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1、返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、归结原则 在这一节中,我们仍以 代3 函数极限存在的条件三、柯西收敛准则二、单调有界定理他类型的极限,也有类似的结论.表, 介绍函数极限存在的条件. 对于其返回返回返回返回返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页一、归结原则的充要条件是的充要条件是: 对于在对于在以以 x0 为极限的为极限的都存在都存在, 并且相等并且相等.证证 (必要性必要性) 设设则对任给则对任给定理定理 3.8存在存在那么对上述那么对上述 存在存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页所以所以这就证明了这就证明了(充分性充分性)（下面的证法很有典型性，
2、大家必须（下面的证法很有典型性，大家必须学学恒有恒有时时, 不以不以 A 为极限为极限, 则存在正数则存在正数设任给设任给会这种方法会这种方法. .）返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页现分别取现分别取存在相应的存在相应的使得使得对于任意正数对于任意正数使得使得返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 另一方面另一方面,所以所以这与这与矛盾矛盾.注注 归结原则有一个重要应用：归结原则有一个重要应用：若存在若存在但是但是不存在不存在.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例例1都不存在都不存在.解解故故不存在不存在.故故不存在不存在.返回返回返回返回后页后页后页后页
3、前页前页前页前页密集的等幅振荡密集的等幅振荡, 当然不会趋于一个固定的值当然不会趋于一个固定的值. 为为了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原了让读者更好地掌握其他五类极限的归结原则则, ,我我们写出们写出 时的归结原则如下：时的归结原则如下：-1-0.50.511-1的图象在的图象在 x = 0 附近作无比附近作无比从几何上看，从几何上看，返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页义义, 则则定理定理 3.9的某空心右邻域的某空心右邻域有定有定作为一个例题作为一个例题, 下面给出定理下面给出定理 3.9 的另一种形式的另一种形式.义义.的充要条件是任给严格递减的充要条件是任给严格递减的
4、的例例 2的某空心右邻域的某空心右邻域上有定上有定返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证必要性应该是显然的必要性应该是显然的. 下面我们证明充分性下面我们证明充分性.f(x) 不以不以 A 为极限为极限. 则存在正数则存在正数返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这样就得到一列严格递减的数列这样就得到一列严格递减的数列这与条件矛盾这与条件矛盾.返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页二、单调有界定理定理定理 3.10 设设 f 为定义在为定义在上的单调有界函数上的单调有界函数, 则右极限则右极限（相信读者也能够写出关于（相信读者也能够写出关于证证不妨设不妨设 f
5、 在在因为因为 f (x) 有界有界, 故故的单调有界定理的单调有界定理 .）存在存在, 设为设为A .由确界定义由确界定义, 对于对于返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页由由 f (x) 的递减性的递减性,这就证明了这就证明了对于单调函数对于单调函数, 归结原则的条件就要简单得多归结原则的条件就要简单得多.例例3存在的充要条件是存在一个数列存在的充要条件是存在一个数列返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页证证 必要性可直接由归结原则得出必要性可直接由归结原则得出, 下面证明充下面证明充分分对于任意对于任意当当 时时, 有有假设假设递减递减性性. . 返回返回返回返回后页
6、后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页三、柯西收敛准则 的柯西收敛准则的柯西收敛准则, 请读者自请读者自这里这里 仅给出仅给出有定义有定义, 则极限则极限存在的充要条件是存在的充要条件是: 任任定理定理3.11 设设 f (x) 在在的某个邻域的某个邻域上上明之明之. .行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证行写出其他五种极限类型的柯西收敛准则，并证返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页对一切对一切 x X，证（必要性）证（必要性）则对于任意则对于任意( (充分性充分性) )返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页这样就证明了对于任意的这样就证明了对于任意的存在且相等存在且相等. .由归结原则由归结原则, ,存在存在. .但是但是注注 由柯西准则可知由柯西准则可知, 不存在的充要条件不存在的充要条件返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页例如例如,存在存在返回返回返回返回后页后页后页后页前页前页前页前页 结束语结束语若有不当之处，请指正，谢谢！若有不当之处，请指正，谢谢！
