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1、课件制作：刘开宇课件制作：刘开宇 彭亚新彭亚新二、二、 作业讲析作业讲析三、三、 典型例题讲解典型例题讲解四、四、 练习题练习题一、一、 内容总结内容总结 求和展开(在收敛域内进行)基本问题基本问题：判别敛散；求收敛域；求和函数；级数展开.为傅立叶级数.为傅氏系数) 时,时为数项级数;时为幂级数;一、内容总结一、内容总结2、求幂级数收敛域的方法、求幂级数收敛域的方法 标准形式幂级数: 先求收敛半径 R , 再讨论 非标准形式幂级数通过换元转化为标准形式直接用比值法或根值法处的敛散性 . 求部分和式极限3、幂级数和函数的求法 求和 映射变换法 逐项求导或求积分对和式积分或求导难直接求和: 直接变
2、换,间接求和: 转化成幂级数求和, 再代值求部分和等 初等变换法: 分解、套用公式（在收敛区间内） 数项级数 求和4、函数的幂级数和傅里叶级数展开法 直接展开法 间接展开法 利用已知展式的函数及幂级数性质 利用泰勒公式（1）. 函数的幂级数展开法（2）. 函数的傅里叶级数展开法系数公式及计算技巧; 收敛定理; 延拓方法二、作业讲析二、作业讲析 略略解解:当因此级数在端点发散 ,时,时原级数收敛 .故收敛区间为例例1. 求下列级数的敛散区间:三、典型例题讲解三、典型例题讲解因故收敛区间为级数收敛;一般项不趋于0,级数发散; 例例2.解解: 分别考虑偶次幂与奇次幂组成的级数极限不存在 原级数 =
3、其收敛半径注意: 例例3. 求幂级数法法1 易求出级数的收敛域为法法2先求出收敛区间则设和函数为解解: (1) 显然 x = 0 时上式也正确,故和函数为而在x0例例4. 求下列幂级数的和函数：级数发散,(2)显然 x = 0 时, 和为 0 ; 根据和函数的连续性 , 有x = 1 时, 级数也收敛 . 即得解解: 原式=的和 .例例5. 求级数例例6. 将函数展开成 x 的幂级数.解解:例例7. 设, 将 f (x)展开成x 的幂级数 ,的和. ( 01考研 )解解:于是并求级数上的表达式为将其展为傅氏级数 .例例8. 设 f (x)是周期为2的函数, 它在解答提示解答提示思考思考: 如何利用本题结果求级数根据傅氏级数收敛定理 , 当 x = 0 时, 有提示提示:四、练习题四、练习题1、选择题2. 求下列级数的收敛域.3. 求下列幂级数的和函数.4. 把下列函数展成关于 x 的幂级数.5. 把下列函数在指定点处展成的幂级数.答案：答案：1. 选择题：A B
