定两个互相垂直的平面，其中一个是最大正应力的平面，其中一个是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面，另一个是最小正应力所在平面所在平面3、极值应力及主应力、极值应力及主应力(续续)（1）正应力极值、主应力）正应力极值、主应力能使能使 的截面上恰好的截面上恰好所在平面即为主平面所在平面即为主平面材料力学9应力状态分析与强度理论课件3、极值应力及主应力、极值应力及主应力(续续)（2）切应力极值）切应力极值 确定两个相互垂直的平确定两个相互垂直的平面：面：一个是最大切应力所在平面，一个是最大切应力所在平面，另一个是最小切应力所在平面另一个是最小切应力所在平面 最大、最小切应力
11、所在平最大、最小切应力所在平面与主平面夹角为面与主平面夹角为45o材料力学9应力状态分析与强度理论课件一、应力圆一、应力圆7.4 二向应力状态分析二向应力状态分析 图解法图解法（2）圆周坐标值代表应力单元体中任意斜截面上的应力圆周坐标值代表应力单元体中任意斜截面上的应力材料力学9应力状态分析与强度理论课件应力圆应力圆莫尔莫尔(Mohr)圆圆一、应力圆一、应力圆(续续)材料力学9应力状态分析与强度理论课件OC(a) 应力圆实际上可如图应力圆实际上可如图a所示作出，亦即使单元体所示作出，亦即使单元体 x 截面上的应力截面上的应力s sx,t tx按某一比例尺定出点按某一比例尺定出点D1，依单元，依
12、单元体体y截面上的应力截面上的应力s sy,t ty( (取取t ty = - -t tx) )定出点定出点D2，然后连，然后连以直线，以它与以直线，以它与s s 轴的交点轴的交点C为圆心，并且以为圆心，并且以 或或 为半径作圆得出。为半径作圆得出。材料力学9应力状态分析与强度理论课件用应力圆求任意斜截面上的应力用应力圆求任意斜截面上的应力几种对应关系：几种对应关系： 点面对应点面对应应力圆上点的坐标值对应微元某一斜面上的应力圆上点的坐标值对应微元某一斜面上的 正应力和切应力；正应力和切应力； 二倍角对应二倍角对应半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。半径转过的角度是方向面旋转角度的两倍。转向
13、对应转向对应半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；半径旋转方向与方向面法线旋转方向一致；材料力学9应力状态分析与强度理论课件用应力圆求极值应力和主应力用应力圆求极值应力和主应力（2）切应力极值）切应力极值（1）正应力极值、主应力）正应力极值、主应力材料力学9应力状态分析与强度理论课件用应力圆求主平面位置用应力圆求主平面位置材料力学9应力状态分析与强度理论课件t ts soBAc245245DEa 单向拉伸应力状态的应力圆单向拉伸应力状态的应力圆材料力学9应力状态分析与强度理论课件ot ts sb 纯剪切应力状态的应力圆纯剪切应力状态的应力圆t tt ta (0,t t )d(0,-t t )A
14、Dbec245245s smax=t ts smint tBE材料力学9应力状态分析与强度理论课件例例1：分别用解析法和图解法求图示单元体的：分别用解析法和图解法求图示单元体的(1)指定斜截面上的正应力和切应力指定斜截面上的正应力和切应力;(2)主应力值及主方向，并画在单元体上；主应力值及主方向，并画在单元体上； (3)最大切应力值。最大切应力值。单位：单位：MPa材料力学9应力状态分析与强度理论课件解：解：(一一)使用解析法求解使用解析法求解材料力学9应力状态分析与强度理论课件(二二)使用图解法求解使用图解法求解 作应力圆，从应力圆上可量出：作应力圆，从应力圆上可量出：材料力学9应力状态分析
15、与强度理论课件例例3：求图示应力状态的主应力和求图示应力状态的主应力和最大剪应力最大剪应力(应力单位为应力单位为Mpa)。解：解：材料力学9应力状态分析与强度理论课件例例:各各单单元元体体面面上上的的应应力力如如图图所所示示。试试利利用用应应力力圆圆的的几几何关系求：何关系求：（1）指定截面上的应力；）指定截面上的应力；（2）主应力的数值；）主应力的数值；（3）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。）在单元体上绘出主平面的位置及主应力的方向。 材料力学9应力状态分析与强度理论课件材料力学9应力状态分析与强度理论课件材料力学9应力状态分析与强度理论课件材料力学9应力状态分析与强度理论课件材料
16、力学9应力状态分析与强度理论课件材料力学9应力状态分析与强度理论课件13.6 13.6 广义胡克定律广义胡克定律纵向应变：纵向应变：横向应变：横向应变： ?!?! !材料力学9应力状态分析与强度理论课件13.6 13.6 广义胡克定律广义胡克定律纵向应变：纵向应变：横向应变：横向应变：材料力学9应力状态分析与强度理论课件广义胡克定律：广义胡克定律： 对于二向应力状态：对于二向应力状态： 材料力学9应力状态分析与强度理论课件两种基本形式两种基本形式：脆性断裂脆性断裂脆性断裂脆性断裂 塑性屈服塑性屈服塑性屈服塑性屈服。2、应力状态对材料破坏、应力状态对材料破坏形式的影响形式的影响材料力学9应力状态
17、分析与强度理论课件13.8 13.8 强度理论概述强度理论概述材料破坏的形式主要有两类：材料破坏的形式主要有两类：屈服流动破坏屈服流动破坏断裂破坏断裂破坏材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂材料破坏的基本形式有两种：流动、断裂相应地，强度理论也可分为两类：相应地，强度理论也可分为两类： 一类是关于脆性断裂的强度理论；一类是关于脆性断裂的强度理论； 另一类是关于塑性屈服的强度理论。另一类是关于塑性屈服的强度理论。材料力学9应力状态分析与强度理论课件13.8 13.8 四种常用强度理论四种常用强度理论1.最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力理论（第一强度理论）假定：无论材料内各点的应力状态如何
18、，只要有一点的假定：无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的主应力主应力 1 达到单向拉伸断裂时的极限应力达到单向拉伸断裂时的极限应力u，材料即破坏。，材料即破坏。 在单向拉伸时，极限应力在单向拉伸时，极限应力 u =b 失效条件可写为失效条件可写为 1 b一、关于脆断的强度理论关于脆断的强度理论第一强度强度条件：第一强度强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件 试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性试验证明，这一理论与铸铁、岩石、砼、陶瓷、玻璃等脆性材料的拉断试验结果相符，材料的拉断试验结果相符，材料在轴向拉伸时的断裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。材料在轴向拉伸时的断
19、裂破坏发生于拉应力最大的横截面上。脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂脆性材料的扭转破坏，也是沿拉应力最大的斜面发生断裂，这些，这些都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力都与最大拉应力理论相符，但这个理论没有考虑其它两个主应力的影响。的影响。第一强度强度条件：第一强度强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件2.最大伸长线应变理论（第二强度理论）最大伸长线应变理论（第二强度理论）假定，无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的假定，无论材料内各点的应变状态如何，只要有一点的最大最大伸长线应变伸长线应变1达到单向拉伸断裂时应变的极限值达到单向拉伸断裂时应变的极
20、限值 u，材料即材料即破坏。破坏。所以发生脆性断裂的条件是所以发生脆性断裂的条件是 1 u若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则若材料直到脆性断裂都是在线弹性范围内工作，则由此导出失效条件的应力表达式为：由此导出失效条件的应力表达式为：第二强度条件：第二强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件 煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，煤、石料或砼等材料在轴向压缩试验时，如端部无摩擦，试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸试件将沿垂直于压力的方向发生断裂，这一方向就是最大伸长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。长线应变的方向，这与第二强度理论的结果相近。
21、第二强度条件：第二强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件1.最大剪应力理论（第三强度理论）最大剪应力理论（第三强度理论）假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大假定，无论材料内各点的应力状态如何，只要有一点的最大剪应力剪应力max达到单向拉伸屈服剪应力达到单向拉伸屈服剪应力S时时，材料就在该处出，材料就在该处出现明显塑性变形或屈服。现明显塑性变形或屈服。屈服破坏条件是：屈服破坏条件是：用应力表示的屈服破坏条件：用应力表示的屈服破坏条件：第三强度条件：第三强度条件：二、关于屈服的强度理论二、关于屈服的强度理论材料力学9应力状态分析与强度理论课件 第三强度理论曾第三强度理论曾被
22、许多塑性材料的试验结果所证实，且被许多塑性材料的试验结果所证实，且稍偏于安全稍偏于安全。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工。这个理论所提供的计算式比较简单，故它在工程设计中得到了广泛的应用。该理论程设计中得到了广泛的应用。该理论没有考虑中间主应力没有考虑中间主应力2的影响的影响，其带来的最大误差不超过，其带来的最大误差不超过15，而在大多数情况下，而在大多数情况下远比此为小。远比此为小。第三强度条件：第三强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件2.形状改变比能理论形状改变比能理论(第四强度理论第四强度理论)假定，复杂应力状态下材料的形状改变比能达到单向拉伸时假定，复杂应力状态下材料
23、的形状改变比能达到单向拉伸时使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。使材料屈服的形状改变比能时，材料即会发生屈服。屈服破坏条件是：屈服破坏条件是：简单拉伸时：简单拉伸时：屈服破坏条件是：屈服破坏条件是：第四强度条件：第四强度条件：材料力学9应力状态分析与强度理论课件这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断这个理论和许多塑性材料的试验结果相符，用这个理论判断碳素钢的屈服失效是相当准确的。碳素钢的屈服失效是相当准确的。四个强度理论的强度条件可写成统一形式：四个强度理论的强度条件可写成统一形式：称为相当应力称为相当应力材料力学9应力状态分析与强度理论课件强度理论的选择和应用强度理论
24、的选择和应用一般说来，在常温和静载的条件下，一般说来，在常温和静载的条件下， 脆性材料多发生脆性断裂，通常用第一、第二强度理论；脆性材料多发生脆性断裂，通常用第一、第二强度理论； 塑性材料多发生塑性屈服，应采用第三、第四强度理论。塑性材料多发生塑性屈服，应采用第三、第四强度理论。影响材料的脆性和塑性的因素很多，影响材料的脆性和塑性的因素很多， 例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷例如：低温能提高脆性，高温一般能提高塑性；在高速动载荷作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。作用下脆性提高，在低速静载荷作用下保持塑性。无论是塑性材料或脆性材料：无论是塑性材料或脆性材料： 在三
25、向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，在三向拉应力接近相等的情况下，都以断裂的形式破坏，所以应采用最大拉应力理论；所以应采用最大拉应力理论； 在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，在三向压应力接近相等的情况下，都可以引起塑性变形，所以应该采用第三或第四强度理论。所以应该采用第三或第四强度理论。材料力学9应力状态分析与强度理论课件在纯剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之
26、比应力与许用拉应力之比 例例6：填空题。：填空题。材料力学9应力状态分析与强度理论课件解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为解：在纯剪切应力状态下，三个主应力分别为第三强度理论的强度条件为：第三强度理论的强度条件为：由此得：由此得：剪切强度条件为：剪切强度条件为：按第三强度理论可求得：按第三强度理论可求得：材料力学9应力状态分析与强度理论课件第四强度理论的强度条件为：第四强度理论的强度条件为：由此得：由此得：剪切强度条件为：剪切强度条件为：按第四强度理论可求得：按第四强度理论可求得：材料力学9应力状态分析与强度理论课件在纯剪切应力状态下：在纯剪切应力状态下：用第三强度理论可得出：塑性材料的许
27、用剪用第三强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪用第四强度理论可得出：塑性材料的许用剪应力与许用拉应力之比应力与许用拉应力之比 例例6：填空题。：填空题。0.50.577材料力学9应力状态分析与强度理论课件第三强度理论和第四强度理论的相当应力分第三强度理论和第四强度理论的相当应力分别为别为r3及及r4，对于纯剪应力状态，恒有对于纯剪应力状态，恒有r3r4。例例7：填空题。：填空题。材料力学9应力状态分析与强度理论课件13 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例1、二向应力状态实例、二向应力状态实例1圆筒形薄壁压力
28、容器，内径为圆筒形薄壁压力容器，内径为 D、壁厚为、壁厚为 t，承受内力，承受内力p作用作用材料力学9应力状态分析与强度理论课件由环向截面上的平衡条件求得：由环向截面上的平衡条件求得：由纵向截面上的平衡条件求得：由纵向截面上的平衡条件求得：材料力学9应力状态分析与强度理论课件例例9：钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测得圆筒表面钢制封闭圆筒，在最大内压作用下测得圆筒表面任一点的任一点的x1.5104。已知。已知E=200GPa，0.25，160MPa，按第三强度理论校核圆筒的强度。，按第三强度理论校核圆筒的强度。材料力学9应力状态分析与强度理论课件解：解：由上两式可求得由上两式可求得故故故满足强度
29、条件。故满足强度条件。材料力学9应力状态分析与强度理论课件圆球形薄壁容器，壁厚为圆球形薄壁容器，壁厚为 t，内径为，内径为D，承受内压，承受内压p作用。作用。二向应力状态实例二向应力状态实例2材料力学9应力状态分析与强度理论课件01.已知单元体AB、BC面上只作用有剪应力，则AC面上的应力为C02. 已知某危险点的应力状态如图， =160MPa。试校核强度（用第三强度理论）（Mpa)材料力学9应力状态分析与强度理论课件05.纯剪切应力状态的单元体如图，则其第三强度理论相当应力为206.图示应力状态，按第三强度理论校核，强度条件为D材料力学9应力状态分析与强度理论课件07、已知单元体的主应力 ，可求得 截面上的正应力 = ， = 。08.图示受力杆件中，已知P=20kN，M=0.8kNm，直径d=40mm。试求外表面上A点的主应力。P PP Pm mm mA A材料力学9应力状态分析与强度理论课件材料力学9应力状态分析与强度理论课件
