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1、2问题问题 1. 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船汽车，还可以乘轮船. 一天中，火车有一天中，火车有4 班班, 汽车汽车有有2班，轮船有班，轮船有3班班. 那么一天中乘坐这些交通工那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析分析: 从甲地到乙地有从甲地到乙地有3类办法：类办法：第一类方法第一类方法, 乘火车，有乘火车，有4种方法种方法;第二类办法第二类办法, 乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法;第三类办法第三类办法, 乘轮船乘轮船, 有有3种方法种方法;所以，从甲地到乙地共有所以，从甲地
2、到乙地共有 4 + 2 + 3 = 9 种方法种方法.引入引入3问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入4路径路径类类1-1问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入5路径路径类类1-2问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入2024/7/246路径路径类类1-3问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引
3、入引入2024/7/247路径路径类类2-1问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？AB引入引入2024/7/248解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分二类的通电线路可分二类, 第一类第一类, m1 = 3 条条 ； 第二类第二类, m2 = 1 条条.问题问题 2.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同共有多少条不同的线路可通电？的线路可通电？所以所以, 从从A到到B共有共有 N = 3 + 1 = 4 条不同的线路可通电条不同的线路可通电.引入引入2024/7/249 做一件事情，完成它可以有做一件
4、事情，完成它可以有 n类办法类办法,在第一在第一类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同种不同的方法的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法.分类计数原理：分类计数原理：新授知识新授知识2024/7/2410 问题问题3. 如图如图,由由A村去村去B村的道路有村的道路有3条，由条，由B村村去去C村的道路有村的道路有2条条. 从从A村经村经B村去村去C村，共有多村，共有多少种不同的走法少种不同的走法?A村村B村C村村北北南南中中
5、北北南南 分析分析: 从从A村经村经 B村去村去C村有村有2步：步：第一步第一步, 由由A村去村去B村有村有3种方法；种方法；第二步第二步, 由由B村去村去C村有村有2种方法种方法.所以，从所以，从A村经村经 B村去村去C村共有村共有 3 2 = 6 种不同的方法种不同的方法.引入引入2024/7/2411问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB引入引入2024/7/2412问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2413问题问题4
6、.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2414问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2415问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2416问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2417问题问题4.如图如图,该电
7、路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？AB路径路径-引入引入2024/7/2418问题问题4.如图如图,该电路从该电路从A到到B共有多少条不同的共有多少条不同的线路可通电？线路可通电？解解: 从总体上看由从总体上看由A到到B的通电线路可分两步：的通电线路可分两步：第一步第一步, m1 = 3 段；段；第二步第二步, m2 = 2 段段.所以所以, 从从A到到B共有共有 N = 3 2 = 6条不同的线路可通电条不同的线路可通电.引入引入2024/7/2419 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤，个步骤，做第做第一步有一步有m1种不
8、同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完成这件事有成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法种不同的方法.分步计数原理分步计数原理：新授知识新授知识2024/7/2420第二类办法第二类办法, 从女三好学生中任选一人从女三好学生中任选一人, 共有共有 m2 = 4 种不同的方法种不同的方法; 例例1 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人人. (1)从中任选一人去领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人
9、去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？讲解例题讲解例题解：解： (1) 完成从三好学生中任选一人去领奖这件事完成从三好学生中任选一人去领奖这件事,共有共有2类办法：类办法：第一类办法第一类办法, 从男三好学生中任选一人从男三好学生中任选一人, 共有共有 m1 = 5 种不同的方法种不同的方法;所以所以, 根据分类计数原理根据分类计数原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 + 4 = 9 种种.2024/7/2421 例例1 某班级有男三好学生某班级有男三好学生5人人,女三好学生女三好学生4人人. (1)从中任选一人去
10、领奖从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？ (2) 从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会从中任选男、女三好学生各一人去参加座谈会,有多少种不同的选法？有多少种不同的选法？讲解例题讲解例题 解：解： (2) 完成从三好学生中任选男、女各一人去完成从三好学生中任选男、女各一人去参加座谈会这件事参加座谈会这件事, 需分需分2步完成：步完成： 点评点评: 解题的关键是从总体上看做这件事情是解题的关键是从总体上看做这件事情是“分分类完成类完成”,还是还是“分步完成分步完成”. “分类完成分类完成”用用“分分类计数原理类计数原理”;“分步完成分步完成”用用“分步计数原理分步计数
11、原理”.第一步第一步, 选一名男三好学生选一名男三好学生,有有m1 = 5 种方法种方法;第二步第二步, 选一名女三好学生选一名女三好学生,有有m2 = 4种方法种方法; 所以所以, 根据分步计数原理根据分步计数原理, 得到不同选法种数共有得到不同选法种数共有 N = 5 4 = 20 种种.2024/7/2422 例例2书架的第一架的第一层放有放有4本不同的本不同的计算机算机书，第二，第二层放有放有3本不本不同的文同的文艺书，第，第3层放有放有2本不同的体育本不同的体育书（1）从）从书架上任取架上任取1本本书，有多少种不同的取法？，有多少种不同的取法？（2）从）从书架的第架的第1、2、3层各
12、取一本各取一本书，有几种不同的取法？，有几种不同的取法？第第1类办法是从第类办法是从第1层取层取1本计算机书，有本计算机书，有4种方法；种方法；第第2类办法是从第类办法是从第2层取层取1本文艺书，有本文艺书，有3种方法；种方法；第第3类办法是从第类办法是从第3层取层取1本体育书，有本体育书，有2种方法种方法例题讲解例题讲解解：解：从书架上任取一本书，有从书架上任取一本书，有3类办法：类办法： 根据分类计数原理，不同取法的种数是根据分类计数原理，不同取法的种数是N=m1+m2+m3=4+3+2=9答：从书架上任取答：从书架上任取1本书，有本书，有9种不同的取法种不同的取法. 2024/7/242
13、3 例例2 书架的第一架的第一层放有放有4本不同的本不同的计算机算机书，第二，第二层放有放有3本不本不同的文同的文艺书，第，第3层放有放有2本不同的体育本不同的体育书（1）从）从书架上任取架上任取1本本书，有多少种不同的取法？，有多少种不同的取法？（2）从）从书架的第架的第1、2、3层各取一本各取一本书，有几种不同的取法？，有几种不同的取法？解：解： （2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，可以分成本书，可以分成3个个步骤完成：步骤完成： 据分步计数原理，从书架的第据分步计数原理，从书架的第1、2、3层各取层各取1本书，不本书，不同取法的种数是同取法的种数是Nm1m2m343
14、224答：从书架的第答：从书架的第1、2、3层各取层各取1本，有本，有24种不同的取法种不同的取法.例题讲解例题讲解第第1步从第步从第1层取层取1本科技书，有本科技书，有4种方法；种方法；第第2步从第步从第2层取层取1本漫画书，有本漫画书，有3种方法；种方法；第第3步从第步从第3层取层取1本文学书，有本文学书，有2种方法种方法.2024/7/2424.ABABm1m1m2m2mnmn 我们可以把分类计数原理看成我们可以把分类计数原理看成“并联电路并联电路”; ;分步计数原理看成分步计数原理看成“串联电路串联电路”. .如图如图: :理解理解1:25 分类计数原理中的分类计数原理中的“分类分类”
15、要全面要全面, 不能遗漏不能遗漏; 但也不能但也不能重复、交叉重复、交叉;“类类”与与“类之间是并列的、互斥的、独立的类之间是并列的、互斥的、独立的,也也就是说就是说,完成一件事情完成一件事情,每次只能选择其中的一类办法中的某每次只能选择其中的一类办法中的某一种方法一种方法. 若完成某件事情有若完成某件事情有n类办法类办法, 即它们两两的交为空即它们两两的交为空集集,n类的并为全集类的并为全集. 分步计数原理中的分步计数原理中的“分步分步”程序要正确程序要正确. “步步”与与“步步”之之间是连续的间是连续的,不间断的不间断的,有顺序的，缺一不可有顺序的，缺一不可;但也不能重复、交但也不能重复、
16、交叉叉;若完成某件事情需若完成某件事情需n步步, 则必须且只需依次完成这则必须且只需依次完成这n个步骤个步骤后后,这件事情才算完成这件事情才算完成. 在运用在运用“分类计数原理、分步计数原理分类计数原理、分步计数原理”处理具体应用题时处理具体应用题时,除要弄清是除要弄清是“分类分类”还是还是“分步分步”外外,还要搞清楚还要搞清楚“分类分类”或或“分步分步”的具体标准的具体标准. 在在“分类分类”或或“分步分步”过程中过程中,标准必须标准必须一致一致,才能保证不重复、不遗漏才能保证不重复、不遗漏.理解理解2:26 如图如图,从甲地到乙地有从甲地到乙地有2条路可通条路可通,从乙地到丙地有从乙地到丙
17、地有3条路可通条路可通;从甲地到丁地有从甲地到丁地有4条路可通条路可通, 从丁地到丙地有从丁地到丙地有2条路可通条路可通. 从甲地到丙地共有多少种不同的走法？从甲地到丙地共有多少种不同的走法？甲地甲地乙地乙地丙地丙地丁地丁地 解解:从总体上看从总体上看,由甲到丙有两类不同的走法由甲到丙有两类不同的走法, 第一类第一类, 由甲经乙去丙由甲经乙去丙,又需分两步又需分两步, 所以所以m1 = 23 = 6 种不同的走法种不同的走法;第二类第二类, 由甲经丁去丙由甲经丁去丙,也需也需分两步分两步, 所以所以 m2 = 42 = 8种不同的走法种不同的走法;所以从甲地到丙地共有所以从甲地到丙地共有N =
18、 6 + 8 = 14 种不同的走法种不同的走法.课堂练习课堂练习27 做一件事情，完成它需要分成做一件事情，完成它需要分成n个步骤，个步骤，做第做第一步有一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的种不同的方法，方法，做第，做第n步有步有mn种不同的方法，那么完种不同的方法，那么完成这件事有成这件事有 N=m1m2mn 种不同的方法种不同的方法.分步计数原理分步计数原理： 做一件事情，完成它可以有做一件事情，完成它可以有 n类办法类办法,在第一在第一类办法中有类办法中有m1种不同的方法种不同的方法,在第二类办法中有在第二类办法中有m2种不同的方法，种不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同种不同的方法的方法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=m1+m2+mn 种不同的方法种不同的方法.分类计数原理：分类计数原理：小结小结28 本讲到此结束，请同学们课后再做好复习. 谢谢！再见！作业：习题作业：习题 10.1 1，2，3，4
