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1、第第5555讲讲 变量的相关性与统计案例变量的相关性与统计案例第第5555讲变量的相关性与统计案例讲变量的相关性与统计案例知识梳理第第5555讲讲 知识梳理知识梳理 1变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的变量与变量之间的关系大致可分为两种类型：确定的_关系和不确定的相关关系关系和不确定的相关关系 2两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，两个变量的关系可通过它们所对应的点在平面上表现出来，这些点对应的图形叫做这些点对应的图形叫做_图图 3若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波若两个变量的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称这两个变量是动，则称这两
2、个变量是_的，而若所有点看上去在的，而若所有点看上去在_附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点附近波动，则称此相关为非线性相关，如果所有点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间在散点图中没有显示任何关系，则称变量间_4从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个函数函数散点散点线性相关线性相关某条曲线某条曲线不相关不相关第第5555讲讲 知识梳理知识梳理变量的这种相关关系称为变量的这种相关关系称为_，点散布在从左上角到右下，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为角的区域内，两个变量的这种相关关系称为_ 5从
3、散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，则这条直线叫过散点图中心的一条直线附近，则这条直线叫_ 6假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据组数据(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，且所求回归方程是，且所求回归方程是 x ，其中，其中 是回归方程的是回归方程的_， 是是_，则有，则有 正相关正相关负相关负相关回归直线回归直线斜率斜率截矩截矩第第5555讲讲 知识梳理知识梳理 通过求通过求Q(y1bx1a)2(y2bx2a)2(ynbxna)2的最的最
4、小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法 7回归分析的基本思想及其初步应用回归分析的基本思想及其初步应用 (1)回归分析是对具有回归分析是对具有_关系的两个变量进行统计分析的方关系的两个变量进行统计分析的方法，其常用的研究方法步骤是画出法，其常用的研究方法步骤是画出_，求出回归直线方程，求出回归直线方程，并利用回归直线方程进行预报并利用回归直线方程进行预报 (2)对对n个样本数据个样本数据(x1，y1)、(x2，y2)、
5、(xn，yn)，_称称为样本点的中心为样本点的中心 (3)除用散点图外，还可以用样本相关系数除用散点图外，还可以用样本相关系数r来衡量两个变量来衡量两个变量x，y相关关系的强弱，其中相关关系的强弱，其中相关相关散点图散点图第第5555讲讲 知识梳理知识梳理第第5555讲讲 知识梳理知识梳理 当当r0，表明两个变量，表明两个变量_，当，当r0，表明两个变量，表明两个变量_，r的绝对值越接近于的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越，表明两个变量的线性相关性越强；强；r的绝对值越接近于的绝对值越接近于0，表明两个变量之间，表明两个变量之间_线性线性相关关系，通常相关关系，通常|r|_时，认为
6、这两个变量具有很强的线性时，认为这两个变量具有很强的线性相关关系相关关系 (4)用相关指数用相关指数R2来刻画回归的效果，公式是来刻画回归的效果，公式是 正相关正相关负相关负相关几乎不存在几乎不存在0.75第第5555讲讲 知识梳理知识梳理 R2的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果的值越大，说明残差平方和越小，也就是说模型拟合效果_ 8独立性检验的基本思想及其初步应用独立性检验的基本思想及其初步应用 (1)若变量的不同若变量的不同“值值”表示表示_，则这类变，则这类变量称为分类变量量称为分类变量 (2)列出的两个分类变量的列出的两个分类变量的_表，称为列联表表，称为列联表 (3)
7、利用随机变量利用随机变量K2来判断来判断“两个分类变量有关系两个分类变量有关系”的方法称为的方法称为_ 独立性检验公式独立性检验公式K2_. (4)在独立性检验中，常用在独立性检验中，常用_和和_来直观地反映数据情况来直观地反映数据情况 越好越好个体所属的不同类别个体所属的不同类别频数频数独立性检验独立性检验二维条形图二维条形图三维柱形图三维柱形图要点探究第第5555讲讲 要点探究要点探究探究点探究点1线性相关关系的判定线性相关关系的判定 例例1 观察下列各图形：观察下列各图形：第第5555讲讲 要点探究要点探究 其中两个变量其中两个变量x、y具有相关关系的图形是具有相关关系的图形是() A
8、B C D 例例1思路思路根据相关关系的概念直接判断根据相关关系的概念直接判断C解析解析 相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附相关关系有两种情况：所有点看上去都在一条直线附近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线近波动，是线性相关；若所有点看上去都在某条曲线(不是一条不是一条直线直线)附近波动，是非线性相关由图可以看出，附近波动，是非线性相关由图可以看出，是线性相是线性相关，关，是非线性相关的只有是非线性相关的只有是不相关的选是不相关的选C. 点评点评散点图的最大优点就是直观，并且制作散点图也较为方散点图的最大优点就是直观，并且制作散点图也较为方便，因此散点图在判断两个变量是否
9、相关的过程中起着重要作用便，因此散点图在判断两个变量是否相关的过程中起着重要作用第第5555讲讲 要点探究要点探究 2010赣州模拟赣州模拟 某种产品的广告支出某种产品的广告支出x(单位：百万单位：百万元元)与销售额与销售额y(单位：百万元单位：百万元)之间有如下的对应关系：之间有如下的对应关系：x2 24 45 56 68 8y30304040606050507070试对变量试对变量y与与x进行相关性检验进行相关性检验 思路思路 判断两变量有无线性相关关系有两种方法：画判断两变量有无线性相关关系有两种方法：画出散点图和计算相关系数出散点图和计算相关系数r.第第5555讲讲 要点探究要点探究
10、解答解答 (1)方法一：利用散点图进行相关性检验方法一：利用散点图进行相关性检验观察散点图中各点，发现它们都集中在一条直线附近，因此判观察散点图中各点，发现它们都集中在一条直线附近，因此判断断y与与x有线性相关关系有线性相关关系第第5555讲讲 要点探究要点探究第第5555讲讲 要点探究要点探究要点探究第第5555讲讲 要点探究要点探究探究点探究点2回归直线方程的求法及应用回归直线方程的求法及应用 例例2 2010年年12月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行月某班主任为了对本班学生的月考成绩进行分析，决定从全班分析，决定从全班25名女同学，名女同学，15名男同学中随机抽取一个容名男同学中随机
11、抽取一个容量为量为8的样本进行分析的样本进行分析(1)如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人？如果按性别比例分层抽样，应选男、女生各多少人？(2)随机抽取随机抽取8位，若这位，若这8位同学的数学、物理分数对应如表：位同学的数学、物理分数对应如表：学生编号学生编号12345678数学成绩数学成绩x6065707580859095物理成绩物理成绩y7277808488909395第第5555讲讲 要点探究要点探究 根据上表数据用散点图说明物理成绩根据上表数据用散点图说明物理成绩y与数学成绩与数学成绩x之间是否之间是否具有线性相关性如果具有线性相关性，求具有线性相关性如果具有线性相关性，求y与
12、与x的线性回归方的线性回归方程程(系数精确到系数精确到0.01)；如果不具有线性相关性，请说明理由；如果不具有线性相关性，请说明理由第第5555讲讲 要点探究要点探究第第5555讲讲 要点探究要点探究 点评点评求线性回归方程，首先要对两个变量是否具有线性相关求线性回归方程，首先要对两个变量是否具有线性相关性进行判断，判断的方法有两个：一是用散点图进行判断，二是利性进行判断，判断的方法有两个：一是用散点图进行判断，二是利用相关系数的强弱用相关系数的强弱(计算复杂计算复杂)当两个变量没有相关关系时，即使当两个变量没有相关关系时，即使可以求出线性回归方程，该方程也是没有实际意义的可以求出线性回归方程
13、，该方程也是没有实际意义的第第5555讲讲 要点探究要点探究探究点探究点3独立性检验的基本思想及应用独立性检验的基本思想及应用 例例3 2010辽宁卷辽宁卷 为了比较注射为了比较注射A，B两种药物后产生的皮肤两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选疱疹的面积，选200只家兔做试验，将这只家兔做试验，将这200只家兔随机地分成两只家兔随机地分成两组，每组组，每组100只，其中一组注射药物只，其中一组注射药物A，另一组注射药物，另一组注射药物B. (1)甲、乙是甲、乙是200只家兔中的只家兔中的2只，求甲、乙分在不同组的概率；只，求甲、乙分在不同组的概率； (2)表表1和表和表2分别是注射药物分别是注射
14、药物A和和B后的试验结果后的试验结果(疱疹面积单疱疹面积单位：位：mm2) 表表1：注射药物：注射药物A后皮肤疱疹面积的频数分布表：后皮肤疱疹面积的频数分布表：疱疹面积疱疹面积60,65)60,65)65,70)65,70)70,75)70,75)75,80)75,80)频数频数3030404020201010第第5555讲讲 要点探究要点探究 表表2：注射药物：注射药物B后皮肤疱疹面积的频数分布表：后皮肤疱疹面积的频数分布表：疱疹面积疱疹面积60,65)60,65)65,70)65,70)70,75)70,75)75,80)75,80)80,85)80,85)频数频数101025252020
15、30301515 完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积完成下面频率分布直方图，并比较注射两种药物后疱疹面积的中位数大小；的中位数大小；第第5555讲讲 要点探究要点探究 完成下面完成下面22列联表，并回答能否有列联表，并回答能否有99.9%的把握认为的把握认为“注射药注射药物物A后的疱疹面积与注射药物后的疱疹面积与注射药物B后的疱疹面积有差异后的疱疹面积有差异”第第5555讲讲 要点探究要点探究疱疹面积小于疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于疱疹面积不小于70 mm2合计合计注射药物注射药物Aab注射药物注射药物Bcd合计合计n表表3：第第5555讲讲 要点探究要点探究 例例
16、3解析解析第第(1)题，直接利用组合数求出概率；第题，直接利用组合数求出概率；第(2)题的题的第第题，根据表题，根据表1和表和表2，求出频率，再求出，完成频率分布直，求出频率，再求出，完成频率分布直方图，再根据直方图比较两个中位数的大小第方图，再根据直方图比较两个中位数的大小第题，根据表题，根据表1和表和表2完成完成22列联表，再计算列联表，再计算K2统计量，根据临界值进行判断统计量，根据临界值进行判断 解答解答 (1)甲、乙两只家兔分在不同组的概率为甲、乙两只家兔分在不同组的概率为第第5555讲讲 要点探究要点探究 (2)第第5555讲讲 要点探究要点探究 可以看出注射药物可以看出注射药物A
17、后的疱疹面积的中位数在后的疱疹面积的中位数在65至至70之间，而之间，而注射药物注射药物B后的疱疹面积的中位数在后的疱疹面积的中位数在70至至75之间，所以注射药物之间，所以注射药物A后疱疹面积的中位数小于注射药物后疱疹面积的中位数小于注射药物B后疱疹面积的中位数后疱疹面积的中位数 表表3：疱疹面积小于疱疹面积小于70 mm2疱疹面积不小于疱疹面积不小于70 mm2合计合计注射药物注射药物Aa70b30100注射药物注射药物Bc35d65100合计合计10595n200第第5555讲讲 要点探究要点探究第第5555讲讲 要点探究要点探究 在调查的在调查的400名男性中有名男性中有35名患有色盲
18、症，名患有色盲症，600名女性中名女性中有有8名患有色盲症，将统计数据制成了如图名患有色盲症，将统计数据制成了如图553 所示的二维条所示的二维条形图，该图可以说明的问题是形图，该图可以说明的问题是()A色盲与性别没有关系，因为男女色盲与性别没有关系，因为男女都有色盲都有色盲B由此二维条形图得不到什么结论由此二维条形图得不到什么结论C色盲与性别的关系不能确定色盲与性别的关系不能确定D色盲与性别是有关系的，究竟有色盲与性别是有关系的，究竟有多大关系，还要进一步研究多大关系，还要进一步研究第第5555讲讲 要点探究要点探究 思路思路通过二维条形图和色盲患者的比例来说明问题通过二维条形图和色盲患者的
19、比例来说明问题第第5555讲讲 规律总结规律总结规律总结 1对两个变量的相关性关系情况的判断有两个方法：一是对两个变量的相关性关系情况的判断有两个方法：一是根据散点图，这种方法是从图形上粗略地观察，比较直观、简根据散点图，这种方法是从图形上粗略地观察，比较直观、简单易行，但往往对相关程度刻画的不够准确；二是计算相关系单易行，但往往对相关程度刻画的不够准确；二是计算相关系数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对数法，这种方法能比较准确地反映相关程度，相关系数的绝对值越接近值越接近1，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性就越强，相关系数就是描述相关性强弱的，相关性有正相关和负相关，强相关和弱相关相关性有正相关和负相关，强相关和弱相关 2建立回归模型的步骤：建立回归模型的步骤： (1)确定研究对象，明确解释变量和预报变量；确定研究对象，明确解释变量和预报变量； (2)画出散点图，观察它们之间的关系画出散点图，观察它们之间的关系(如是否具有线性相关如是否具有线性相关关系关系)；第第5555讲讲 规律总结规律总结
