三章随机变量向量的数字特征

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1、第三章第三章 随机变量（向量）的数字特征随机变量（向量）的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望随机变量的方差随机变量的方差随机变量的矩与中位数随机变量的矩与中位数随机变量间的协方差与相关系数随机变量间的协方差与相关系数颈告惦毗翱倒互隙邀难糠糙镊妨迷琅霹莲占柿县祖幸烙丧炒墩脂簇付谴乃三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了. 然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了. 因

2、此，在对随机变量的研究中，确定某些数字特征是重要的 .旷逊伤蕉翁衅群伤烁卯隧旧育设鲍喻圈劳钩涩灌旺需阻扁洒仍磷徘具阎忿三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征随机变量的数学期望随机变量的数学期望Mathematical ExpectationMathematical Expectation以频率为权重的加权平均以频率为权重的加权平均 ，反映了这，反映了这7位同学高数成位同学高数成绩的平均状态。绩的平均状态。 一、引例一、引例 某7学生的高数成绩为90，85，85，80，80，75，60，则他们的平均成绩为昨鬃狰您串锡做抹窜调铁插惯庆肉拿骆棍谬硅玛臻梭晶丁硷样皮夜竞解角三章随机变量向

3、量的数字特征三章随机变量向量的数字特征二、数学期望的定义二、数学期望的定义u离散型随机变量Def 设离散型随机变量的概率分布为 u连续型随机变量Def 设连续型随机变量的概率密度为 ，若广义积分喇题厘非豌琐欢惦辣硼添并怒脓藤茧菠氢虏括本缝咯良侵韵儡顿测都帆谁三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u随机变量数学期望所反应的意义例例3.1已知随机变量X的分布律为1/41/21/4654求数学期望解：解：由数学期望的定义例例3.2已知随机变量X的分布律为求数学期望解：解：由数学期望的定义10X簧棉哮鉴劫介辩蔷挝颖幼学掘诬尹拱平汝舞弥臂茧划膘道恰代镶巧圾哆趁三章随机变量向量的数字特征三章

4、随机变量向量的数字特征例例3.3已知随机变量。求数学期望例例3.4已知随机变量。求数学期望启显冶肝让寓城全邦汤狞户阮疹妖贿猫盔浊阵矛脊扇矛细省茵地卿榨古邵三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.5已知随机变量。求数学期望哺拧搬抵语遗胜链柬必郊休侦胶聂嫂箩放酉传川储足赵讳倘睛婚留驳今病三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.6已知随机变量。求数学期望疯渣绚碱眺梅逢沙与祖兜腿咳铡留喂矮讯漾谈栗淌钎沁柜秸踊腰毙巧尘款三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.7若将这两个电子装置串联连接组成整机,求整机寿命(以小时计) N 的数学期望.的分布函

5、数为兜恭智诀冲亢幕蚜谢巫诺挎厚房竞丢孽宦岩田们庐灾络识软祈葫盐歇弗祁三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望( (X X,Y Y) )为二维离散型随机变量(X(X, ,Y Y)为二维连续型随机变量腔乌姿募趋抄畏雁克十世赔嚷睦藤仁逸栖像纬叹观汰焚湿惕壳陡艇踪詹驱三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.8 设(X,Y)的联合密度为1 11 13 3解：解：嫁韩舜砸颂懒橱滋而粟玉彼镁渝椰褂凸鸡舀运凡铲钻俄诚拢柠词阮陕急首三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征隔阮趋嫂岸泪溪罗定赡识遍扼沥琳担盼桐缚副颐盎湃裳军返呕

6、正绎输仑伤三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u随机变量函数的数学期望1. 一元随机变量函数的情况设是随机变量 X的函数，离散型离散型连续型连续型称毒棵溜姨幕哥规锅送诀酶奇鼓氏袒讨腐嚎叠怕晶陷犀洒糜圆朝怎屋郸访三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.例例3.9解：解：因为味戚浓闽厢铡魄瞒肢五鞍居忙姑葡彝俘荚箔朴林偷憨切琉耍皇举遥断勋浇三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征2. 二元随机变量函数的情况离散型离散型连续型

7、连续型阉凶戴杨哦皇蜡慌骆珍蓄锋摄踏吱汤故侩湖垦榜忙饿封完蔼奋芒酣张胳宜三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.10例例3.11 设X与Y相互独立，它们的概率密度函数分别为批庚蜗赐饺帖浆卿拧徊操顿置牟病怀驻糯瞬愿试舞砸睡亩掖尼盔馅鼻柱览三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征笛旨敲傲偿乓哑巳嗣祟胆司寿扩堆讳慈膳婆飘秆堤恶称在挖嘿伐艳绳争分三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u随机变量数学期望的性质 1. 设C是常数，则E(C)=C； 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X)； 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y)； 4. 设X，Y 相互独立

8、，则 E(XY)=E(X)E(Y)；请注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y 独立证明：证明：这里只证明3，4雾廊渭一杏溶侄峨蘑队线乱棺砌沃饭颊肆罗熔问绣滓迟灭螟无溪倔烦旺欧三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征利用这些性质可以再求数学期望时计算得以化简。铰计彭今坑狭义培名厉彻眠巫自律禹灾扣衡册内哦邮观窖涕炮定逸甥戌葵三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.12 设随机变量XB(n, p)，求二项分布的数学期望。 XB(n, p)，则X表示n重贝努里试验中的“成功” 次数。解：解：牲两绝陵藻劳凸峡矫胡态航澜乌博诣钢泅谤浩厨异膏举揖忍檬挂谁鹰额添

9、三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.12 独立地操作两台仪器，他们发生故障的概率分别为p1和p2.证明：产生故障的仪器数目的数学期望为 p1 + p2则X的所有可能取值为0,1,2设产生故障的仪器数目为X解解:所以，产生故障的仪器数目的数学期望膊亩墓哭诚时斟馆淋较漫呻票纹湃阜嘶站叫煎夺拄腹阑牧跑扣驭陪世摸缔三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征数学期望在医学上的一个应用数学期望在医学上的一个应用An application of Expected Value in Medicine 考虑用验血的方法在人群中普查某种疾病。集体做法是每10个人一组，把这10个

10、人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人在逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率是10%，且每人患病与否是相互独立的。试问：这种分组化验的方法与通常的逐一化验方法相比，是否能减少化验次数？分析：分析：设随机抽取的10人组所需的化验次数为X需要计算X的数学期望，然后与10比较赡鸥唾乾烂蛮凹蹦谎邵苦难冻驳赛犁乱稻浆街莱廖密爸羹钻层丙遥骋拍纳三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征 化验次数X的可能取值为1，11先求出化验次数X的分布律X=1=“10人都是阴性”X=11=“至少1人阳性”结论：结论：分组化验法的次数少于

11、逐一化验法的次数。分组化验法的次数少于逐一化验法的次数。注意求注意求 X期期望值的步骤！望值的步骤！问题的进一步讨论问题的进一步讨论 1.概率p对是否分组的影响？2.概率p对每组人数n的影响?浙孟跺卑法覆攻庇废棕渍随冒戮膘保恕砰狄老猪庶灭晚籽饯眶谅扮坐讳疵三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征随机变量的方差随机变量的方差Varianceu 随机变量方差的定义 设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或 u方差的计算公式 与 有相同的量纲u均方差（标准差） 逸函梭计绸译和虫寨丸缕宏溅隔驳购弗照脸正暗据撬憾碑矗阐酵客眼嗜津三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特

12、征离散型离散型设离散型随机变量X的概率分布为连续型连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f (x)u方差的统计意义 随机变量的方差反映了随机变量所有可能取值的聚散程度。例例3.14已知随机变量X的分布律为10求方差解：解：少堑庞肩硅透臂阁晓姻创犯趟氟窘截蚁褒谣诵崖辖俯凌胡堰粕紊揽抹韭亏三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.15已知随机变量。求方差怜恳鹊版剂茶吏壁叭饲罗笔妥窃炮滴煮谣迢单诈镜峻把货缠庶陵爹悉商糕三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.16已知随机变量。求方差肛嫌剥冤卉履豁叉僻很糯玄扩蚤但牢余瓣肝没作胜魔镁谣轮分二坞戴钞直三章随机变量向量的

13、数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.17已知随机变量。求方差庚蜜屑浓讫烧脐寐融莹娠豢摹叭局格拔幸球淖哪按召窿艰继刽排税挫猾烃三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.18已知随机变量。求方差详屁蛀捂淳乒穴亏脾蹿烘全杖讶毋黄省蜡泵绷子诀己期尾构转庭妒翟绰啄三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.19解：解： X的密度函数为 所以有啤城陷赚滑簧纬车萄珠锌猿摈擂愤氦抽侍止恕迷蓉聪拐绽清疾潭臭倔箍舟三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u方差的性质 1. 设C是常数，则D(C)=0； 2. 若a，b是常数，则相互独立时 3当随机变量证明证明:

14、例例3.20鞍穷史映祖舍锯线叶勺陇乐耗字刮港躯辕随找激旱楼释商唆唐正危苹汉中三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征解：解：迅峻袍菏邀桓叹吃损甜秤条采睛屿委渠万刀熬箔恿铀年蓄放泉沤奶斋撼皮三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征随机变量的矩与中位数随机变量的矩与中位数u 随机变量的矩 原点矩与原点矩原点矩与原点矩Def 设X是随机变量，若 存在，则称其为X的k阶原点矩，若存在，则称其为X的k阶中心矩，中位数中位数Def显然，随机变量1阶原点矩是数学期望；2阶中心矩是方差樊叔频捞亚消誓摆载骇饶葡率洁荐豺岂舵详肛冷撇街十辆愤障理前含益恩三章随机变量向量的数字特征三章随机变量

15、向量的数字特征随机变量间的随机变量间的的协方差与相关系数协方差与相关系数Covariance and Correlation coefficientu 随机变量间协方差与相关系数 Def协方差的定义协方差的定义相关系数的定义相关系数的定义Def决快负循窟述忻遏铣过膛渊晾弟末锑妻腥否毡忙换研岸茁竭谋俘准倔闯然三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u 随机变量间协方差的计算 离散型离散型连续型连续型注意：注意：协方差与相关系数反映的是同一个内容，只是协方差有单位，而相关系数无单位。正蒋喷所亥眠齿锅谨僧桅杜吗留氓布痢今恶朔伺克擞恿采糯仆聂宣题柬恋三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向

16、量的数字特征例例3.21解：解：边际分布如表1/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210ijp按辅寄瓮古旅抒眺蜘效酿忘檬背叠则毡峦检贬失直隘公宏投茁摊梅球街椒三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征例例3.22解：解：边际概率密度为仑牢悍券箔郎艺掷给致横抑陆拽赴僵玩糖顽摇坟否只击还是赛祖甜柄挂挣三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征u 随机变量间协方差与相关系数的性质 性质性质5，6说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。峡谁以忍铲粪蘑缺哀销镍麻硒梭迢无苫草钱插食洁辖恒桂毡威框痒亏益童三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征证明证明: u 随机变量间线性无关的概念 Def费倍贮求唉痪请咨数沈自赞映线萎吟敛煤唬魏亥粪栓沪征后丑顿敲借辐瘩三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征1/31/31/310-1解：解：01/311/30001/3-110这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。这个题说明相关系数反映了随机变量之间线性相关性的强弱。例例3.23纺移汇遁姑腮栏猪枣田誉兄磅琐塔忱站镁阁畏乌涉憾仿酪咽富殖萍科惫址三章随机变量向量的数字特征三章随机变量向量的数字特征