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1、专升本高等数学课件知识专升本高等数学课件知识归纳大全归纳大全第一章函数第一章函数,极限极限,连续连续一一.函数函数(一一)函数概念函数概念 1.函数定义函数定义 2.函数关系两要素函数关系两要素: (1)对应关系对应关系f; (2)定义域定义域D(f)例例求（08）下列函数中，定义域为下列函数中，定义域为的函数是（的函数是（ ） （B） （C） （D）（A）（模（模C）(二二)函数特性函数特性1.单调性单调性2.奇偶性奇偶性3.周期性周期性 4.有界性有界性例例 偶函数偶函数奇函数奇函数周期函数周期函数（10）（08） 是（是（ D ）（A） （B） （C）单调增函数）单调增函数（D）奇函数奇
2、函数偶函数偶函数非单调函数非单调函数（07） 均为奇函数，均为奇函数， 则下列为偶函数的是则下列为偶函数的是 （ ）（A） （B）（C）（D）（07）eg(三三)反函数反函数1.反函数定义反函数定义. 特点特点2.2.举例举例（05）(四）复合函数四）复合函数1.定义定义2.分解标准分解标准-分解到每一步都是基本初等函分解到每一步都是基本初等函 数的和数的和,差差,积积,商为止商为止.3.复合函数定义域求法复合函数定义域求法 注意：并非任何两个函数都可以复合注意：并非任何两个函数都可以复合（03）（07）（08） (五五)基本初等函数基本初等函数 常用的有六类常用的有六类14个个 (六）初等函
3、数由基本初等函数（）经六）初等函数由基本初等函数（）经过过有限次的和有限次的和,差差,积积,商运算商运算，（），（）有限次有限次的复合运算的复合运算，（）且，（）且可用一个公式表示可用一个公式表示的的函数函数.非初等函数举例初等函数举例:二二.极限极限(一一)极限定义极限定义(二二)性质性质1.单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.2.夹逼定理夹逼定理3.4.四则运算四则运算(有极限有极限;有限个有限个) )(三三)求极限求极限1.两个重要极限两个重要极限(06) (03)(03) (09)(10)2.其他其他举例举例 3.罗必塔法则罗必塔法则三三.无穷小无穷小.无穷大无穷大1.定义定义
4、2.性质性质 例题(性质性质) 3.无穷小阶的比较无穷小阶的比较(教材教材P27)设例题(阶比较阶比较) (05) （07）当当时，下列函数中能成为时，下列函数中能成为的等价无穷小的是（的等价无穷小的是（ D ） （B） （C） （D）（A）（09）当当 时，下列四组函数中为等价时，下列四组函数中为等价无穷小的是无穷小的是 （ B ） （A） （B）（C）（D）4.等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理(教材教材P27）定理定理结论结论例题例题(等价无穷小代换等价无穷小代换) 四四.连续与间断连续与间断(一一)连续连续1.2.连续三要素连续三要素 3.左右连续左右连续(二)间断点分类间断点分类第
5、一类（第一类（ 都存在的间断点）都存在的间断点）(1)可去间断点可去间断点(2)可去间断点可去间断点(3)跳跃间断点跳跃间断点 第二类（第二类（ 至少一个不存在的间断点）至少一个不存在的间断点） (4)无穷间断点无穷间断点(5)振荡间断点振荡间断点（07）（模（模A） eg(三三)闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质定理定理1定理定理2定理定理3(介值定理）介值定理） （教材（教材P3132)定理定理4（根值定理）（根值定理）（模（模B）eg（模（模C）第二章导数与微分第二章导数与微分一一.导数的概念导数的概念1.定义定义2.几何意义几何意义3.左右导数左右导数4.可导与连续的关系可导
6、与连续的关系（10）二二.求导数归纳求导数归纳2.四则运算四则运算3.反函数求导反函数求导例例 1.基本导数公式基本导数公式 （04）(06)4.复合函数求导复合函数求导 (10)(10)计算题计算题5.隐函数求导隐函数求导 显函数显函数- 隐函数隐函数- （0909）对数求导法对数求导法(1) 例 6.参数方程求导参数方程求导(1)(2)(3)(4)(6)（09）(5)（08）7.高阶导数高阶导数例例例例(高阶导数高阶导数)8.分断函数求导分断函数求导 例题例题(分断函数求导分断函数求导) 讨论 在 的连续性； 讨论 在 的可导性； 求 9.从定义求导从定义求导定义定义例题例题(从定义求导从
7、定义求导)(05)(10) 则 2（模（模B）三三.微分微分(一一)概念概念1.定义定义2.几何意义几何意义3.微分两个特性微分两个特性4.微分形式的不变性微分形式的不变性(二二)计算计算1.公式公式2.四则运算四则运算第三章第三章 中值定理中值定理.导数应用导数应用一一.中值定理中值定理(一一) Rolle Th 若若则至少则至少使使注意注意:(1)条件是充分条件条件是充分条件; (2)条件不成立条件不成立,结论未必成立结论未必成立.例例不求 的导数, 验证 必有根 验证对的正确性Rolle Th 不求 的导数, 说明 有几个实根,并指出 根所在区间.(10)(二)Lagrange Th若若
8、则至少则至少使使推论推论:若在若在 则在则在例题例题(Lagrange Th)证明证明:例题例题(Lagrange Th) 验证验证 在在 对对 Lagrange Th 的正确性的正确性; 验证验证 在在 对对Lagrange Th 的正确性的正确性;证明证明:对对 ,恒有恒有 证明证明:当当 恒有恒有(三)Cauchy Th若若则至少则至少使使二二.罗必塔法则罗必塔法则定理定理:若若 则则罗必塔法则几种形式罗必塔法则几种形式例题例题(罗必塔法则罗必塔法则)注意注意(1)只有 ,才可考虑用 Th(2)每次用 Th后,必须化简(3) 不能断定 不存在, . 只能说明Th失效（4）还原例子例题例题
9、(罗必塔法则罗必塔法则)（03） 三三.单调性单调性.极值极值.凹凸凹凸.拐点拐点.作图作图(一)单调性单调性Def1Th1例题例题(单调性单调性)(10)讨论单调性讨论单调性,极值步骤极值步骤1.求求2.求驻点与不可导点求驻点与不可导点3.由两种点分由两种点分D(f)为若干区间为若干区间, 由由 Th判别单调性判别单调性,极值极值.例题例题(单调性证明不等式单调性证明不等式)(二二)极值极值Def2. 定义在定义在 在例题例题(极值极值)求极值求极值求极值求极值 求极值求极值极值判别法极值判别法 在 可导可导 在在 连续连续.Th2极值判别法极值判别法Th3极值存在的必要条件极值存在的必要条
10、件Th4极值点可从极值点可从驻点驻点与与不可导点不可导点找找1.可导函数的极值点可导函数的极值点 驻点驻点2.不可导点也可能取得极值不可导点也可能取得极值举例举例驻点取得极值驻点取得极值驻点不取得极值驻点不取得极值不可导点不取得极值不可导点不取得极值不可导点取得极值不可导点取得极值(三三)最大值最大值.最小值最小值1.一般情况一般情况2. 只有一个只有一个极大极大(小小)值值 而无极小而无极小(大大)值值 则则例题例题(最大值最大值.最小值最小值)例题例题(最大值最大值.最小值最小值)无盖圆柱形水池无盖圆柱形水池,体积定值体积定值V,底造价是侧面造价的底造价是侧面造价的2倍倍. 问问:半径半径
11、r=? 高度高度h=? 用费最省用费最省?(四四)凹凸凹凸.拐点拐点1.凹凸定义凹凸定义2.凹凸判别凹凸判别3.拐点判别拐点判别4.两种特殊情况两种特殊情况讨论曲线凹凸与拐点步骤讨论曲线凹凸与拐点步骤1.求求2.求使求使 与与 不存在不存在的点的点3.由两种点分由两种点分D(f)为若干区间为若干区间, 由由 Th判别判别曲线凹凸与拐点曲线凹凸与拐点.（10） egeg(五五)渐近线渐近线.作图作图1.水平渐近线渐近线2.垂直渐近线垂直渐近线3.作图步骤作图步骤 (1)求求D(f),Z(f)(2)奇偶性、周期性奇偶性、周期性(3)单调性、极值单调性、极值(4)凹凸性、拐点凹凸性、拐点 例例3.作
12、图步骤作图步骤 (5)渐近线渐近线(6)特殊点特殊点(7)描图描图 第四章第四章 不定积分不定积分4.1概念概念.性质性质4.2换元积分法换元积分法4.3分部积分法分部积分法4.4几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分4.1概念概念.性质性质一.原函数原函数 Def1 若若说明说明:1.2.则称则称二二.不定积分不定积分不定积分的几何意义不定积分的几何意义Def2三三.基本积分公式基本积分公式P88四四.不定积分的性质不定积分的性质1.2.3.4.例题例题4.2换元积分法换元积分法换元积分法换元积分法特点特点Th(一一)凑微分举例凑微分举例1.形如形如凑微分举例凑微分举例2.凑微分举例凑
13、微分举例3.凑微分举例凑微分举例4.凑微分举例凑微分举例5.凑微分举例凑微分举例6.(二二)特殊三角函数积分举例特殊三角函数积分举例换元积分法换元积分法Th 特点特点类型类型1.三角置换三角置换类型类型2.含含类型类型3.类型类型3(续续)4.3分部积分法分部积分法设设类型类型一一.二二.三三.(分部分部2次次,要移项要移项)例题例题(分部积分法分部积分法)例题例题(分部积分法分部积分法)4.4几种特殊类型函数的积分几种特殊类型函数的积分一一.有理函数积分有理函数积分1.有理真分式的分解有理真分式的分解2.待定系数待定系数(1)比较法；（比较法；（2）代入法）代入法例例3,有理真分式的积分有理
14、真分式的积分例例二二.三角函数有理式的积分三角函数有理式的积分1.万能置换万能置换则则例题例题(万能置换万能置换)2.凑微分凑微分三三.简单无理函数的积分简单无理函数的积分第五章第五章 定积分定积分5.1定积分的概念定积分的概念5.2定积分的性质定积分的性质5.3微积分的基本公式微积分的基本公式5.4定积分定积分的的换元积分法换元积分法5.5定积分定积分的的分部积分法分部积分法5.6广义积分广义积分5.1定积分的概念定积分的概念一一.引例引例 1.曲边梯形面积曲边梯形面积2.变速直线运动的路程变速直线运动的路程二二.定积分的定积分的Def注注(1)2个有关个有关; (2) 3个无关个无关; (
15、3)注注(4)充分条件充分条件三三.几何意义几何意义5.2定积分的性质定积分的性质5.2定积分的性质定积分的性质例题例题(概念概念.性质性质)1.比较大小比较大小. 2.估值估值.5.3微积分的基本公式微积分的基本公式一一.变上限积分变上限积分二二.牛顿牛顿-莱布尼兹公式莱布尼兹公式5.4定积分定积分的的换元积分法换元积分法注意：注意：1换元法实质：换元法实质： 换元同时换限换元同时换限2遇到被积函数含有偶次根式，遇到被积函数含有偶次根式， 注意注意取算术根取算术根结论结论5.5定积分的分部积分法定积分的分部积分法5.6广义积分广义积分一一.积分区间为无穷的广义积分积分区间为无穷的广义积分二二
16、.被积函数含无穷间断点的广义积分被积函数含无穷间断点的广义积分第五章第五章 定积分定积分5.7定积分的元素法定积分的元素法5.8平面图形的面积平面图形的面积5.9体积体积5.10平面曲线的弧长平面曲线的弧长5.11定积分定积分的的物理应用物理应用定积分的几何应用定积分的几何应用 5.7 5.8 5.9 5.10(一一)一个量一个量Q可用定积分计算的条件可用定积分计算的条件(1)Q是是a,b上的定量上的定量(2)Q对对a,b具有可加性具有可加性 (3)x,x+dx上部分量上部分量 可近似表为可近似表为简记为简记为(二二)元素法步骤元素法步骤(1)建立坐标系,确定积分变量 (2)求 上部分量 的近
17、似值(3)定限积分求总量定积分的几何应用定积分的几何应用一一.平面图形的面积平面图形的面积二二.体积体积三三.平面曲线的弧长平面曲线的弧长(模模A)29.求由曲线求由曲线 与直线与直线 所围成的平面图形的面积；且求上述平所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕面图形绕 轴旋转一周所得旋转体的体轴旋转一周所得旋转体的体积。积。(eg).求由曲线求由曲线 与它的过原点的一条与它的过原点的一条切线及切线及 轴所围成的平面图形的面积；轴所围成的平面图形的面积；且求上述平面图形绕且求上述平面图形绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得旋转体的体积。旋转体的体积。(03).(1)求曲线求曲线 在点在点 的切线方
18、程；的切线方程；（2）由曲线、切线及）由曲线、切线及 轴所围成的平面图形轴所围成的平面图形 的面积；的面积；（3）求上述平面图形绕）求上述平面图形绕 轴旋转一周所得轴旋转一周所得 旋转体的体积。旋转体的体积。(eg).求正劈锥的体积。求正劈锥的体积。定积分的物理应用定积分的物理应用 5.11一一.变力作功变力作功二二.液体静压力液体静压力第七章第七章.向量代数与空间解几向量代数与空间解几7.1 空间直角坐标系空间直角坐标系.一一.空间直角坐标系空间直角坐标系.1.Def 八个挂限八个挂限,点的坐标符号点的坐标符号 1(+,+,+) 2(-,+,+) 3(-,-,+) 4(+,-,+) 5(+,
19、+,-) 6(-,+,-) 7(-,-,-) 8(+,-,-)2.空间中点的坐标空间中点的坐标二二.空间两点间的距离空间两点间的距离设点设点则则7.2向量代数向量代数一一.向量概念向量概念与与 同方向的单位向量同方向的单位向量二二.向量加法向量加法平行四边形法则平行四边形法则三角形法则三角形法则三三.数乘向量数乘向量7.2向量代数向量代数四四.向量在坐标轴上的投影向量在坐标轴上的投影1.两向量夹角两向量夹角2.向量在轴上的投影向量在轴上的投影7.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解.向量坐标向量坐标.向量的模向量的模.方向余弦方向余弦 点点 向径向径 坐标表达式坐标表达式 分量表达式分量表达
20、式7.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解.向量坐标向量坐标.向量的模向量的模.方向余弦方向余弦 点点 向量向量 坐标表达式坐标表达式 分量表达式分量表达式向量的模向量的模7.2向量代数向量代数五.向量分解向量分解.向量坐标向量坐标.向量的模向量的模.方向余弦方向余弦向量的方向余弦向量的方向余弦7.2向量代数向量代数六六.两两向量的数量积向量的数量积1.Def 性质性质7.2向量代数向量代数六六.两两向量的数量积向量的数量积2.公式公式7.2向量代数向量代数六六.两两向量的数量积向量的数量积3.两两向量的夹角向量的夹角例题例题(数量积数量积)(1)例题例题(数量积数量积)(2)(05) 单位
21、向量单位向量 满足满足 则则(3)(04)7.2向量代数向量代数六六.两两向量的向量积向量的向量积1. Def 性质性质六六.两两向量的向量积向量的向量积 性质性质 (3) 基本单位向量性质基本单位向量性质 (4)7.2向量代数向量代数六六.两两向量的向量积向量的向量积2.公式公式7.2向量代数向量代数六六.两两向量的向量积向量的向量积3.结论结论例题例题(向量积向量积)(1)求与求与 垂直的单位向量垂直的单位向量(2)例题例题(向量积向量积)(3) (07) 满足满足 则则(答案答案.6)7.3曲面与方程曲面与方程一.曲面与方程曲面与方程1.Def 若若(1)纯粹性纯粹性 (2)完备性完备性
22、 则称则称 为曲面为曲面 S 的方程的方程, 曲面曲面 S 是方程是方程 的图形的图形.7.3曲面与方程曲面与方程2.建立轨迹方程步骤建立轨迹方程步骤(1)设设M(x,y,z)为轨迹上的任一点为轨迹上的任一点,依依轨迹条件建立等式轨迹条件建立等式(2)以以M点坐标代入等式得方程点坐标代入等式得方程(3)化简方程化简方程(4)证明证明(略略)7.3曲面与方程曲面与方程3.曲面研究两个问题曲面研究两个问题(1)已知曲面作为点的几何轨迹，已知曲面作为点的几何轨迹， 求其方程求其方程 ；(2)已知曲面方程已知曲面方程 ， 研究曲面性质。研究曲面性质。7.3曲面与方程曲面与方程二二.柱面柱面Def 动直
23、线动直线 平行平行 轴轴 动直线动直线 沿沿定曲线定曲线 平行移动平行移动 (母线母线) (准线准线)说明说明:三元方程三元方程 少一个字母少一个字母,则表示柱面则表示柱面柱面柱面 准线准线 母线母线 母线母线/Z 轴轴 母线母线/X轴轴 母线母线/Y轴轴柱面柱面(例题例题)(1)圆柱面柱面(2)抛物柱面柱面(3)椭圆柱面柱面(4)双曲柱面柱面7.3曲面与方程曲面与方程三三.旋转曲面旋转曲面旋转曲面旋转曲面(例题例题)(1)(2)7.4平面与方程平面与方程一一.点法式点法式7.4平面与方程平面与方程二二.一般式一般式讨论讨论7.4平面与方程平面与方程三三.截距式截距式四四.两平面夹角两平面夹角
24、7.4平面与方程平面与方程五五.点到平面的距离点到平面的距离平面与方程平面与方程(例题例题)(1)说明平面特点说明平面特点(2)(3)(4)平面与方程平面与方程(例题例题)(5)求两平面求两平面夹角夹角(6)求求P到到 距离距离平面与方程平面与方程(例题例题)(7)求过 的平面 (8)过三点过三点求求7.5 空间曲线空间曲线一般方程一般方程注注:空间曲线方程不唯一空间曲线方程不唯一7.5 空间曲线空间曲线例题例题(1)(2)(3)与与7.6空间直线空间直线一一.一般式方程一般式方程7.6空间直线空间直线二二.点向式点向式(对称式对称式)7.6空间直线空间直线三三.参数式参数式7.6空间直线空间
25、直线四四.两直线夹角两直线夹角7.6空间直线空间直线两直线的关系两直线的关系7.6空间直线空间直线五五.直线与平面的夹角直线与平面的夹角7.6空间直线空间直线五五.直线与平面的夹角直线与平面的夹角7.6空间直线空间直线直线与平面的关系直线与平面的关系例题例题(空间直线空间直线)(1)求过求过 且过点且过点 的平面方程的平面方程(2)求过求过 的直线的直线(3)求过点求过点 且垂直且垂直 所在平面的直线方程所在平面的直线方程例题例题(空间直线空间直线)(4)直线 化为点向式(5)求两直线夹角例题例题(空间直线空间直线)(6)求过点 与 都平行的直线7.7二次曲面二次曲面一一.椭球面椭球面截痕法截
26、痕法7.7二次曲面二次曲面二二.双曲面双曲面1.单叶双曲面单叶双曲面2.双叶双曲面双叶双曲面7.7二次曲面二次曲面三三.抛物面抛物面1.椭圆抛物面椭圆抛物面2.双曲抛物面双曲抛物面例题例题(二次曲面二次曲面)(1)指出图形名称指出图形名称例题例题(二次曲面二次曲面)(2)指出截痕表示什么曲线指出截痕表示什么曲线第六章第六章.微分方程微分方程6.1微分方程的概念微分方程的概念引例引例:曲线上任一点曲线上任一点 的切线斜率为的切线斜率为 且曲线过点且曲线过点 ,求曲线方程求曲线方程.基本概念基本概念: 常微分方程常微分方程 偏微分方程偏微分方程 微分方程的通解微分方程的通解 微分方程的特解微分方程
27、的特解 微分方程的初始条件微分方程的初始条件 微分方程的阶微分方程的阶 6.1微分方程的概念微分方程的概念举例举例例题例题(微分方程的概念微分方程的概念)(1)验证函数是否为微分方程的解验证函数是否为微分方程的解,若是若是,则指出则指出是通解或特解是通解或特解.例题例题(微分方程的概念微分方程的概念)(2)物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比差成正比,试以微分方程描述这物理现象试以微分方程描述这物理现象.(设设空气温度为空气温度为 )线性线性微分方程的含义微分方程的含义6.2可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程形式形式方法方法-分离变量法分离
28、变量法例题例题(分离变量法分离变量法)6.3齐次微分方程齐次微分方程形式形式方法方法(1)例题例题(齐次微分方程齐次微分方程)(1)(2)6.4一阶线性微分方程一阶线性微分方程一. 方法方法-分离变量法分离变量法 通解通解6.4一阶线性微分方程一阶线性微分方程二. 方法方法-常数变易法常数变易法 通解通解例题例题(一阶线性微分方程一阶线性微分方程)(1)(2)(3)例题例题(一阶线性微分方程一阶线性微分方程)(4)(5)(6) (7)（07）下列方程为下列方程为一阶一阶线性线性非齐次非齐次微分方程的是微分方程的是 （ ）6.5特殊高阶微分方程特殊高阶微分方程一.例例方法方法-降阶法降阶法6.5
29、特殊高阶微分方程特殊高阶微分方程二.6.5特殊高阶微分方程特殊高阶微分方程三.例题例题(特殊高阶微分方程特殊高阶微分方程)(1)(2)(3)(4)6.6二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程形式形式方法方法-特征根法特征根法6.6二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程Th1Th26.6二阶线性常系数齐次微分方程二阶线性常系数齐次微分方程特征方程特征方程微分方程通解微分方程通解例题例题( )6.7二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程形式形式Th 6.7二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程特解形式特解形式一一.6.7二阶线性常系数
30、非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程特解形式特解形式二.6.7二阶线性常系数非齐次微分方程二阶线性常系数非齐次微分方程特解形式特解形式三三.例题例题( )例题例题( )例题例题( ) 总归纳总归纳 补缺漏补缺漏总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(1)(2)(3)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(4)(5)(03)(6)曲线曲线y=f(x) 在在 (a,b)单调减单调减,且凹且凹.则则总归纳总归纳.补缺漏补缺漏 (7)(8)（研）（研）(9)断点个数为断点个数为下面下面,在在x=2 连续而不可导的函数是连续而不可导的函数是总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(10)(11)(12) (13) 在在 处的导数存在的
31、处的导数存在的 最高阶数是最高阶数是B A.0; B.1; C.2; D.3(14)(15)定定总归纳总归纳.补缺漏补缺漏总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(16) 极值点是极值点是 拐点是拐点是(17)(18)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(19)(20)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(21) 在在 取得极大值取得极大值,则必有则必有(22)(24)(23)(25)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(26)(27)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(29)(28)(30)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(31)(32)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(34)(33)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(35)(36)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(37)(38)(39)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(40)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏(41)总归纳总归纳.补缺漏补缺漏
