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1、7 7 单叶双曲面与双曲抛物面单叶双曲面与双曲抛物面的直母线的直母线解析几何解析几何 Chapter 4Contents一、一、一、一、直纹曲面的概念直纹曲面的概念直纹曲面的概念直纹曲面的概念二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质平面、柱面、平面、柱面、锥面有什么共锥面有什么共同的特征呢同的特征呢?一、直纹曲面的概念
2、一、直纹曲面的概念柱面和锥面都是直纹曲面；柱面和锥面都是直纹曲面；柱面和锥面都是直纹曲面；柱面和锥面都是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面；椭球面不是直纹曲面；定义定义定义定义由一族直线所生成的曲面叫做由一族直线所生成的曲面叫做由一族直线所生成的曲面叫做由一族直线所生成的曲面叫做直纹曲面直纹曲面直纹曲面直纹曲面( (ruled surfaceruled surface) )，生成曲面的那族直线叫做该曲面的生成曲面的那族直线叫做该曲面的生成曲面的那族直线叫做该曲面的生成曲面的那族直线叫做该曲面的一族直母线一族直母线一族直母线一族直母线. .椭圆抛物面椭圆抛物面不
3、是直纹曲面不是直纹曲面不是直纹曲面不是直纹曲面. .平面是直纹曲面；平面是直纹曲面；平面是直纹曲面；平面是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面；双叶双曲面不是直纹曲面；有没有更复杂的直有没有更复杂的直纹曲面呢？有哪些纹曲面呢？有哪些二次曲面可能是直二次曲面可能是直纹曲面呢纹曲面呢?例例例例( ( ( (教材教材教材教材P153)P153)P153)P153) 求直线求直线求直线求直线 绕直线绕直线绕直线绕直线 旋转所旋转所旋转所旋转所得的旋转曲面的方程得的旋转曲面的方程得的旋转曲面的方程得的旋转曲面的方程. . . .单叶旋转双曲面单叶旋转双曲面Ba
4、ck直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型直纹曲面模型单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面二、单叶双曲面是直纹曲面二、单叶双曲面是直纹曲面 如果曲面如果曲面如果曲面如果曲面 S S 上存在一族直线，上存在一族直线，上存在一族直线，上存在一族直线，(2)(2)(2)(2) 直线族中的每条直线都在曲面直线族中的每条直线都在曲面直线族中的每条直线都在曲面直线族中的每条直线都在曲面 S S 上上上上. .(1)(1)(1)(1) 曲面曲面曲面曲面 S S 上的每个点必定在这个上的每个点必定在这个上的每个点必定在这个上的每个点必定在这个族中的某一条直线上
5、族中的某一条直线上族中的某一条直线上族中的某一条直线上; ;分析分析分析分析: :推论推论1 1 对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线对于单叶双曲面上的点，两族直母线中各有一条直母线通过这点通过这点. .BackO Ox xz zy y三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面三、双曲抛物面是直纹曲面双曲抛物面双曲抛物面悉尼歌剧院悉尼歌剧院悉尼歌剧院悉尼歌剧院四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质四、单叶双曲面与双曲抛物面的性质定理定理4.7.14.7.1 单叶双曲面上单叶双曲面上异族异族的任意两直母线必共面，而双曲抛的任意两直母线必共面，而双曲抛物面上物面
6、上异族异族的任意两直母线必相交的任意两直母线必相交. .定理定理4.7.24.7.2 单叶双曲面或双曲抛物面上单叶双曲面或双曲抛物面上同族同族的任意两直母线总的任意两直母线总是异面直线，而且双曲抛物面是异面直线，而且双曲抛物面同族同族的全体直母线平行于同一平的全体直母线平行于同一平面面. .例题例题例例例例1 1 1 1 求过单叶双曲面求过单叶双曲面求过单叶双曲面求过单叶双曲面 上的点上的点上的点上的点 的直母线的方程的直母线的方程的直母线的方程的直母线的方程. . . .分析分析分析分析: :将将将将（6 6，2 2，8 8）代入上述直母线族方程，代入上述直母线族方程，代入上述直母线族方程，
7、代入上述直母线族方程， 求得求得求得求得 w , u , t , v.w , u , t , v.例题例题例例例例2 2 2 2 试证明双曲抛物面试证明双曲抛物面试证明双曲抛物面试证明双曲抛物面 上的两直母线直交时，其上的两直母线直交时，其上的两直母线直交时，其上的两直母线直交时，其交点必在一双曲线上交点必在一双曲线上交点必在一双曲线上交点必在一双曲线上. . . .例例例例3 3 3 3 已知空间两异面直线间的距离为已知空间两异面直线间的距离为已知空间两异面直线间的距离为已知空间两异面直线间的距离为 ，夹角为，夹角为，夹角为，夹角为 ，过这两直，过这两直，过这两直，过这两直线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的线分别作平面，并使这两平面相互垂直，求这样的两平面交线的轨迹轨迹轨迹轨迹. . . .
