函数的极值与导数

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1、函数的极值与导数函数的极值与导数一、复习一、复习求函数单调性的一般步骤求函数单调性的一般步骤（1 1）、求函数的定义域）、求函数的定义域; ;（2 2）、）、求函数的导数求函数的导数 f f/ /（x x）; ;（3 3）、解不等式）、解不等式 f f/ /（x x）0 0 得得f(x)f(x)的单调递增区间的单调递增区间; ; 解不等式解不等式 f f/ /（x x）0 0 得得f(x)f(x)的单调递减区间的单调递减区间. .二、新课讲解二、新课讲解 1. 1. 观察右下图为函数观察右下图为函数y=2xy=2x3 3-6x-6x2 2+7+7的图象的图象, ,从图从图象我们可以看出下面的结

2、论象我们可以看出下面的结论: : 函数在函数在X=0X=0的函数值比它附近的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说所有各点的函数值都大，我们说f(0)f(0)是函数的一个极大值；是函数的一个极大值； 函数在函数在X=2X=2的函数值比它附近的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说所有各点的函数值都小，我们说f(2)f(2)是函数的一个极小值。是函数的一个极小值。x x2 2yoo oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y 如如图图，函函数数y y= =f f（x x）在在x x1 1，x x2 2，x x3 3，x x4 4等等点点的的 函函数数值值

3、与与这这些些点点附附近近的的函函数数值值有有什什么么关关系系？ y=fy=f（x x）在这些点的导数值是多少？在这些点）在这些点的导数值是多少？在这些点附近，附近，y=fy=f（x x）的导数的符号有什么规律？）的导数的符号有什么规律？2.2.探索思考：探索思考：结论结论: : 若若x x0 0满足满足 f f/ /(x(x)=0,)=0,且在且在x x0 0的两侧的导数异的两侧的导数异号号, ,则则x x0 0是是f(xf(x) )的极值点的极值点,f(x,f(x0 0) )是极值是极值. . 如果如果 f f/ /(x(x) ) 在在x x0 0两侧满足两侧满足“左正右负左正右负”, ,则

4、则x x0 0是是f(xf(x) )的极大值点的极大值点,f(x,f(x0 0) )是是极大值极大值; ; 如果如果 f f/ /(x(x) ) 在在x x0 0两侧满足两侧满足“左负右正左负右正”, ,则则x x0 0是是f(xf(x) )的极小值点的极小值点,f(x,f(x0 0) )是是极小值极小值. . 极大值与极小值统称为极大值与极小值统称为极值极值. . 从曲线的切线角度看从曲线的切线角度看, ,曲线在极值点处切线的曲线在极值点处切线的斜率为斜率为0,0,并且并且, ,曲线在极大值点左侧切线的斜率曲线在极大值点左侧切线的斜率为正为正, ,右侧为负右侧为负; ;曲线在极小值点左侧切线

5、的斜率曲线在极小值点左侧切线的斜率为负为负, ,右侧为正右侧为正. .o oa aX X1 1X X2 2X X3 3X X4 4b bax xy y三、例题选讲三、例题选讲: :例例1 1: :求求y=xy=x3 3/3-4x+4/3-4x+4的极值的极值. .解解:令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.当当x x变化时变化时, , ,y y的变化情况如下表的变化情况如下表: : x x(-(-,-,-2)2) -2 -2(-2,2)(-2,2) 2 2(2,+(2,+) ) yy + + 0 0 - - 0 0 + + y y 极大值极大值28/328/3 极小值极小值-4/3-4/3 因

6、此因此, ,当当x=-2x=-2时有极大值时有极大值, ,并且并且, ,y y极大值极大值=28/3;=28/3; 而而, ,当当x= 2x= 2时有极小值时有极小值, ,并且并且, ,y y极小值极小值= -4/3.= -4/3.方法：方法：1 1、求、求 2 2、令、令 ，求出零点，求出零点 、 、 等等 3 3、列表判断极大值和极小值、列表判断极大值和极小值极大值极大值极小值极小值无极值无极值2 2、求函数、求函数 的极值的极值. .练习练习1 1、求函数、求函数 的极值的极值. . x x(-(-,-,-a)a) - -a a(-(-a,0)a,0) (0,(0,a)a) a a( (

7、a,+a,+) )f(f(x)x) + + 0 0 - - - - 0 0 + + f(x)f(x) 极大极大值值-2-2a a 极小极小值值2 2a a 故当故当x=-a时时,f(x)有极大值有极大值f(-a)=-2a;当当x=a时时,f(x)有极小值有极小值f(a)=2a.2、求函数、求函数 的极值的极值.解解:函数的定义域为函数的定义域为令令 ,解得解得x1=-a,x2=a(a0).当当x x变化时变化时, , ,f(x)f(x)的变化情况如下表的变化情况如下表: :四四. .探索思考探索思考: :导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? 可导函数的极

8、值点一定是它导数为零的点，反之函可导函数的极值点一定是它导数为零的点，反之函数的导数为零的点，数的导数为零的点，不一定是该函数的极值点不一定是该函数的极值点。 例如，函数例如，函数y=x3，在点在点x=0处的导数为零，但它不处的导数为零，但它不是极值点，原因是函数在点是极值点，原因是函数在点x=0处左右两侧的处左右两侧的导数都大导数都大于零。于零。 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件, ,其充分条件是其充分条件是在这点两侧的导数异号。在这点两侧的导数异号。 x x 0 0(0,4)(0,4) 4 4 0 0 + + 0 0 极小值极小值 极大值

9、极大值 例例2 2: :已知函数已知函数f(x)=-xf(x)=-x3 3+ax+ax2 2+b+b若函数若函数f(x)f(x)在在x=0,x=4x=0,x=4处取处取得极值得极值, ,且极小值为且极小值为-1,-1,求求a a、b b的值。的值。解解: :依题意得依题意得 令令 得得x=0x=0或或x=2a/3x=2a/3。故故2 2a/3=4,a/3=4,即即a=6a=6。故当故当x=0x=0时时, ,f(x)f(x)达到极小值达到极小值f(0)=b,f(0)=b,所以所以b=-1b=-1。练习练习1:1:已知函数已知函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax+ax2 2+bx+a+bx+a

10、2 2在在x=1x=1处有极值为处有极值为10,10, 求求a a、b b的值的值. .解解: =3: =3x x2 2+2ax+b=0+2ax+b=0有一个根有一个根x=1,x=1,故故3+23+2a+b=0.a+b=0.又又f(1)=10,f(1)=10,故故1+1+a+b+aa+b+a2 2=10.=10.由由、解得解得 或或当当a=-3,b=3a=-3,b=3时时, , ,此时此时f(x)f(x)在在x=1x=1处无处无极值极值, ,不合题意。不合题意。当当a=4,b=-11a=4,b=-11时时, ,-3/11-3/11x1x1x1时时, , ,此时此时x=1x=1是极值是极值点。点

11、。从而所求的解为从而所求的解为a=4,b=-11a=4,b=-11。理解函数极值的定义时应注意以下几点理解函数极值的定义时应注意以下几点: :(1)(1)函数的极值是一个局部性的概念函数的极值是一个局部性的概念, ,极值点是区间内部极值点是区间内部的点而不会是端点的点而不会是端点. .(2)(2)若若f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,那么那么f(x)f(x)在某区间内一定在某区间内一定不是单调函数不是单调函数, ,即在区间上单调的函数没有极值。即在区间上单调的函数没有极值。(3)(3)极大值与极小值没有必然的大小关系极大值与极小值没有必然的大小关系, ,即极大值不一即极大值

12、不一定比极小值大定比极小值大, ,极小值不一定比极大值小。极小值不一定比极大值小。(4)(4)函数函数f(x)f(x)在某区间内有极值在某区间内有极值, ,它的极值点的分布是有它的极值点的分布是有规律的规律的, ,相邻两个极大值点之间必有一个极小值点相邻两个极大值点之间必有一个极小值点, ,同样同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点相邻两个极小值点之间必有一个极大值点. .一般地一般地, ,当函当函数数f(x)f(x)在某区间上连续且有有限极值点时在某区间上连续且有有限极值点时, ,函数函数f(x)f(x)在在该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的该区间内的极大值点与极小值点是交替出现的. .(5)(5)导数为零的点是该点为极值点的必要条件导数为零的点是该点为极值点的必要条件, ,而不是充而不是充分条件。分条件。作业作业& &小结小结