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1、测量程序设计测量程序设计条件平差和间接平差条件平差和间接平差2021/6/161一、条件平差基本原理一、条件平差基本原理函数模型函数模型随机模型随机模型平差准则平差准则 条件平差就是在满足条件平差就是在满足r个条件方程式条件下，求个条件方程式条件下，求使函数使函数最小的值，满足此条件极值问题用最小的值，满足此条件极值问题用拉格朗日乘法可以求出满足条件的拉格朗日乘法可以求出满足条件的V值。值。2021/6/1621、平差值条件方程：、平差值条件方程：条件方程系数条件方程系数常数项常数项2021/6/1632、条件方程：、条件方程： 代入平差值条件方程中，得到代入平差值条件方程中，得到将将为条件方
2、程闭合差为条件方程闭合差闭合差等于观测值减去其应有值。闭合差等于观测值减去其应有值。2021/6/1643、改正数方程：、改正数方程：按求函数条件极值的方法引入常数按求函数条件极值的方法引入常数称为联系系数向量，组成新的函数：称为联系系数向量，组成新的函数：将将对对V求一阶导数并令其为零求一阶导数并令其为零则：则：2021/6/1654、法方程：、法方程： 将条件方程将条件方程 AV+W=0代入到改正数方程代入到改正数方程V=QATK 中，则得到：中，则得到：记作：记作：Naa为满秩方阵，为满秩方阵， 由于由于2021/6/166按条件平差求平差值计算步骤按条件平差求平差值计算步骤1、列出、列
3、出r=n-t个条件方程个条件方程2、组成法方程、组成法方程3、求解联系系数向量、求解联系系数向量4、将、将 K值代入改正数方程值代入改正数方程V=P-1ATK=QATk中，求中，求出出V值，并求出平差值值，并求出平差值L=L+V 。5、检核。、检核。2021/6/167例例 误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础P74P74设对下图中的三个内角作同精度观测，得观测值：设对下图中的三个内角作同精度观测，得观测值：L L1 1=42=42o o12122020，L L2 2=78=78o o09090909，L L3 3=59=59o o38384040，试按条件平差求三个内角得平差，试按条
4、件平差求三个内角得平差值。值。2021/6/168clcclcDisp(Disp(条件平差示例条件平差示例) )Disp(Disp(三角形内角观测值三角形内角观测值) ) L1 = 42 12 20L1 = 42 12 20L2 = 78 9 9L2 = 78 9 9L3 = 59 38 40L3 = 59 38 40L = L1; L2; L3L = L1; L2; L3Disp(Disp(将角度单位由度分秒转换为弧度将角度单位由度分秒转换为弧度) )LL = dms2rad(mat2dms(L)LL = dms2rad(mat2dms(L)2021/6/169A = 1 1 1A = 1
5、1 1w = sum(LL(:) - piw = sum(LL(:) - piw = dms2mat(rad2dms(w)w = dms2mat(rad2dms(w)P = eye(3);P = eye(3);Naa = A*inv(P)*ANaa = A*inv(P)*AKa = -inv(Naa)*w Ka = -inv(Naa)*w V = A*KaV = A*KaL1 = L + VL1 = L + VLL = LL = dms2rad(mat2dms(L1)dms2rad(mat2dms(L1)sumLL = sum(LL)sumLL = sum(LL)if(sum(LL) = pi
6、)if(sum(LL) = pi) disp( disp(检核正确检核正确) )elseelse disp( disp(检核错误检核错误) )endend2021/6/1610例例 误差理论与测量平差基础误差理论与测量平差基础P75P75在下图中，、为已知水准点，其高程为在下图中，、为已知水准点，其高程为HA=12.013m, HB = 10.013m, HA=12.013m, HB = 10.013m, 可视为无误差。为了确可视为无误差。为了确定点及点的高程，共观测了四个高差，高差观测定点及点的高程，共观测了四个高差，高差观测值及相应的水准路线的距离为：值及相应的水准路线的距离为：h1 =
7、-1.004m, S1 = 2km;h1 = -1.004m, S1 = 2km;h2 = 1.516m, S2 = 1km;h2 = 1.516m, S2 = 1km;h3 = 2.512m, S3 = 2km;h3 = 2.512m, S3 = 2km;h4 = 1.520m, S4 = 1.5kmh4 = 1.520m, S4 = 1.5km试求和点高程的平差值。试求和点高程的平差值。2021/6/1611clcclcclearclearh1 = -1.004;h1 = -1.004;h2 = 1.516;h2 = 1.516;h3 = 2.512;h3 = 2.512;h4 = 1.5
8、20;h4 = 1.520;HA = 12.013HA = 12.013HB = 10.013HB = 10.013h = h1 h2 h3 h4h = h1 h2 h3 h4s1 = 2; s1 = 2; s2 = 1;s2 = 1;s3 = 2;s3 = 2;s4 = 1.5;s4 = 1.5;s = s1 s2 s3 s4s = s1 s2 s3 s4A = 1 1 -1 0; 0 1 0 A = 1 1 -1 0; 0 1 0 -1-1w1 = h1 + h2 - h3 + w1 = h1 + h2 - h3 + HA - HB;HA - HB;w2 = h2 - h4;w2 = h2
9、 - h4;w = w1; w2w = w1; w2P = diag(1./s)P = diag(1./s)Naa = A*inv(P)*ANaa = A*inv(P)*AKa = -inv(Naa)*wKa = -inv(Naa)*wV = inv(P)*A*KaV = inv(P)*A*KaH = h + V;H = h + V;2021/6/1612 if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB=0 & H(2,1)-if H(1,1)+H(2,1)-H(3,1)+HA-HB=0 & H(2,1)-H(4,1)=0H(4,1)=0 disp( disp(检核正确检核正确)e
10、lseelse disp( disp(检核错误检核错误)endenddisp(disp(平差后的高程值平差后的高程值)HC = HA + H(1,1)HC = HA + H(1,1)HD = HA + H(1,1) + H(4,1)HD = HA + H(1,1) + H(4,1)2021/6/1613二、间接平差的基本原理二、间接平差的基本原理在一个控制网中，设有在一个控制网中，设有t t个独立参数，将每一个观测值都表达个独立参数，将每一个观测值都表达成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估成所选参数的函数，以此为基础进行平差，最终求得参数的估计值。计值。选择参数应做到足数（参
11、数的个数等于必要观测数）和独选择参数应做到足数（参数的个数等于必要观测数）和独立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为立（参数间不存在函数关系）。利用参数将观测值表示为其中其中L L为观测值，为观测值，为误差，或者表示为为误差，或者表示为其中其中l lL Ld.d.2021/6/1614设误差设误差和参数和参数X X的估计值分别为的估计值分别为V V 和和则有则有为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值为了便于计算，通常给参数估计一个充分接近的近似值则误差方程表示为则误差方程表示为其中常数项为其中常数项为2021/6/1615由最小二乘准则，所求参数的改正数应该满足由最小二乘
12、准则，所求参数的改正数应该满足目标函数对目标函数对x x求一阶导数，并令其为零求一阶导数，并令其为零转置后得到转置后得到把误差方程代入上式后得到把误差方程代入上式后得到2021/6/1616设设则法方程为则法方程为由此求得参数改正数的唯一解为由此求得参数改正数的唯一解为将其代入误差方程，可求得改正数将其代入误差方程，可求得改正数V V，最后得到观测值得平差，最后得到观测值得平差值及参数的平差值分别为值及参数的平差值分别为2021/6/1617精度评定精度评定计算单位权中误差的公式为计算单位权中误差的公式为按误差传播定律得参数的权逆阵为按误差传播定律得参数的权逆阵为参数的中误差为参数的中误差为2
13、021/6/1618设参数的函数为设参数的函数为以以代入，并按泰勒级数展开，取一次项代入，并按泰勒级数展开，取一次项记为记为由此得到参数函数的权逆阵为由此得到参数函数的权逆阵为2021/6/1619中误差为中误差为改正数为改正数为平差值及其协因数阵分别为平差值及其协因数阵分别为2021/6/1620二、水准网间接平差程序设计二、水准网间接平差程序设计例例 教材教材P124P124，A A和和B B是已知高程的水准点，是已知高程的水准点，并设这些点已知高程无误差，并设这些点已知高程无误差，C C、D D、E E是待定点，是待定点，A A、B B高程、高程、观测高差和相应的水准路线观测高差和相应的
14、水准路线长度见下表，试按间接平差长度见下表，试按间接平差求各待定点的高程平差值；求各待定点的高程平差值；2021/6/1621线路编号观测高差（m）线路长度（km）已知高程（m）1234567+1.359+2.009+0.363+1.012+0.657+0.238-0.5951.11.72.32.72.41.42.6HA=5.016HB=6.0162021/6/1622程序代码如下：程序代码如下：disp(-水准网间接平差示例水准网间接平差示例-)disp(已知高程已知高程)Ha = 5.015 % 已知点高程，单位已知点高程，单位mHb = 6.016 % 已知点高程，单位已知点高程，单位m
15、disp(观测高差，单位观测高差，单位m)L = 1.359; 2.009; 0.363; 1.012; 0.657; -0.357 disp(系数矩阵系数矩阵B)B = 1 0; 0 1; 1 0; 0 1; -1 1; -1 0l = 0; 0; 4; 3; 7; 2disp(C是单位权观测高差的线路公里数，是单位权观测高差的线路公里数，S是线路长度是线路长度)C = l*ones(1,6)2021/6/1623S = 1.1, 1.7, 2.3, 2.7, 2.4, 4.0P = C./S % 定义观测值的权，定义观测值的权，P = diag(P) % 定义权阵定义权阵disp(参数的解参数的解)x = inv(B*P*B)*B*P*ldisp(误差误差V(mm), 各待定点的高程平差值各待定点的高程平差值L1（m）)V = B*x - l % 误差方程误差方程(mm)L1 = L + V/1000 % 观测值的平差值，观测值的平差值，disp(精度评定精度评定)n = 6; % 观测值的个数观测值的个数t = 2; % 必要观测数必要观测数delta = sqrt(V*P*V/(n t)2021/6/1624 结束束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
