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1、2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能第六讲 角动量守恒定律和刚体的转动动能6-0 回顾回顾6-1 角动量的守恒角动量的守恒6-2 角动量守恒定律在有心力场中的应用角动量守恒定律在有心力场中的应用6-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律6-4 转动动能转动动能*2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能6-0 回顾回顾角动量定理角动量定理(质点和质点系）质点和质点系）对轴（对轴（Z）定义：定义：转动惯量转动惯量刚体定轴转动刚体定轴转动2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体
2、的转动动能6-1 角动量守恒定律角动量守恒定律比一比比一比普遍规律，宏观、微观都适用。普遍规律，宏观、微观都适用。2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能 系统角动量守恒，动量守恒吗？系统角动量守恒，动量守恒吗？议一议议一议 系统动量守恒，角动量守恒吗？系统动量守恒，角动量守恒吗？FFOF2F3F1 试一试：证明力偶矩与参考点选取无试一试：证明力偶矩与参考点选取无关关 是独立的，故质点系角动量守是独立的，故质点系角动量守恒和动量守恒也是相互独立的。恒和动量守恒也是相互独立的。2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能质点对某
3、点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？质点对某点的角动量守恒，对另一点也守恒吗？2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能有心力场：运动质点所受的力总有心力场：运动质点所受的力总是通过一个固定点。是通过一个固定点。力心力心质点对力心的角动量永远守恒！质点对力心的角动量永远守恒！有心力是保守力。质点在有心力作用下，它的机械有心力是保守力。质点在有心力作用下，它的机械能守恒。能守恒。6-2. 角动量守恒在有心力场中的应用角动量守恒在有心力场中的应用2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能
4、角动量守恒定律和刚体的转动动能“行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积行星对太阳的位置矢量在相等的时间内扫过相等的面积”例例1. 用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：用角动量守恒定律推导行星运动开普勒第二定律：解：设在时间解：设在时间 t 内，行星的矢径扫过扇形面积内，行星的矢径扫过扇形面积 s面积速度：面积速度：恒矢量恒矢量恒量恒量太太阳阳行星行星2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能例例2. 地球可看作是半径地球可看作是半径 R= 6400 km 的球体，一颗人造的球体，一颗人造地球卫星在地球卫星在地面地面上空上空 h=800km 的
5、圆形轨道上，以的圆形轨道上，以v1=7.5 km/s 的速度绕地球运动。突然点燃的速度绕地球运动。突然点燃 一一 火箭，其冲力使火箭，其冲力使卫星附加一个卫星附加一个 向外的径向分速度向外的径向分速度 v2=0.2 km/s使卫星的使卫星的轨道变成椭圆形。求此后卫星轨道的最低点和最高点位轨道变成椭圆形。求此后卫星轨道的最低点和最高点位于地面上空多高？于地面上空多高？解：解：2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能对卫星原来的圆运动有对卫星原来的圆运动有联立（联立（1）（）（2）（）（3）式，）式，消去消去 V G M m 则有则有 2-6 2-6 角动量守恒
6、定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能远地点高度远地点高度近地点高度近地点高度2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能想一想：试从有心场中系统角动量守恒的角度想一想：试从有心场中系统角动量守恒的角度出发，解释天体呈旋转盘状结构的原因出发，解释天体呈旋转盘状结构的原因2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能6.3 6.3 6.3 6.3 定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动量守恒定律定轴转动刚体的角动
7、量守恒定律讨论：讨论：（1)1) 绕固定转轴转动的刚体绕固定转轴转动的刚体如果如果 = =恒量恒量则则 = =恒量恒量例：回转仪例：回转仪 无论怎样改变框架方向，无论怎样改变框架方向，都不能使陀螺仪的转轴的都不能使陀螺仪的转轴的空间取向发生变化空间取向发生变化回转仪回转仪2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能（2)2)若系统由若干个刚体组成，若系统由若干个刚体组成，角动量可在系统内部各角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。变。例：直升飞机防止机身旋动的措施用两个对转的顶浆（支奴干 C
8、H47)用 尾 浆（美洲豹 SA300）（ 海豚 ）2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能轮、转台与人系统轮人台初态全静初人沿某一转向拨动轮子轮末态人台轮轮末人台人台初得人台人台轮轮导致人台导致人台反向转动反向转动2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能（3 3）对转动惯量可变系统，若所受合外力矩为零，）对转动惯量可变系统，若所受合外力矩为零，则角动量也守恒则角动量也守恒收臂大小 用外力矩用外力矩启动转盘后启动转盘后撤除外力矩撤除外力矩张臂大小2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能花
9、 样 滑 冰收臂大小张臂大小先使自己转动起来收臂大小2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能6-4 6-4 定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理 1.1.1.1.力矩的功力矩的功力矩的功力矩的功 力力 对对P 点作功：点作功：00 因因 对于刚体定轴转动对于刚体定轴转动情形，因质点间无相对情形，因质点间无相对位移，任何一对内力作位移，任何一对内力作功为零。功为零。2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能2.2.2.2.定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定理定轴转动的动能定
10、理外力矩所做元功为：外力矩所做元功为：总外力矩对刚体所作的功为：总外力矩对刚体所作的功为： 刚体在刚体在 时间内转过角位移时间内转过角位移 时时转动动能转动动能比一比：比一比：2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集表明：一个不太大的刚体的重力势能与它的质量集中在质心时所具有的势能一样。中在质心时所具有的势能一样。3.3.3.3.刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能刚体的重力势能质心高度为：质心高度为： 对于一个不太大的质量为对于一个不太大的质量为 的物体，它的物体，它的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势
11、能的重力势能应是组成刚体的各个质点的重力势能之和。之和。试一试：含刚体转动及平动的功能原理的形式？试一试：含刚体转动及平动的功能原理的形式？2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能直线运动与定轴转动规律对照直线运动与定轴转动规律对照质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能圆圆锥锥摆摆子子弹弹击击入入杆杆以子弹和杆为系统以子弹和杆为系统机械能不守恒机械能不守恒 .角动量守恒；角动量守恒；动量不守恒；动量不守恒；以子弹和沙袋为系统以子弹和沙袋为系统动量守恒；动量守恒；角动
12、量守恒；角动量守恒；机械能不守恒机械能不守恒 .圆锥摆系统圆锥摆系统动量不守恒；动量不守恒；角动量守恒；角动量守恒；机械能守恒机械能守恒 .讨讨 论论子子弹弹击击入入沙沙袋袋细细绳绳质质量量不不计计2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能例例3 3、如图所示、如图所示, ,一质量为一质量为m的子弹以水平速度的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端射入一静止悬于顶端长棒的下端, ,穿出后速度损穿出后速度损失失3/4,3/4,求求子弹穿出后棒的角速度子弹穿出后棒的角速度 。已知棒长。已知棒长为为l , ,质量为质量为M. .解解: : 以以 f 代表棒对子弹
13、的阻力代表棒对子弹的阻力, ,对子弹有对子弹有: :子弹对棒的反作用力对棒的冲子弹对棒的反作用力对棒的冲量量矩为：矩为：v0vmM因因 ， 由两式得由两式得2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能v0vmM请问请问: :子弹和棒的总动量守恒吗子弹和棒的总动量守恒吗? ? 为为什么什么? ?总角动量守恒吗总角动量守恒吗? ?-若守恒若守恒, , 其方程应如何写其方程应如何写? ?（下一页）（下一页）不守恒不守恒上端有水平阻力上端有水平阻力2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能例例题题4 4 一一匀匀质质细细棒棒长长为为l
14、l ，质质量量为为m m，可可绕绕通通过过其其端端点点O O的的水水平平轴轴转转动动，如如图图所所示示。当当棒棒从从水水平平位位置置自自由由释释放放后后，它它在在竖竖直直位位置置上上与与放放在在地地面面上上的的物物体体相相撞撞。该该物物体体的的质质量量也也为为m m ，它它与与地地面面的的摩摩擦擦系系数数为为 。相相撞撞后后物物体体沿沿地地面面滑滑行行一一距距离离s s而而停停止止。求求相相撞撞后后棒棒的的质质心心C C 离离地地面面的的最最大大高高度度h h，并并说说明明棒棒在在碰撞后将向左摆或向右摆的条件。碰撞后将向左摆或向右摆的条件。解：解： 这个问题可分为三个阶段进行分析。这个问题可分
15、为三个阶段进行分析。C CO O（1 1）（2 2）1 1） 机械能守恒机械能守恒2 2）角动量守恒）角动量守恒2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能式式中中 棒棒在在碰碰撞撞后后的的角角速速度度，它它可可正正可可负负。 取取正正值值，表表示示碰碰后后棒棒向向左摆；反之，表示向右摆。左摆；反之，表示向右摆。C CO O（3 3）亦即亦即由式（由式（1 1）、（）、（2 2）与（）与（3 3）联合求解，即得）联合求解，即得3 3）牛顿定律）牛顿定律（4 4）2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能 0,0,棒向右摆，棒向右
16、摆，亦即亦即l l 600，棒向左摆，即，棒向左摆，即(5)(5)亦即亦即l l66 s s；2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能例例5. 在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一在一光滑水平面上，有一轻弹簧，一端固定，一端连接一质量端连接一质量m = 1 kg 的滑块，如图所示弹簧自然的滑块，如图所示弹簧自然长度长度l0= 0.2 m，劲度系数，劲度系数k =100 Nm-1. 设设t = 0时，弹时，弹簧长度为簧长度为l0，滑块速度，滑块速度v0 = 5 ms-1，方向与弹簧垂直，方向与弹簧垂直以后某一时刻，弹簧长度以后某一时刻，弹簧长度l =0.
17、5 m 求该时刻滑块速求该时刻滑块速度的大小和夹角度的大小和夹角 解：由角动量守恒和机械能守恒可得解：由角动量守恒和机械能守恒可得 2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能 例例6 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平位当细杆静止于水平位置时置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并背并背离点离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率向小虫应以多大速率向细杆端点爬行细杆端点爬行? 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能由角动量定理由角动量定理即即考虑到考虑到2-6 2-6 角动量守恒定律和刚体的转动动能角动量守恒定律和刚体的转动动能作业作业4B-1，4B-2，4B-3，4B-4, 4B-5
