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1、1.1.恒等变换矩阵恒等变换矩阵( (单位矩阵单位矩阵) )温故知新温故知新恒等变换恒等变换恒等变换恒等变换是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点是指对平面上任何一点( ( ( (向量向量向量向量) ) ) )或图形施以或图形施以或图形施以或图形施以矩阵矩阵矩阵矩阵 对应的变换对应的变换对应的变换对应的变换, , , ,都把自己变为自己都把自己变为自己都把自己变为自己都把自己变为自己. . . .2.2.伸压变换矩阵伸压变换矩阵 伸压变换伸压变换伸压变换伸压变换 矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿矩阵是指将图形作沿x x轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩
2、轴方向伸长或压缩轴方向伸长或压缩, , , , 或沿或沿或沿或沿y y轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵轴方向伸长或压缩的变换矩阵. . . . 伸压变换温故知新温故知新求圆求圆C：在矩阵在矩阵作用下变换所得的曲线作用下变换所得的曲线.两个几何图形有何特点？两个几何图形有何特点？问题情境问题情境 O 已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片已知在平面直角坐标的第一象限有一张汽车图片F, F, F, F, 将它做关于将它做关于将它做关于将它做关于x x轴、轴、轴、轴、
3、y y轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换轴和坐标原点对称的变换, , , ,分别得分别得分别得分别得到图片到图片到图片到图片F1 , F2 , F3 ,F1 , F2 , F3 ,F1 , F2 , F3 ,F1 , F2 , F3 ,这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗这些变换能用矩阵来刻画吗? ? ? ? 问题情境问题情境 轴对称的几问题1：若将一个平面图形在矩阵的作用变换下得到关于何图形，则如何来求出这个矩阵呢？变换矩阵为变换矩阵为问题2：能否再找出其它类似的变换矩阵吗？对称的图形；对称的图形；对称的图形；对称的图形；对
4、称的图形；对称的图形；对称的图形；对称的图形；把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于x x轴对称的图形；轴对称的图形；轴对称的图形；轴对称的图形； (1)把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于原点对称的图形；原点对称的图形；原点对称的图形；原点对称的图形；(2)把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于直线直线直线直线 (3)把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关
5、于把一个几何图形变换为与之关于把一个几何图形变换为与之关于直线直线直线直线 (4)一般地，称形如一般地，称形如 这样将一个平面图形这样将一个平面图形这样将一个平面图形这样将一个平面图形F F F F变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的变为关于定直线或定点对称的平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵平面图形的变换矩阵, , , ,称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的称之为反射变换矩阵，对应的变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（变换叫做反射变换，其中（3 3 3
6、3）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余）叫做中心反射，其余叫轴反射叫轴反射叫轴反射叫轴反射. . . .其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点其中定直线叫做反射轴，定点称为反射点. . . .构建数学构建数学例例1 1 求出曲线求出曲线 在矩阵在矩阵 作用下变换所得的图形作用下变换所得的图形. . -11O1数学应用数学应用例例2.2.求出直线求出直线 在矩阵在矩阵 作用下变换得到的图形作用下变换得到的图形. . 1O1数学应用数学应用变变: : 例例3.3.求直线求直线 在矩阵在矩阵 作用下变换得到
7、的图形作用下变换得到的图形. . 思考思考1 1：若矩阵：若矩阵 改为矩阵改为矩阵 则变换得到的图形是什么？则变换得到的图形是什么？ 思考思考2 2：我们从中能猜想什么结论？：我们从中能猜想什么结论？数学应用数学应用一般地一般地一般地一般地, , , ,二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成二阶非零矩阵对应的变换把直线变成直线直线直线直线. . . .或点或点建构数学建构数学MM(l1a a+l2b b) = l1MMa a+l2MMb b 上式表明，在矩阵上式表明，在矩阵MM的作用下，直线的作用下，直线l l1 1a a+l+l2 2
8、b b 变成直线变成直线 l l1 1MMa a+l+l2 2MMb. b. 这种把直线变成直线的变换，通常叫做这种把直线变成直线的变换，通常叫做线性变换线性变换. . 反之，平面上的线性变换可以用矩阵来反之，平面上的线性变换可以用矩阵来表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的表示，但二阶矩阵不能刻画所有平面图形的性变换性变换. .(即形如即形如 的几何变换叫的几何变换叫做线性变换做线性变换)建构数学建构数学当当a=b=c=d=0时时,把平面上所有点把平面上所有点都变换到坐标原点都变换到坐标原点(0,0)，此时为线性变换的，此时为线性变换的退化情况退化情况. 因此，在研究平面上的多边形或直线在因
9、此，在研究平面上的多边形或直线在矩阵的变换作用后形成的图形时，矩阵的变换作用后形成的图形时，只需考察只需考察顶顶(端端)点的变化结果点的变化结果即可即可.2、求出曲线、求出曲线 在矩阵在矩阵 作用下作用下变换得到的曲线变换得到的曲线.课堂反馈课堂反馈1、求平行四边形、求平行四边形ABCD在矩阵在矩阵 到的几何图形，并给出图示，其中到的几何图形，并给出图示，其中 作用下变换得作用下变换得3、求出、求出ABC在矩阵在矩阵 作用下变换得到的图形作用下变换得到的图形,并给出图示，其中并给出图示，其中 变式训练变式训练1.设设 , 若若 所定义的线性变所定义的线性变变换成另一直线变换成另一直线 求求a，
10、b的值的值. 换把直线换把直线 2.二阶矩阵二阶矩阵M对应的变换将对应的变换将 (1,-1)与与(-2,1 ) 分别分别变换成变换成(5,7)与与(-3,6) （1）求矩阵）求矩阵M （2）求直线）求直线 在此变换下所变成的在此变换下所变成的的解析式的解析式. 直线直线变式训练变式训练3.求直线求直线x=2在二阶矩阵在二阶矩阵 对应的对应的变换下所变成的图形变换下所变成的图形.变式训练变式训练问题情境问题情境 假设大风车的叶片在同一平面内转动，以假设大风车的叶片在同一平面内转动，以旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图旋转中心为坐标原点建立直角坐标系，如上图.OxyOxya aq qP(x，
11、y)P(x，y) 已知大风车上一点已知大风车上一点P(x，y)，它围绕，它围绕旋转中旋转中心心O逆时针旋转逆时针旋转q q角到另角到另外一点外一点P(x，y).问题情境问题情境 因此，旋转前后叶因此，旋转前后叶片上的点的位置变化可片上的点的位置变化可以看做是一个几何变换以看做是一个几何变换.思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？思考：怎样用矩阵来刻画这一变换？r旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转矩阵是指将平面图形围绕原点逆时针旋转的变换矩阵的变换矩阵的变换矩阵的变换矩阵. . . .其中其中其中
12、其中称为旋转角称为旋转角称为旋转角称为旋转角, , , ,点点点点OO为旋转中心为旋转中心为旋转中心为旋转中心. . . .旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换构建数学构建数学旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换M=M=旋转变换矩阵旋转变换矩阵旋转变换矩阵旋转变换矩阵主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两主对角线上的两个数相等，副对角线上的两个数互为相反数个数互为相反数个数互为相反数个数互为相反数, ,且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为且每行、每列的两个数的平方和为1.1
13、.另外中另外中另外中另外中心对称与旋转心对称与旋转心对称与旋转心对称与旋转1801800 0是同一变换是同一变换是同一变换是同一变换, , 要注意旋转变换中旋转方向要注意旋转变换中旋转方向要注意旋转变换中旋转方向要注意旋转变换中旋转方向为逆时针为逆时针为逆时针为逆时针. .旋转变换旋转变换旋转变换旋转变换只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形只改变几何图形的相对位置，不会改变几何图形的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转
14、过程中保持不变，图形的旋转由旋的形状，旋转中心在旋转过程中保持不变，图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定转中心和旋转角度决定转中心和旋转角度决定转中心和旋转角度决定. . 旋转变换与反射变换有什旋转变换与反射变换有什么异同点？么异同点？绕定点旋转绕定点旋转绕定点旋转绕定点旋转1801800 0的变换相当于关于定点作中心反射变换的变换相当于关于定点作中心反射变换的变换相当于关于定点作中心反射变换的变换相当于关于定点作中心反射变换. .数学应用数学应用例例例例1. 1.已知已知已知已知A A（0 0，0 0）、）、）、）、B B（2 2，0 0）、）、）、）、C C（2 2，1 1）、）、）、）、D
15、 D（0 0，1 1）试求矩形试求矩形试求矩形试求矩形ABCDABCD绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转90900 0后所得到的图形，并后所得到的图形，并后所得到的图形，并后所得到的图形，并求出其顶点坐标，画出求出其顶点坐标，画出求出其顶点坐标，画出求出其顶点坐标，画出示意图示意图示意图示意图. .变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形变式：将条件改为矩形ABCDABCD绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转绕原点顺时针旋转30300 0. .例例2求圆求圆C：绕原点逆时针旋转绕原点逆时针旋转300的旋的旋转变换所得的曲线，并写转变换所得的曲线，并写出变换矩阵出变换矩阵.练习练习1：矩阵：矩阵将平面上的点作怎样的变换？将平面上的点作怎样的变换？练习练习2：点（：点（1，y）在旋转变换矩阵）在旋转变换矩阵的作用下得到点的作用下得到点(x,2),求求m,n,x,y的值的值本课小结矩阵 通常叫做旋转变换矩阵.对应的变换称做旋转变换.其中的角q做旋转角.点O叫做旋转中心. 旋转变换只改变几何图形的位置，不会改变几何图形的形状.图形的旋转由旋转中心和旋转角度决定.本节内容中心为坐标原点作业：作业：P346、8
