《电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量》由会员分享,可在线阅读,更多相关《电动力学 电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量(13页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、电磁场中带电粒子的拉格朗日量和哈密顿量1,电磁场中带电粒子的运动方程2,拉格朗日形式3,哈密顿形式4,非相对论情形2021/6/1611,电磁场中带电粒子的运动方程l在相对论力学中,力学基本方程可写为协变式:其中,Ku为四维力矢量,Pu为动量和能量构成的四维矢量。在低速运动的情形下,作用于速度为v的物体上的四维力矢量 所以,在相对论协变的力学方程包括:上式可改写为:2021/6/162在电磁场中,带电粒子受到的洛伦磁力为:所以,洛伦磁力也满足相对论协变要求。综上得,带电粒子在电磁场中的运动方程为:2021/6/1632,拉格朗日形式 在理论力学中,拉格朗日的基本形式为: 其中 为广义动量, 为
2、广义速度,Qa为广义力。对保守力系来讲:2021/6/164 因为势能V中一般并不包含广义速度 ,所以令L=T-V来代表体系的动能与势能之差。 所以得到保守力系下的拉格朗日方程为: 在电动力学中,电磁场也是一个保守力场,所以也满足上面的保守力系下的拉格朗日方程。电磁场中的带电粒子的运动方程为:(1)其中粒子的机械动量p是:(2)现在我们试探能否找到一个拉格朗日量L使运动方程(2)化为拉格朗日形式。2021/6/165(3)(4)把(3)和(4)代入(1)式中,得(5) 由于电子运动,在时间dt里有位移dx,所以矢势A有增量因此,作用于粒子上的矢势总变化率为:(6)2021/6/166所以(5)
3、可写为:(7)动量p和矢势A可以写为所以拉格朗日量L为:(8)则运动方程(7)可以写为拉格朗日形式:(9)2021/6/167对对L的几点说明:的几点说明:把(8)式乘以自由粒子的状态由速度确定,所以只能由协变量四维速度 决定。当粒子在电磁场中运动时,除了 之外,还依赖于四维势 ,则它们可以构成一个不变量 ,因此,当vc时,带电粒子在电磁场中的运动的拉格朗量L为(8)得:上式右边是洛伦兹不变量,因此上式左边也是洛伦兹不变量。因此 只能是一个洛伦兹不变量,当 时,则自有粒子的拉格朗日函数为:2021/6/1683,哈密顿形式对于用拉格朗日量L描述的动力学系统,广义动量 定义为(10)则系统的哈密
4、顿量为:(11)用哈密顿量可以把运动方程表为正则形式:(12)和(13)对于电磁场中的带电粒子运动情形,由(8)式,正则动量P是:即(14)2021/6/169由(11)式,带电粒子的哈密顿量为:但是H应该用正则动量P而不是用速度v表出。所以哈密顿量表示为:(15)(16)引入四维正则动量:则哈密顿量H与Pu的第四分量联系:(17)(18)不难验证哈密顿方程(12)和(13)相当于原运动方程(1)2021/6/16104,非相对论情形 当vc时,以上给出的拉格朗日量和哈密顿量就变为非相对论情形下相应的量。 拉格朗日量(8)式当vc时变为:(19)哈密顿量(16)式变为:(20)2021/6/1611可以看出H和L仍然满足关系式(11),所以非相对论的情形下,拉格朗日量和哈密顿量即为分析力学中的情形。2021/6/1612 结束语结束语若有不当之处,请指正,谢谢!若有不当之处,请指正,谢谢!