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1、复习复习 振动与波动振动与波动2021/6/16115-1 简谐振动简谐振动一、简谐振动的特征及其表达式一、简谐振动的特征及其表达式 1、振动方程、振动方程:d xdt22=+2x0km=圆频率圆频率A = x0v0+222=jv0x0arc tg()j=t +cos ()xA2、表达式、表达式:4、振幅、振幅、 初相位初相位:1) 能证明能证明系统是否系统是否为为简谐振简谐振动动及求出及求出圆频率。圆频率。2) 能据条能据条件写出件写出振振动方程。动方程。3、动力学特征、动力学特征:F = kx2021/6/162二、谐振动的振幅、周期、频率和相位二、谐振动的振幅、周期、频率和相位1.振幅、
2、相位和初相振幅、相位和初相Ax+=cos()tjj初相初相 (t =0 )时刻的相位时刻的相位+()tj相位相位( 或周相或周相 )=A振幅振幅(位移最大值的绝对值位移最大值的绝对值)2.周期、频率周期、频率T =2nT=1n=2T角频率角频率周期周期3.振动能量振动能量动能和势能互相转换，总能量动能和势能互相转换，总能量 E=kA2/2。2021/6/163三、旋转矢量、相位差三、旋转矢量、相位差x0AMPx(t)+j M 点在点在x 轴上投影轴上投影点点P 的运动的运动规律：规律： xt)(cos=+Aj 15-5 同方向谐振动的合成同方向谐振动的合成一、同方向同频率振动的合成一、同方向同
3、频率振动的合成1.合振动振幅合振动振幅122=AAAAA+22212cos(1)jjcoscos12=AA+111tgsinsin222AAjjjjj2.合振动初相合振动初相 2021/6/1643.合振动的加强与减弱合振动的加强与减弱12AA合振动加强合振动加强1合振动减弱合振动减弱AA212=AAA12=AAA+(2k+1)12=若若jj= 若若2k12jj、 +( k =012.、 +)、 +( k =012.、 +)122=AAAAA+22212cos (1)jj2021/6/165如图所示，轻质弹簧的一端固定，如图所示，轻质弹簧的一端固定，另一端系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量另一端
4、系一轻绳，轻绳绕过滑轮连接一质量为为m的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下的物体，绳在轮上不打滑，使物体上下自由振动。已知弹簧的劲度系数为自由振动。已知弹簧的劲度系数为k,滑轮半滑轮半径为径为R 转动惯量为转动惯量为J。 (1)证明物体作简谐振动证明物体作简谐振动; (2)求物体的振动周期；求物体的振动周期； (3)设设t = 0时，弹时，弹簧无伸缩，物体也无簧无伸缩，物体也无初速，写出物体的振初速，写出物体的振动表式。动表式。 Mkm返回结束2021/6/166R=0T2RT1Tbk2=T1=Tbk1=解：解：在静平衡时有：在静平衡时有：T2T1gT2mJkmxob静静平平衡衡位位置置gm=0
5、T2=gmbk返回结束2021/6/167取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点在任意位置时有：在任意位置时有：=J2+kmR返回结束Jmxob静静平平衡衡位位置置xmgNMgf整体法整体法:2021/6/168Tbk1()+=xJR=T2RT1取静平衡位置为坐标原点取静平衡位置为坐标原点Jkmxob静静平平衡衡位位置置x在任意位置时有：在任意位置时有：T2T1gT2ma2d x=R2dtJ2+2d x=02dtk xmR=J2+kmR返回结束隔离体法隔离体法:2021/6/169xox2021/6/1610A2 A0xx2021/6/1611一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:x
6、1=0.04cos(2t+/6)mx2=0.03cos(2t-5/6)m试求其合振动的振幅和初相位(式中x以m计, t 以s计) 。2021/6/1612一质点同时参与两个在同一直线上的简谐振动:x1=0.06cos(5t+/2) (SI)x2=0.02sin(-5t ) (SI)它们的合振动的振幅，初相位。2021/6/16132021/6/16142021/6/16152021/6/16162021/6/161712拍频拍频 =11x=A cos 2t22x = A cost2x=xx+1221211二、同方向不同频率振动的合成二、同方向不同频率振动的合成 拍拍*1122=2A cos2(
7、)2costt2+2一种特殊情况一种特殊情况拍现象拍现象一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。一般情况下合成后的振动是一个复杂的运动。2021/6/1618=k = 18(2k+1)(2k+1)sint+2A2Axxt=+2AAxsintk = 182k(2k)2-1cost2Axtk =1kksint2A=x(-1)k+1xt三三. 振动的分解振动的分解*常见振动的傅立叶展开2021/6/161924A=x2Ak =18(2k+1)(2k+1)cost2xt=x2A4Ak =12k(2k)2-1costxtA=x2Aksintkk =1xt2021/6/1620 15-6 相互垂直谐振动的
8、合成相互垂直谐振动的合成* 一、同时参与两个频率相同的分振动：一、同时参与两个频率相同的分振动：二、合成后质点的轨迹方程二、合成后质点的轨迹方程)x1+=Acos (t1jy2+=Acos ()t2jA(xx yy2222+=AAAAcos ()2sin212jj12jj12122021/6/1621李萨如图形李萨如图形1：21：32：32021/6/1622第十六章机械波与电磁波第十六章机械波与电磁波16-1 机械波的产生与传播机械波的产生与传播1. 波源波源 ， 2. 媒质。媒质。横波：横波：质点的振动方向和波的传播方向垂直质点的振动方向和波的传播方向垂直纵波：纵波：质点的振动方向和波的传
9、播方向平行质点的振动方向和波的传播方向平行二、机械波的分类二、机械波的分类一、产生机械波的条件一、产生机械波的条件三、媒质的形变三、媒质的形变*体积变形体积变形拉伸变形拉伸变形剪切变形剪切变形2021/6/1623V=VVVVBp=VV媒质的体积变形媒质的体积变形根据实验，应变与应力成正比，即：根据实验，应变与应力成正比，即：容变模量容变模量 B 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量体变模量体变模量B应变（胁变）应变（胁变）体积增量体积增量应力（胁强）应力（胁强）VppVV pSf=返回结束2021/6/1624媒质的拉伸变形媒质的拉伸变形llffYl=Sfl根据虎克定律，应力与应变成
10、正比，即：根据虎克定律，应力与应变成正比，即：弹性模量弹性模量 Y 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量Sf=应力应力l l应变应变Y杨氏弹性模量杨氏弹性模量返回结束2021/6/1625媒质的剪切变形媒质的剪切变形应力与应变成正比，即：应力与应变成正比，即：弹性模量弹性模量 G 对于给定的媒质是一常量对于给定的媒质是一常量G切变弹性模量切变弹性模量qG=Sf应变应变q切向应力切向应力SfqSff返回结束2021/6/16261.流体流体（气体、液体）（气体、液体）3.固体固体u =Bu=pRT=Mmol2.对于理想气体对于理想气体u =Y纵波纵波u =G横波横波四、波的传播速度四、波
11、的传播速度*比热容比比热容比媒质的密度媒质的密度纵波纵波2021/6/1627=Tuln=ul1=Tnn=ullllnl个个五、周期、频率、波长、波速之间的关系五、周期、频率、波长、波速之间的关系返回结束2021/6/1628 16-2平面简谐波平面简谐波 波动方程波动方程一、平面简谐波的波动表达式：一、平面简谐波的波动表达式：xxuyoB=tcosyxuA)(j+txTA=cos()2lj+ytxA=cos()2lj+nykx=A cost)(j+y=t +cosyxuA)(j+负方向传播负方向传播负、正符号依次对应正向和负向传播的波。负、正符号依次对应正向和负向传播的波。2021/6/16
12、29二、重要关系式：二、重要关系式：2021/6/1630 1.=x1(常数常数)x三、波动表达式的物理意义三、波动表达式的物理意义表示表示 x1 处质点的振动表达式处质点的振动表达式tt=(常数常数)12.表示在表示在 时刻的波形表达式时刻的波形表达式t1四、波动方程：四、波动方程：ux2t=yy22212五、五、基本要求基本要求1.知道波动表达式的物理意义及一般形式。知道波动表达式的物理意义及一般形式。2.能根据已知条件熟练地写出波动表达式。能根据已知条件熟练地写出波动表达式。3. 熟练地掌握波动相位的变化趋势：熟练地掌握波动相位的变化趋势：a. 随着时间增大，质点的相位也随着增大。随着时
13、间增大，质点的相位也随着增大。b. 沿着波传播方向各质点的相位逐点减小。沿着波传播方向各质点的相位逐点减小。2021/6/1631* *已知坐标原点的振动表达式，写波动表达式：已知坐标原点的振动表达式，写波动表达式：（1 1）坐标轴上任选一点，求出该点相对参考点的）坐标轴上任选一点，求出该点相对参考点的振动落后（或超前）振动落后（或超前） 的时间。的时间。（2 2）将参考点的振动表达式中的）将参考点的振动表达式中的“ t ”“ t ”减去（或减去（或加上）加上） 这段时间，即为该波的波动表达式。这段时间，即为该波的波动表达式。（3 3）若有半波损失，则应在位相中再加）若有半波损失，则应在位相中
14、再加 。* *已知波形曲线写波动表达式：已知波形曲线写波动表达式：由波形曲线确定波的特征量：由波形曲线确定波的特征量：A A， ， 则可写波则可写波动表达式动表达式（求（求 0 0要熟练运用旋转矢量这个工具）要熟练运用旋转矢量这个工具） 注意：建立入射波和反射波的波动表达式时，要用注意：建立入射波和反射波的波动表达式时，要用同一坐标系和相同的时间起点。同一坐标系和相同的时间起点。 波动表达式建立的方法波动表达式建立的方法（參量有五个（參量有五个）2021/6/1632vAy2021/6/1633A(x =10,t =1)A(x =20,t =1)y2021/6/1634v2021/6/1635
15、 16-3 波的能量波的能量 波的强度波的强度一、能量密度一、能量密度1.能量密度能量密度:dVw=dWuAsin()2=22tx2.平均能量密度平均能量密度（周期平均）周期平均）w 2A22=1二、波的强度二、波的强度1.能流能流P2.平均能流平均能流P3.波的强度波的强度 I（能流密度）（能流密度）P = S w uwP = SuwI =u1222u=A2021/6/163616-5 电磁波电磁波一、平面电磁波的波动方程一、平面电磁波的波动方程xE22 E22t m=exH22 H22t m=eE 及及H 是以波的形式在空间传播是以波的形式在空间传播u =me1vEH2021/6/1637
16、2. E 与与 H 同步变化同步变化3.电磁波是一横波，电磁波是一横波， 4. 电磁波的偏振性。电磁波的偏振性。（E 及及H 都在各自的平面内振动。）都在各自的平面内振动。）vEHEH= 1.且三者成右旋关系。且三者成右旋关系。E、H、v 两两垂直，两两垂直， vEH二、电磁波的性质二、电磁波的性质2021/6/1638Ewe12=2Hwm12=2电场能量与磁场能量体密度分别为：电场能量与磁场能量体密度分别为：电磁场能量体密度为：电磁场能量体密度为：w =wewm+E122H12=2+三、电磁波的能量三、电磁波的能量四、坡印廷矢量四、坡印廷矢量(辐射强度矢量辐射强度矢量)S = EH+EH平均
17、辐射强度平均辐射强度:2021/6/163916-6 惠更斯原理惠更斯原理都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻都可以看作为发射子波的波源，而后一时刻一、惠更斯原理一、惠更斯原理惠更斯原理：惠更斯原理：波动所到达的媒质中各点，波动所到达的媒质中各点，所有这些子波的包迹便是新的波阵面。所有这些子波的包迹便是新的波阵面。2021/6/164016-7 波的叠加原理波的叠加原理一、波的叠加原理一、波的叠加原理 在几列波相遇的区域中，质点的振动是各列波在几列波相遇的区域中，质点的振动是各列波单独传播单独传播 时在该点引起的振动的合成。时在该点引起的振动的合成。二、波的干涉二、波的干涉 1.相干波源：若
18、有两个波源，它们的振动相干波源：若有两个波源，它们的振动方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两个方向相同、频率相同、周相差恒定，称这两个波源为相干波源。波源为相干波源。rr=22211()jjl2.相位差相位差2021/6/1641=12若：若：则有：则有：jj)21=rr(2l波程差波程差1rr2=kl波程差波程差r1()r22k2=+1l干涉加强干涉加强AAA=+21干涉减弱干涉减弱AAA=21+2k(1)=)21=rr(2l若若2k=)21=rr(2l若若2021/6/1642 一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，一对振幅相同的相干波，在同一条直线上，三、驻波三、驻波(设初相均为零设初
19、相均为零)沿相反方向传播时，叠加而成的波。沿相反方向传播时，叠加而成的波。2.波腹位置：波腹位置：3.波节位置：波节位置：相邻两波节（或波腹）的距离相邻两波节（或波腹）的距离1.振幅：振幅：AAxcos=22l2kx=4lxxk+1k=2l2k+1()x=22l2x=2k2l2k+1=)(x4l2021/6/1643入射波到达两种媒质分界面时发生入射波到达两种媒质分界面时发生相位突变称为半波损失相位突变称为半波损失 四、半波损失四、半波损失uu221116-8 多普勒效应多普勒效应一、波源不动一、波源不动, ,观察者相对于媒质运动观察者相对于媒质运动rnsn()uu=vr二、观察者不动二、观察者不动,波源相对于媒质运动波源相对于媒质运动usn=vsu()rn+rnsn()u=vruvs三、观察者与波源同时相对于媒质运动三、观察者与波源同时相对于媒质运动2021/6/1644xx1x2xP= x1 +x2=4.5-x2021/6/1645最大最大最大最大ox2021/6/1646xAxBxA30xB2021/6/16472021/6/1648x30x 0A B首选方法首选方法!2021/6/1649x首选方法首选方法!2021/6/1650xPQR2021/6/16512021/6/1652 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
