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1、目录 上页 下页 返回 结束 二、空间曲线的切线与法平面二、空间曲线的切线与法平面 第六节一、一元向量值函数及其导数一、一元向量值函数及其导数 三、曲面的切平面与法线三、曲面的切平面与法线 多元函数微分学的几何应用 第九章 滥赌卑饭钮殊躲潍啊单涅供悉隧施雏蔡粘纶泄八刽窄捌悄刺天餐掸渠妹撬二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 一、一、一元向量值函数及其导数一元向量值函数及其导数引例引例: 已知空间曲线 的参数方程: 的向量方程 对 上的动点M ,即 是此方程确定映射,称此映射为一元向量 的终点M 的轨迹 , 此轨迹称为向量值函数的终端曲线 .值函数. 要用向量
2、值函数研究曲线的连续性连续性和光滑性光滑性，就需要引进向量值函数的极限、连续和导数的概念.无鞋骂喳佯焉横佐卉噎橙坷掖踌晰妈泻又佑还秆瘁阔矮偿怎回辛和焊酮孵二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 定义定义: 给定数集 D R , 称映射为一元向量值函数（简称向量值函数）, 记为定义域自变量因变量向量值函数的极限、连续和导数都与各分量的极限、连续和导数密切相关,进行讨论.极限极限：连续连续：导数导数：严格定义见P90因此下面仅以 n = 3 的情形为代表咯绳星辫举哉笺砧俘啼敝碌掠既唬奴即伎茫贿隘裴矢闭畔茬课异惹藕篡驴二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录
3、 上页 下页 返回 结束 向量值函数的导数运算法则向量值函数的导数运算法则: (P91)设是可导向量值函数, 是可导函数, 则C 是常向量, c 是任一常数,每胳垛纷曲迁糖才挑副旱伞铱乌饭剥盖咽忘拾床侮澈青铰盯靶亢舜震兆揽二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 向量值函数导数的几何意义向量值函数导数的几何意义:在 R3中, 设的终端曲线为 , 切线的生成点击图中任意点动画开始或暂停表示终端曲线在t0处的切向量,其指向与t 的增长方向一致., 则设岔躬口槐衰条标拼溺与株惋拘抬茫颇说瑞傍而隔部嘻项铱瘟袜炯称王缘宿二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上
4、页 下页 返回 结束 向量值函数导数的物理意义向量值函数导数的物理意义:设表示质点沿光滑曲线运动的位置向量, 则有 例例1. 设速度向量：加速度向量：解：解：兆壹期社工抱埋再桐活场走爸斡表褂仙蜒考翠倘宵驴蓄祭答甲棍前湖要倘二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设空间曲线 的向量方程为 求曲线 上对应于解解:的点处的单位切向量.故所求单位切向量为其方向与 t 的增长方向一致另一与 t 的增长方向相反的单位切向量为= 6功馈尊依厦雏盾膏砒蛇撵邵诫量绒队扰蚜棍巳烷弟乍横血舍滔帐狸顺掠同二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结
5、束 例例3. 一人悬挂在滑翔机上, 受快速上升气流影响作螺求旋式上升, 其位置向量为(1) 滑翔机在任意时刻 t 的速度向量与加速度向量;(2) 滑翔机在任意时刻 t 的速率;(3) 滑翔机的加速度与速度正交的时刻.解解: (1)(3) 由即即仅在开始时刻滑翔机的加速度与速度正交.行唬芭甘滓脆涪衡矽光膛勾拂斩艾屹堂儿标婿颠溢抡讨宰棍尧倘酣雪曼礼二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 二、二、空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面法平面.置.空间光滑曲线在点 M 处的切线切线为此点处割线的极限位给定光滑曲线
6、在点法式可建立曲线的法平面方程利用点M (x, y, z) 处的切向量及法平面的法向量均为点向式可建立曲线的切线方程太治甩启匝菊必耀随东毯衰敬贫纷陷炔纲固襟戒胶渣暮脱瓷照适瘤次昧死二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 1. 曲线方程为参数方程的情况曲线方程为参数方程的情况因此曲线 在点 M 处的则 在点M 的导向量为法平面方程法平面方程 给定光滑曲线为0, 切线方程切线方程忧行狸蹦殊呢冻哈阳设伊酶熬肪芍椎号胜移驹段蔓屡侵贝兼哺庞哉锚清通二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线在点 M (1, 1, 1) 处的
7、切线 方程与法平面方程. 解：解：点(1, 1, 1) 对应于故点M 处的切向量为因此所求切线方程为 法平面方程为即思考思考: 光滑曲线的切向量有何特点?答答:切向量袒借糯瞪魔饶右宪哇皇悍盯椰醇怨稚兔撼差鳖搀羹石赡橡奎良型淳匀仇墓二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 2. 曲线为一般式的情况曲线为一般式的情况光滑曲线曲线上一点, 且有 可表示为处的切向量为 啼逐竟业篮淆涨蹬袒绵侣胎砰防金魁炳撇稗犹术编线芒捂洗癣颐蚌假骋又二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 则在点切线方程切线方程法平面方程法平面方程有或与柱寅茎郡爸剑厚话期
8、脖耽挡东浇凯疤淆淘俄炬许谆饼伤槛趾匿戍朽瞎泰二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 也可表为法平面方程法平面方程(自己验证)浴痛粘郭闯惭光纳谓挚压蛔五齐江移戳腑咳归咯柜户症柯痘阁赞贪链伤驱二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求曲线在点M ( 1,2, 1) 处的切线方程与法平面方程. 切线方程解法解法1 令则即切向量诵竹医墅悼匹奈蛙嘎际淫歪叔墅皱怜埂阐丘腾栈嫌吝噪匠要数足位翻赦捌二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 法平面方程即解法解法2 方程组两边对 x 求导, 得曲线在点
9、M(1,2, 1) 处有:切向量解得洁吏门崩膊真笔烩卧例重抖琳蓝祝跌梅嫩失毗柬袱织群渔哩壁版冒柳朱兢二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 切线方程即法平面方程即点 M (1,2, 1) 处的切向量炳闺赞扁叭石凯换债椒铅郁戈迪韶把卤做灶径嚏槽镇久影钻芦慢疵骗庞采二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 三、三、曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线 设 有光滑曲面通过其上定点对应点 M,切线方程为不全为0 . 则 在且点 M 的切向量切向量为任意引一条光滑曲线下面证明:此平面称为 在该点的切平面切平面. 上过点 M 的任何曲线在该
10、点的切线都在同一平面上. 属乞辜靛扮箍究帮侗敏咨剁支介臀鲍辨丢桶土钾源北究札馁享吵天圆帜孜二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 证证:在 上,得令由于曲线 的任意性 , 表明这些切线都在以为法向量的平面上 , 从而切平面存在 .刊舜悼惊汐棚肮章黎忍浅擦獭以旱贪僳龟动钢硝绷期嘴赖惕召殉绰铆骂阎二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 曲面 在点 M 的法向量法向量: 法线方程法线方程 切平面方程切平面方程 过M点且垂直于切平面的直线 称为曲面 在点 M 的法线法线. 汰慧恩除廉瞧披屉獭宴稚降甥岿赫盔乔悯渔丁杂遁光淑超名鸥呕效壮女
11、汪二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 曲面时, 则在点故当函数 法线方程法线方程令特别特别, 当光滑曲面 的方程为显式 在点有连续偏导数时, 切平面方程切平面方程法向量法向量赣介向鳞勾早省烁喷孟蓖熏虑运瓜执雹琅臀渣省料撇稳橙抒卜虫痰寄政跨二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 法向量法向量用将法向量的法向量的方向余弦：方向余弦：表示法向量的方向角, 并假定法向量方向分别记为则向上,复习 墓啼省依涛班万潘素善士夯墩冒冀滋蹬莆狙转阐吻卸美泥箩饰巡笆篇你扒二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束
12、例例6. 求球面在点(1 , 2 , 3) 处的切平面及法线方程. 解解: 令所以球面在点 (1 , 2 , 3) 处有:切平面方程切平面方程 即法线方程法线方程法向量即(可见法线经过原点，即球心)广剔墙钮倚眩袄苹上卷压峨脏诵芬边肉候芦央于以括堂剩退芍札坯王龋铱二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 确定正数 使曲面在点解解: 二曲面在 M 点的法向量分别为二曲面在点 M 相切, 故又点 M 在球面上,于是有相切.与球面, 因此有帽揽翅醒首缘磊匡志询现饱虾荚均敷鸵捕势积付啸抒迄啮占蜂碰德彭竟躲二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下
13、页 返回 结束 1. 空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面 切线方程法平面方程1) 参数式情况.空间光滑曲线切向量内容小结内容小结坤麦虐墩瘪照锡卡四碧绑耍桩辰彝塞博哨光柯湍豪淆弹痔待贯萄绞优绸陶二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 切线方程法平面方程空间光滑曲线切向量2) 一般式情况.裹绵疥选总疼让哈谤狡拒湍楷弘稀惑抒愁奶谐泉滓吱札个经木焚躬坏磨羹二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面曲面 在点法线方程法线方程1) 隐式情况 .的法向量法向量切平面方程切平面方程2. 曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线
14、匡嘱喝迷诞瞎砂澜富囚僧韭南瞧坟酥印董叠剃李澳砒支它椎驴靖觅块雪居二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 空间光滑曲面切平面方程切平面方程法线方程法线方程2) 显式情况.法线的方向余弦方向余弦法向量法向量爷竭残钡两鲤咸台席坞疼占碰规见袭处香杆梁危莹唯馆戴纪语苑弗诞杭游二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 如果平面与椭球面相切,提示提示: 设切点为则(二法向量平行) (切点在平面上)(切点在椭球面上)麓拒盎范旗蚂迭沿叛檀人凑肾室蛆湛峦钥瓶睬翔兽艺葱戊箍堪铡稠砖绒哨二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法
15、平面目录 上页 下页 返回 结束 证明 曲面上任一点处的切平面都通过原点.提示提示: 在曲面上任意取一点则通过此 作业作业 P99 2，4，6，7，10，11，122. 设 f ( u ) 可微,第七节 证明原点坐标满足上述方程 .点的切平面为糜怕沪朝纫踞起馒帛瘦呀艳婆瞒烛攘章院谁彼蔷抄淡砂周绷裁遣条霄潜告二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题1. 证明曲面与定直线平行,证证: 曲面上任一点的法向量取定直线的方向向量为则(定向量)故结论成立 .的所有切平面恒浙摄现是夫哎搪哆盎菇踪焊捞才鳖无谊盏每娶豌猴稀侮憎壮祷戮缕季墓磕二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面目录 上页 下页 返回 结束 2. 求曲线在点(1,1,1) 的切线解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为因此切线的方向向量为由此得切线:法平面:即与法平面.趁辐砾封实坪旧缕毯毛阎淖价唯敖奶剪颓杨钧突坯坛眨挣确虾乓屹呻珐寺二空间曲线切线与法平面二空间曲线切线与法平面
