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1、成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索人教人教A版版 必修必修5 数列数列第二章第二章2.4等比数列等比数列 第二章第二章第第1课时等比数列的概念与通项公式课时等比数列的概念与通项公式课堂探究学案课堂探究学案2课课 时时 作作 业业3自主预习学案自主预习学案1自主预习学案自主预习学案1理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列2掌握等比数列的通项公式并能应用，体会等比数列的通项公式与指数函数的关系3掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题我们古代数学名著孙子算经中有一个有趣的问题叫“出门望九堤”：“今有出门望九堤，堤有九木，木
2、有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雏，雏有九毛，毛有九色，问各有几何？”上述问题中的各种东西的数量构成了怎样的数列？1还记得等差数列的定义吗？从_起，每一项与其前一项的差_的数列，称为等差数列2等差数列的通项公式：_，是关于n的_3还记得指数型函数吗？_.第2项等于同一个常数 ana1(n1)d 一次函数式 ycax(a0且a1) 1观察下面几个数列：(1)1,3,9,27,81，；(2)3，3,3，3,3，3，；(3)关于在国际象棋棋盘各个格子里放麦粒的问题，由于每一个格子里的麦粒都是前一个格子的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是1,2,22,23，263；(4)某人年
3、初投资10000元，如果年收益率是5%，那么按照复利，5年内各年末的本利和依次为100001.05,100001.052，100001.055.它们是等差数列吗？计算上述每个数列从第二项起每一项与其前一项的比值，你有什么发现？它们有无共同的规律？你能归纳它们的共同规律给这类数列一个统一的定义吗？答案B已 知 等 比 数 列 an中 ， a1 2， a3 8， 则 an_.答案2n或(2)n课堂探究学案课堂探究学案已知等比数列an，若a1a2a37，a1a2a38，求an.分析(1)在等比数列的通项公式中含有两个待定系数a1和q，故需建立a1与q的两个方程，组成方程组求解，因此只需将已知条件改写
4、成a1与q的关系式即可(2)由等比中项的定义知，a2是a1与a3的等比中项，故可先由a1a2a38求得a2，再解关于a1与a3的方程组，即可获解等比数列的通项公式在等比数列an中，(1)若a42，a78，则an_；(2)若a2a518，a3a69，an1，则n_.方法规律总结求等比数列的通项公式与求等差数列的通项公式一样，运用方程的思想，建立基本量的方程(或方程组)求解，在a1，an，n，q四个量中，已知三个可求另一个已知数列an满足a11，an12an1，bnan1(nN*)(1)求证bn是等比数列；(2)求an的通项公式等比数列的判定与证明设数列an的前n项和为Sn，已知a11，Sn14a
5、n2.(1)设bnan12an，证明：数列bn是等比数列；(2)求数列an的通项公式分析题中已知为Sn1与an的关系式，利用anSnSn1可将其转化为an的关系式，从而获得数列的特征解析(1)证明：由已知，有a1a24a12，a23a125，故b1a22a13.又an2Sn2Sn14an12(4an2)4an14an，于是an22an12(an12an)，即bn12bn.因此数列bn是首项为3，公比为2的等比数列等差数列an的公差不为零，首项a11，a2是a1和a5的等比中项，则数列an的前10项之和是()A90 B100C145 D190答案B等比中项方法规律总结等比中项的应用主要有两点：计
6、算，与其它性质综合应用，起到简化计算、提高解题速度的作用用来判断或证明等比数列某人买了一辆价值13.5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值(1)用一个式子表示第n(nN)年这辆车的价值(2)如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？分析根据题意，每年车的价值存在倍数关系，所以能建立等比数列模型来解决数列的实际应用题解析(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为：a1，a2，a3，an，由题意，得a113.5，a213.5(110%)，a313.5(110%)2，.由等比数列定义，知数列an是等比数列，首项a113.5，公比q(110%)0.9，ana1qn113.5(
7、0.9)n1.第n年车的价值为an13.5(0.9)n1万元(2)当他用满4年时，车的价值为a513.5(0.9)518.857.用满4年时卖掉时，他大概能得8.857万元方法规律总结解答数列实际应用问题的一般思路(1)建模：根据题设条件，建立数列模型：分析实际问题的结构特征；找出所含元素的数量关系；确定为何种数列模型；(2)解模：利用相关的数列知识加以解决：分清首项、公差、项数等；分清是an还是Sn问题；选用适当的方法求解；(3)还原：把数学问题的解还原为实际问题，针对实际问题的约束条件合理修正，使其成为实际问题的解容积为aL(a1)的容器盛满酒精后倒出1L，然后加满水，再倒出1L混合溶液后又用水加满，如此继续下去，问第n次操作后溶液的浓度是多少？当a2时，至少应倒出几次后才可能使酒精浓度低于10%?等比数列an的前三项的和为168，a2a542，求a5、a7的等比中项辨析错误的原因在于认为a5，a7的等比中项是a6，忽略了同号两数的等比中项有两个且互为相反数等比数列an(an0)满足a1a590，a2a436，则a5，a7的等比中项为_答案3等比数列
