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1、第三章第三章 时域分析法时域分析法第一节第一节 引言引言第二节第二节 典型输入信号典型输入信号 n控制系统的时域指标控制系统的时域指标n4-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应n4-3 二阶系统分析二阶系统分析n4-4 用用MATLABMATLAB进行瞬态响应分析进行瞬态响应分析npptppt链接链接4-44-4用用matlabmatlab进行瞬态进行瞬态响应分析响应分析.doc.doc第三章第三章 时域分析法时域分析法 第一节第一节 引言引言 时域分析方法是根据系统的微分方时域分析方法是根据系统的微分方程，采用拉氏变换法直接解出系统的时程，采用拉氏变换法直接解出系统的时间响应，再根据时间
2、响应来分析系统的间响应，再根据时间响应来分析系统的稳定性、准确性和快速性能。用时域分稳定性、准确性和快速性能。用时域分析系统性能具有直接、准确、易于接受析系统性能具有直接、准确、易于接受的特点，是经典控制理论中进行系统性的特点，是经典控制理论中进行系统性能分析的一种重要方法。能分析的一种重要方法。第三章第三章 时域分析法时域分析法 第二节第二节 典型输入信号典型输入信号 在时域进行分析时，为了比较不同系统的在时域进行分析时，为了比较不同系统的控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入控制性能，需要规定一些具有典型意义的输入信号，建立分析比较的基础，这些信号称为控信号，建立分析比较的基础，这些信号
3、称为控制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入制系统的典型输入信号。因为系统对典型输入信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型应特性之间存在着一定的关系，所以采用典型输入信号来评价系统的性能是合理的。输入信号来评价系统的性能是合理的。第三章第三章 时域分析法时域分析法 为便于进行理论分析与试验研究，对典型为便于进行理论分析与试验研究，对典型输入信号有如下要求：输入信号有如下要求： (1) (1)能够使系统工作在最不利的情况下；能够使系统工作在最不利的情况下； (2) (2)形式简单，便于解析分析；形式简单，便于解析
4、分析； (3) (3)在实际中可以实现或近似实现。在实际中可以实现或近似实现。 工程中经常采用的典型输入信号有单位脉工程中经常采用的典型输入信号有单位脉冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和冲函数、单位阶跃函数、单位斜坡函数、谐和函数和单位加速度函数等。函数和单位加速度函数等。 其数学描述与图形如图其数学描述与图形如图3-13-1所示。所示。图3-1 常用典型信号的函数及其图形第三章第三章 时域分析法时域分析法 第三节第三节 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应 控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态响控制系统的时间响应由两部分组成：瞬态响应和稳态响应。瞬态响应是指系统从初始状态应和稳态响应。
5、瞬态响应是指系统从初始状态到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间到最终状态的响应过程。稳态响应是指当时间t t趋于无穷大时，系统的输出状态。趋于无穷大时，系统的输出状态。 一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传一阶惯性系统是一阶系统的典型代表，其传递函数标准形式是：递函数标准形式是：第三章第三章 时域分析法时域分析法 一、一阶系统的单位阶跃响应一、一阶系统的单位阶跃响应 单位阶跃输入单位阶跃输入X Xi(t)=1(t)i(t)=1(t)，对其进行拉氏变，对其进行拉氏变换得，换得，X Xi(S)=1/i(S)=1/S S，则，则 对上式进行拉氏反变换，得对上式进行拉氏反变换，得 第三章第三章
6、时域分析法时域分析法 得出如下重要结论：得出如下重要结论： (1)(1)一阶系统总是稳定的，无振荡；一阶系统总是稳定的，无振荡； (2) (2)系统响应由两部分组成，稳态响系统响应由两部分组成，稳态响应应1(t)1(t)和瞬态响应和瞬态响应 组成组成, ,瞬态响瞬态响应随着时间的增加逐渐衰减为应随着时间的增加逐渐衰减为0 0； (3) (3)经过时间经过时间T T曲线上升到稳态值的曲线上升到稳态值的0.6320.632高度。反之，用实验方法测出的时高度。反之，用实验方法测出的时间响应曲线到达稳态值的间响应曲线到达稳态值的0.6320.632时所用的时所用的时间，即是一阶系统的时间常数时间，即是
7、一阶系统的时间常数T T；第三章第三章 时域分析法时域分析法 重要结论：重要结论： (4) (4)经过时间经过时间3 3T T-4-4T T，响应曲线已达到稳态值的，响应曲线已达到稳态值的95%-98%95%-98%，可以认为其调整过程已经完成，故一，可以认为其调整过程已经完成，故一般取调整时间为（般取调整时间为（3-43-4）T T ； (5) (5)在在t t = 0= 0处，响应曲线的切线斜率为处，响应曲线的切线斜率为1/1/T T ; ; (6) (6)若通过实测某系统单位阶跃响应若通过实测某系统单位阶跃响应y yo o(t)(t)，将，将1-1-y yo o(t)(t)标在半对数坐标
8、纸上，如果得出一条标在半对数坐标纸上，如果得出一条直线，则可判定该系统为一阶环节。直线，则可判定该系统为一阶环节。 第三章第三章 时域分析法时域分析法 二、一阶系统的单位斜坡响应二、一阶系统的单位斜坡响应 一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应.doc 当当 t 充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号充分大时，系统跟踪单位斜坡输入信号的误差为的误差为T。显然，。显然，惯性环节的时间常数越小，惯性环节的时间常数越小，则该环节的稳态误差越小。则该环节的稳态误差越小。 一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐一阶系统的单位斜坡响应是一条由零开始逐渐变为等速变化的曲线，稳态输出与输入同斜渐变为等速变化
9、的曲线，稳态输出与输入同斜率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，率，但滞后一个时间常数，即存在跟踪误差，其数值大小也等于其数值大小也等于T。第三章第三章 时域分析法时域分析法 三三、一一阶阶系系统统的的单单位位脉脉冲冲响响应应一一阶阶系系统的单位斜坡响应统的单位斜坡响应.doc 一一阶阶系系统统的的典典型型输输入入响响应应特特性性与与时时间间常常数数密密切切相相关关，时时间间常常数数越越小小、单单位位脉脉冲冲响响应应的的衰衰减减越越快快，单单位位阶阶跃跃响响应应的的调调整整时时间间越越小小，单单位位斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。斜坡响应的稳态误差及滞后时间也越小。 例例3-13-1 p
10、79第三章第三章 时域分析法时域分析法 第四节第四节 二阶系统的瞬态响应分析二阶系统的瞬态响应分析 4-1 控制系统的时域指标控制系统的时域指标 控制系统的时域性能指标，是根据系统在控制系统的时域性能指标，是根据系统在单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃函数作用下的时间响应单位阶跃单位阶跃响应确定的，通常以响应确定的，通常以h(t)表示。表示。 实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡实际应用的控制系统，多数具有阻尼振荡的阶跃响应，如图的阶跃响应，如图4-1所示：所示： 所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统所谓时域分析法，就是在时间域内研究控制系统性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微
11、分性能的方法，它是通过拉氏变换直接求解系统的微分方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和方程，得到系统的时间响应，然后根据响应表达式和响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。响应曲线分析系统的动态性能和稳态性能。n一.上升时间上升时间t tr r 响应曲线从零首次上升到稳态值响应曲线从零首次上升到稳态值h(h()所需的所需的时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系时间，称为上升时间。对于响应曲线无振荡的系统，统，t tr r是响应曲线从稳态值的是响应曲线从稳态值的10%10%上升到上升到90 %90 %所需所需的时间。的时间。 延迟时间延迟时间t td d: :响应曲线第一次到达终值一半
12、所响应曲线第一次到达终值一半所需的时间。需的时间。n二二. .峰值时间峰值时间t tp p 响应曲线超过稳态值响应曲线超过稳态值h(h()达到第一个峰值所达到第一个峰值所需的时间。需的时间。n三三. .调节时间调节时间t ts s 在稳态值在稳态值h(h()附近取一误差带，通常取附近取一误差带，通常取 响应曲线开始进入并保持在误差带内所需响应曲线开始进入并保持在误差带内所需的最小时间，称为调节时间。的最小时间，称为调节时间。 ts越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另越小，说明系统从一个平衡状态过渡到另一个平衡状态所需的时间越短。一个平衡状态所需的时间越短。n四四.超调量超调量% 响应曲线超出稳
13、态值的最大偏差与稳响应曲线超出稳态值的最大偏差与稳态值之比。即态值之比。即 超调量表示系统响应过冲的程度，超超调量表示系统响应过冲的程度，超调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶调量大，不仅使系统中的各个元件处于恶劣的工作条件下，而且使调节时间加长。劣的工作条件下，而且使调节时间加长。n五五.振荡次数振荡次数N 在调节时间以内，响应曲线穿越其稳在调节时间以内，响应曲线穿越其稳态值次数的一半。态值次数的一半。 tr,tp和和ts表示控制系统反映输入信号的快表示控制系统反映输入信号的快速性，而速性，而%和和N N反映系统动态过程的平稳反映系统动态过程的平稳性。即系统的阻尼程度。其中性。即系统的阻尼程
14、度。其中t ts s和和%是最是最重要的两个动态性能的指标。重要的两个动态性能的指标。4-2 一阶系统的时间响应一阶系统的时间响应一一.一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型结构图和闭环极点分布图为：结构图和闭环极点分布图为：T表征系统惯性大小的重要参数。表征系统惯性大小的重要参数。二二.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应曲线曲线例例1.一阶系统的结构图如图所示，若一阶系统的结构图如图所示，若kt=0.1,试试求系统的调节时间求系统的调节时间ts，如果要求，如果要求ts 0.1秒。秒。试求反馈系数应取多大？试求反馈系数应取多大？解：系统的闭环传递函数解：系统的闭环传递函数三三.一阶系统
15、的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应单位斜坡响应曲线如图所示：引入误差的概念：当时间t趋于无穷时，系统单位阶跃响应的实际稳态值与给定值之差。即：tTTr(t)=tc(t)0 一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差一阶系统单位斜坡响应存在稳态误差 ess=t-(t-T)=T 从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应从曲线上可知，一阶系统单位斜坡响应达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在达到稳态时具有和输入相同的斜率，只要在时间上滞后时间上滞后T,这就存在着这就存在着ess=T的稳态误差。的稳态误差。4-3 二阶系统分析二阶系统分析一一. 二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型 以前讲过的位置随动系统，就是一个
16、典以前讲过的位置随动系统，就是一个典型的二阶系统。型的二阶系统。 结构图可以简化为结构图可以简化为- 得到二阶系统传递函数的标准形式得到二阶系统传递函数的标准形式,即：即：式中，式中，为系统的阻尼比为系统的阻尼比 w wn n为无阻尼振荡频率，简称固有频率为无阻尼振荡频率，简称固有频率（也称自然振荡频率）（也称自然振荡频率）闭环特征方程为：闭环特征方程为：其特征根即为闭环传递函数的极点为其特征根即为闭环传递函数的极点为1.当当0 11时，特征方程具有两个不相等的负时，特征方程具有两个不相等的负实根，称为过阻尼状态。（如图实根，称为过阻尼状态。（如图c c）4.4.当当=0=0时，系统有一对共轭
17、纯虚根，系统时，系统有一对共轭纯虚根，系统单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或单位阶跃响应作等幅振荡，称为无阻尼或零阻尼状态。（如图零阻尼状态。（如图d d） 下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻下面，分过阻尼（包括临界阻尼）和欠阻尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶尼（包括零阻尼）两种情况，来研究二阶系统的单位阶跃响应。系统的单位阶跃响应。二、二阶系统的单位阶跃响应二、二阶系统的单位阶跃响应 1、过阻尼情况。、过阻尼情况。 当当11时，二阶系统的闭环特征方程时，二阶系统的闭环特征方程有两个不相等的负实根，这时闭环传递函有两个不相等的负实根，这时闭环传递函数可写为数可写为式中：式中： 过阻尼二
18、阶系统可以看作两个时间常过阻尼二阶系统可以看作两个时间常数不同的一阶系统的串联。数不同的一阶系统的串联。 当系统的输入信号为单位阶跃函数时，当系统的输入信号为单位阶跃函数时，则系统的输出量为则系统的输出量为拉氏反变换得：拉氏反变换得： 响应曲线如图：响应曲线如图： 起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到起始速度小，然后上升速度逐渐加大，到达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶达某一值后又减小，响应曲线不同于一阶系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主系统。过阻尼二阶系统的动态性能指标主要是调节时间要是调节时间ts，根据公式求，根据公式求ts的表达式很的表达式很困难，一般用计算机计算出的曲线确定困难，一
19、般用计算机计算出的曲线确定ts。过阻尼二阶系统调节时间特性过阻尼二阶系统调节时间特性从曲线可以看出，当从曲线可以看出，当 , (临界阻尼）时，临界阻尼）时， ,当当 ， 时，时， 当当 ， 时，时， 由此可见，当由此可见，当 ，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用，二阶系统可近似等效为一阶系统，调节时间可用3T1来估算。来估算。当当 时，临界阻尼二阶系统时，临界阻尼二阶系统 ，则，则 则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为则临界阻尼二阶系统的单位阶跃响应为 过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控过阻尼二阶系统的响应较缓慢，实际应用的控制系统一般不采用过阻尼系统。制系统一般不采用过阻尼系统。
20、 2.欠阻尼情况欠阻尼情况 当当0 1,二阶系统的闭环特征根为二阶系统的闭环特征根为 Wn无阻尼振荡频率或固有频率，也叫无阻尼振荡频率或固有频率，也叫自然振荡频率。自然振荡频率。 当系统输入为单位阶跃信号时，系统当系统输入为单位阶跃信号时，系统的输出量为的输出量为 曲线曲线： 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线是按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决按指数规律衰减到稳定值的，衰减速度取决于特征值实部于特征值实部-wwn n的大小，而衰减振荡的频的大小，而衰减振荡的频率，取决于特征根虚部率，取决于特征根虚部w wd d的大小。的大小。 角的定义角的定义 上图绘出了
21、不同上图绘出了不同值下，二阶系统的单位阶跃值下，二阶系统的单位阶跃响应曲线。直观地看，响应曲线。直观地看，越大，超调量越大，超调量%越小，越小，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，响应的振荡性越弱，平稳性越好；反之，越小，越小，振荡性越强，平稳性越差。当振荡性越强，平稳性越差。当0 0时，系统的零时，系统的零阻尼响应为：阻尼响应为： 等幅振荡曲线，振荡频率为等幅振荡曲线，振荡频率为w wn n w wn n称为无阻尼振荡频率。称为无阻尼振荡频率。 另外，若另外，若过大，如过大，如 ，系统响应迟缓，系统响应迟缓，调节时间调节时间t ts s长，快速性差；若长，快速性差；若过小，虽然响应的过小，虽
22、然响应的起始速度较快，起始速度较快，t tr r和和t tp p小，但振荡强烈，响应曲线小，但振荡强烈，响应曲线衰减缓慢，调节时间衰减缓慢，调节时间t ts s亦长。亦长。具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。具体讨论欠阻尼二阶系统动态性能指标。 1. 1.上升时间上升时间t tr r 由定义知：由定义知：tr为输出响应第一次到达稳态为输出响应第一次到达稳态值所需时间，所以应取值所需时间，所以应取n=1。 当当wn一定时，一定时，越小，越小，t tr r越小；越小； 当当一定时，一定时，wn越大，越大，tr越小。越小。2.峰值时间峰值时间tp对对式两边求导，并令其式两边求导，并令其=0，得：，得
23、：代入代入 得：得：tp为输出响应达到第一个峰值所对应的时间为输出响应达到第一个峰值所对应的时间所以应取所以应取n=1。于是于是当当wn一定时，一定时，越小，越小，t tp p越小；越小；当当一定时，一定时，w wn n越大，越大，t tp p越小。越小。3.3.超调量超调量% 所以超调量是阻尼比所以超调量是阻尼比的函数，与无阻尼振的函数，与无阻尼振荡频率荡频率w wn n的大小无关。的大小无关。%与与的关系曲线的关系曲线 增大，增大，%减小，通常为了获得良好的平稳减小，通常为了获得良好的平稳性和快速性，阻尼比性和快速性，阻尼比取在取在0.4-0.80.4-0.8之间之间, ,相相应的超调量应
24、的超调量25%-2.5%25%-2.5%。 4. 4.调节时间调节时间t ts s 根据定义：根据定义： 不易求出不易求出t ts s，但可得出，但可得出w wn nt ts s与与的关系曲线：的关系曲线：调节时间不连续的示意图调节时间不连续的示意图值的微小变化可引起调节时间值的微小变化可引起调节时间t ts s显著的变化。显著的变化。 当=0.68=0.68（5%5%误差带）或误差带）或=0.76=0.76（2%2%误误差带），调节时间差带），调节时间t ts s最短。所以通常的控制系最短。所以通常的控制系统都设计成欠阻尼的。统都设计成欠阻尼的。 曲线的不连续性，是由于曲线的不连续性，是由于
25、值的微小变化值的微小变化可引起调节时间显著变化而造成的。可引起调节时间显著变化而造成的。 近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线近似计算时，常用阻尼正弦振荡的包络线衰减到误差带之内所需时间来确定衰减到误差带之内所需时间来确定t ts s。 当当=0.8=0.8时时, ,常把常把 这一项这一项 去掉。写成去掉。写成 即即 在设计系统时在设计系统时, 通常由要求的最大超调量通常由要求的最大超调量决定决定, ,而调节时间则由无阻尼振荡频率而调节时间则由无阻尼振荡频率w wn n来来决定。决定。可近似表示为：可近似表示为：两边取对数两边取对数, ,得：得：5.5.振荡次数振荡次数N N N的定义的定义:
26、在调节时间内在调节时间内,响应曲线穿越其稳响应曲线穿越其稳态值次数的一半。态值次数的一半。 Td为阻尼振荡的周期。为阻尼振荡的周期。例例1:已知单位反馈系统的传递函数为已知单位反馈系统的传递函数为 设系统的输入量为单位阶跃函数设系统的输入量为单位阶跃函数,试计算放试计算放大器增益大器增益KA=200时时,系统输出响应的动态性系统输出响应的动态性能指标。当能指标。当KA增大到增大到1500时或减小到时或减小到KA =13.5,这时系统的动态性能指标如何这时系统的动态性能指标如何?解解:系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为: 则根据欠阻尼二阶系统动态性能指标的计算则根据欠阻尼二阶系统动态性能指
27、标的计算公式公式,可以求得可以求得: 由此可见由此可见,KA越大越大, 越小越小,w,wn n越大越大,t,tp p越小越小, ,%越大越大, ,而调节时间而调节时间t ts s无多大变化。无多大变化。系统工作在过阻尼状态系统工作在过阻尼状态, ,峰值时间峰值时间, ,超调量和振超调量和振荡次数不存在荡次数不存在, ,而调节时间可将二阶系统近似而调节时间可将二阶系统近似 为大时间常数为大时间常数T的一阶系统来估计的一阶系统来估计,即即: 调节时间比前两种调节时间比前两种KA大得多大得多,虽然响应虽然响应无超调无超调,但过渡过程缓慢但过渡过程缓慢,曲线如下：曲线如下： KAKA增大，增大， tp
28、 tp减小，减小， tr tr减小，可以提高响应的快速性，但超减小，可以提高响应的快速性，但超调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以调量也随之增加，仅靠调节放大器的增益，即比例调节，难以兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采兼顾系统的快速性和平稳性，为了改善系统的动态性能，可采用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。用比例微分控制或速度反馈控制，即对系统加入校正环节。例例2.下图表示引入了一个比例微分控制的二阶下图表示引入了一个比例微分控制的二阶系统系统,系统输出量同时受偏差信号系统输出量同时受偏差信号 和偏差信号微分和偏差信号微分 的双重控制。试分
29、析的双重控制。试分析比例微分校正对系统性能的影响。比例微分校正对系统性能的影响。系统开环传递函数系统开环传递函数闭环传递函数闭环传递函数: 等效阻尼比：等效阻尼比： 增大了系统的阻尼比增大了系统的阻尼比,可以使系统可以使系统动态过程的超调量下降动态过程的超调量下降,调节时间缩短调节时间缩短,然而然而开环增益开环增益k保持不变保持不变,它的引入并不影响系它的引入并不影响系统的稳态精度统的稳态精度,同时也不改变系统的无阻尼同时也不改变系统的无阻尼振荡频率振荡频率wn。而且。而且,比例微分控制使系统增比例微分控制使系统增加了一个闭环零点加了一个闭环零点s=-1/Td,前面给出的计算前面给出的计算动态
30、性能指标的公式不再适用。动态性能指标的公式不再适用。由于稳态由于稳态误差与开环增益成反比误差与开环增益成反比,因此适当选择开环因此适当选择开环增益和微分器的时间常数增益和微分器的时间常数Td, 即可减小稳态即可减小稳态误差误差,又可获得良好的动态性能。又可获得良好的动态性能。例例3.图图: 是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分是采用了速度反馈控制的二阶系统。试分析速度反馈校正对系统性能的影响。析速度反馈校正对系统性能的影响。解解:系统的开环传递函数为系统的开环传递函数为 式中式中kt为速度反馈系数为速度反馈系数. 为系统的开环增益。为系统的开环增益。 (不引入速度反馈开环增益不引入速度反馈开环
31、增益 ) k有所减小有所减小,增大了稳态误差增大了稳态误差,因此降低了系因此降低了系统的精度。统的精度。闭环传递函数闭环传递函数 显然显然 ，所以速度反馈同样可以增大系统，所以速度反馈同样可以增大系统的阻尼比的阻尼比,而不改变无阻尼振荡频率而不改变无阻尼振荡频率wn,因此因此,速度速度反馈可以改善系统的动态性能。反馈可以改善系统的动态性能。等效阻尼比：等效阻尼比： 在应用速度反馈校正时在应用速度反馈校正时,应适当增大原应适当增大原系统的开环增益系统的开环增益,以补偿速度反馈引起的开以补偿速度反馈引起的开环增益减小环增益减小,同时适当选择速度反馈系数同时适当选择速度反馈系数kt,使阻尼比使阻尼比t t增至适当数值增至适当数值, ,以减小系统的以减小系统的超调量超调量, ,提高系统的响应速度提高系统的响应速度, ,使系统满足使系统满足各项性能指标的要求。各项性能指标的要求。
