《圆锥曲线与方程 知识点详细》由会员分享，可在线阅读，更多相关《圆锥曲线与方程 知识点详细（9页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、椭圆椭圆1 1、 椭圆的第一定义：椭圆的第一定义： 平面内一个动点P到两个定点F1、F2的距离之和等于常数( PF1 PF2 2a F1F2) ,这个动点P的轨迹叫椭圆椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距椭圆的焦距。.注意：注意：若( PF1 PF2 F1F2)，则动点P的轨迹为线段F1F2；若( PF1 PF2 F1F2)，则动点P的轨迹无图形.2 2、椭圆的标准方程、椭圆的标准方程x2y21）当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程：221(a b 0)，其中c2 a2b2；aby2x22）当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程：221(a b 0)，其中c2 a2b2；a
2、b注意：注意：在两种标准方程中，总有ab0，并且椭圆的焦点总在长轴上；x2y21或者 mx2+ny2=1 。两种标准方程可用一般形式表示：mnx2y23 3、椭圆：、椭圆：221(a b 0)的简单几何性质的简单几何性质abx2y2（1 1）对称性：对称性：对于椭圆标准方程221(a b 0)：是以x轴、y轴ab为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。（2 2）范围：）范围：椭圆上所有的点都位于直线x a和y b所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足x a，y b。（3 3）顶点：）顶点：椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点椭圆的顶点。椭圆x2
3、y221(a b 0)与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为A1(a,0)，A2(a,0)，2abB1(0,b)，B2(0,b)。 线段A1A2，B1B2分别叫做椭圆的长轴长轴和短轴短轴，A1A2 2a,B1B2 2b。a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。（4 4）离心率：）离心率：椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率椭圆的离心率，用e表示，记作e 2cc。因为2aa(a c 0)，所以e的取值范围是(0 e 1)。e越接近 1，则c就越接近a，从而b a2c2越小，因此椭圆越扁； 反之，从而b越接近于a， 这时椭圆就越接近于圆。当且仅当a be越接近于 0，c就越接近 0，
4、时，c 0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x y a。22x2y2注意：注意：椭圆221的图像中线段的几何特征（如下图）：abx2y2假设已知椭圆方程221（a0,b0），且已知椭aba2圆的准线方程为x ，试推导出下列式子：（提示：用三角cPF1函数假设 P 点的坐标PM1PF2PM2 e14 4、椭圆的另一个定义：、椭圆的另一个定义：到焦点的距离与到准线的距离的比为离心率的点所构成的图形。即上图中有PF1PM1PF2PM2 ex2y2y2x25 5、椭圆、椭圆221与与221(a b 0)的区别和联系的区别和联系abab标准方程x2y21(a b 0)a2b2y2x21(a b 0)
5、a2b2图形焦点焦距范围对称性顶点性质轴长离心率F1(c,0)，F2(c,0)F1(0,c)，F2(0,c)F1F2 2cF1F2 2cx a，y b关于x轴、y轴和原点对称x b，y a(a,0)，(0,b)长轴长=2a，短轴长=2b(0,a)，(b,0)e c(0 e 1)a准线方程焦半径a2x ca2y cPF1 aex0，PF2 aex0PF1 aey0，PF2 aey0一般而言：椭圆有两条对称轴，它们分别是两焦点的连线及两焦点连线段的中垂线；椭圆都有四个顶点，顶点是曲线与它本身的对称轴的交点；离心率确定了椭圆的形状（扁圆形状），当离心率越接近于0，椭圆越圆；当离心率越接近于1 时，椭
6、圆越扁。6.6.直线与椭圆的位置关系直线与椭圆的位置关系1.将直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，然后通过判别式来判断直线和椭圆是否相交、相切或相离。2.消元后得到的一元二次方程的根是直线和椭圆交点的横坐标或纵坐标，通常是写成两根之和与两根之积的形式，这是进一步解题的基础。7.7.椭圆方程的求解方法椭圆方程的求解方法 1.要学会运用待定系数法待定系数法来求椭圆方程， 即设法建立a,b或者e,c中的方程组，要善于抓住条件列方程。x2y2y2x2先定型，再定量，当焦点位置不确定时，应设椭圆的标准方程为221（ab0）或221ababx2y21或者 mx2+ny2=1（ab0）；或者不必
7、考虑焦点的位置，直接把椭圆的标准方程设为mn（m0,n0,mn） ，这样可以避免讨论及繁杂的计算，当已知椭圆上的两点坐标时这种解题更方便。2但是需要注意的是 m 和 n（或者11和）谁代表a2，谁代表b2要分清。不要忘记隐含条件和方程，例如：mna b c，e 222ca等等。不同的圆锥曲线有不同的隐含条件和方程，切勿弄混。 2.求解与椭圆几何性质有关的问题时要结合图形分析， 即使画不出图形， 思考时也要联想图形， 注意数形结合法的使用，切勿漏掉一种情况。【典型例题】1、 椭圆的定义例 1、已知 F1(-8，0)，F2(8，0)，动点 P 满足|PF1|+|PF2|=16，则点 P 的轨迹为(
8、)A 圆B 椭圆C 线段D 直线2、 椭圆的标准方程例 2、求满足以下条件的椭圆的标准方程(1)长轴长为 10，短轴长为 6； (2)长轴是短轴的 2 倍，且过点(2，1)； (3) 经过点(5，1)，(3，2)3、 离心率x x2 2y y2 2例 3、椭圆2 2 2 2 1(1(a a b b 0)0)的左右焦点分别是 F1、F2，过点 F1作 x 轴的垂线交椭圆于 P 点。a ab b若F1PF2=60，则椭圆的离心率为_4、 最值问题x x2 2 y y2 2 1 1两焦点为 F1、F2，点 P 在椭圆上，则|PF1|PF2|的最大值为_，最小值为_例 4、椭圆4 45、 直线和椭圆x
9、 x2 2y y2 2 1 1，试问当 m 为何值时：例 10、已知直线 l:y=2x+m，椭圆 C：4 42 2(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点；(3)没有公共点.3双曲线双曲线一、知识点讲解一、知识点讲解（1）双曲线的定义：平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|PF1| |PF2| 2a与|PF2| |PF1| 2a（2a |F1F2|）表示双曲线的一支。2a |F1F2|表示两条射线；2a |F1F2|没有轨迹；（2）双曲线的标准方程、图象及几何性质：标准方程中
10、心在原点，焦点在x轴上x2y21(a0,b0)a2b2中心在原点，焦点在y轴上y2x221(a0,b0)2abPy F2P图形yxOA2F2顶点对称轴焦点焦距离心率渐近线通径（3）双曲线的渐近线：2222求双曲线xy1的渐近线，可令其右边的1 为 0，即得xy0，因式分解得到xy0。2222B2OB1F1B1(0, a), B2(0,a)xF1A1A1( a, 0), A2(a, 0)x轴，y轴；虚轴为2b，实轴为2aF1( c, 0), F2(c, 0)|F1F2| 2c(c0)ce2F1(0, c), F2(0,c)a2b2c(e1)（离心率越大，开口越大）aybxa2b2ayaxbaba
11、bab22x2y2与双曲线221共渐近线的双曲线系方程是x2y2；abab（4）等轴双曲线为xyt，其离心率为21. 注意定义中“陷阱问题 1：已知F1( 5,0), F2(5,0)，一曲线上的动点P到F1,F2距离之差为 6，则双曲线的方程为22242.注意焦点的位置： 问题 2：双曲线的渐近线为y 3x，则离心率为2yPC【典型例题】【典型例题】1.1.定义题：定义题：1.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4s. 已知各观测点到该中心的距离都是 1020m. 试确定该巨响发生的位置.(假定当时声音传
12、播的速度为 340m/ s :相关各点均在同一平面上)【解题思路】时间差即为距离差，到两定点距离之差为定值的点的轨迹是双曲线型的AOBxx2y21的左2.如图 2 所示，F为双曲线C :916焦点，双曲线C上的点Pi与P7ii 1,2,3关于y轴对称，则P1F P2F P3F P4F P5F P6F的值是（）A9B16C18D27x2y23. P 是双曲线221(a 0,b 0)左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则PF1F2ab的内切圆的圆心的横坐标为（）（A） a（B）b（C）c（D）a bc2.2.求双曲线的标准方程求双曲线的标准方程y2x21.已知双曲线 C 与双曲
13、线=1 有公共焦点，且过点（32，2）.求双曲线 C 的方程1642.已知双曲线的渐近线方程是y ，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；x23.3.与渐近线有关的问题与渐近线有关的问题x2y21 若双曲线221(a 0,b 0)的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为 （）abA.2 B.3C.5D.25x23.焦点为（0，6） ，且与双曲线 y21有相同的渐近线的双曲线方程是（）2Ay2x2y2x2x2y2x2y21B1C1D112242412241212244.过点（1，3）且渐近线为y 4. 4.几何几何1x的双曲线方程是2y21上的一点，F1，F2是该双曲线的两个
14、焦点， 若| PF1|:| PF2| 3: 2， 则PF1F2的1. 1.设P为双曲线x 122面积为（）A6 3B12C.12 3D245. 5.求弦求弦1.双曲线x y1的一弦中点为（2，1） ，则此弦所在的直线方程为（）A.y 2x 1 B.y 2x 2 C.y 2x 3 D.y 2x 3226抛物线抛物线知识点 1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点 F 距离与到定直线 l 的距离相等；(3)定点不在定直线上知识点 2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p 的几何意义：焦点
15、 F 到准线 l 的距离图形顶点对称轴焦点离心率准线方程范围开口方向焦半径(其中P(x0，y0)px2x0，yR R向右p|PF|x02px2x0，yR R向左p|PF|x02pF2，0y0p ，0F2e1py2y0，xR R向上p|PF|y02py2y0，xR R向下p|PF|y02p0，F2O(0,0)x0p0，F2【典型例题】【典型例题】例 1 设 P 是抛物线 y24x 上的一个动点(1)求点 P 到点 A(1,1)的距离与点 P 到直线 x1 的距离之和的最小值；(2)若 B(3,2)，求|PB|PF|的最小值变式练习 17(1)若点 P 到直线 y1 的距离比它到点(0,3)的距离
16、小 2，则点 P 的轨迹方程是_(2)过抛物线 y24x 的焦点作直线 l 交抛物线于 A， B 两点， 若线段 AB 中点的横坐标为 3， 则|AB|等于_变式练习 2（1）已知直线 l 过抛物线 C 的焦点，且与 C 的对称轴垂直，l 与 C 交于 A，B 两点，|AB|12，P 为 C 的准线上一点，则ABP 的面积为()A18B24C36D48变式练习 31.已知直线 yk(x2)(k0)与抛物线 C：y28x 相交于 A，B 两点，F 为 C 的焦点，若|FA|2|FB|，求k 的值【归纳总结】4 个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线 y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线
17、于A，B 两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：2p(1)|AB|x1x2p 或|AB|2( 为 AB 所在直线的倾斜角)；sin p2(2)x1x2；4(3)y1y2p2；(4)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3 个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p 的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中的距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，
18、直线与抛物线也只有一个交点.8注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质定义椭圆1 到两定点 F1,F2的距离之和为定值 2a(2a|F1F2|)的点的轨迹2与定点和直线的距离之比为定值 e 的点的轨迹.（0e1）方程标准方程参数方程范围中心顶点对称轴焦点焦距离心率准线双曲线1到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为定值 2a(02a1）抛物线与定点和直线的距离相等的点的轨迹.y2=2pxx2y21(a b0)a2b2x2y21(a0,b0)a2b2x acosy bsin(参数为离心角）axa，byb原点 O（0，0）(a,0),(a,0),(0,b) , (0,b)x 轴，y 轴；长轴长 2a,短轴长 2bF1(c,0), F2(c,0)x asecy btan(参数为离心角）|x| a，yR原点 O（0，0）(a,0),(a,0)x 轴， y 轴;实轴长 2a, 虚轴长 2b.F1(c,0), F2(c,0)x 2pt2y 2pt(t 为参数)x0(0,0)x 轴pF(,0)2e=12c（c=a b）222c（c=a b）22e c(0 e 1)ae c(e 1)aa2x=ca2x=cy=x p2渐近线焦半径通径bxar a ex2baac22r (ex a)r x 2pPp22baac22焦参数9
