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1、精 品 数 学 课 件北 师 大 版 向量的有关概念向量的有关概念 1.1.数量与向量的区别：数量与向量的区别：数数量量只只有有大大小小，是是一一个个代代数数量量，可可以以进进行行代代数数运运算算、比比较较大大小小；向向量量包包含含大大小小和和方方向向两两个个要要素素，具具有有双双重重性性，不不能能比比较较大小大小. . 1. 1. 的方向具有任意性，且的方向具有任意性，且 与任一向量平与任一向量平行；行；2.2.单位向量不一定相等；单位向量不一定相等；3.3.向量可以借助有向线段来表示，但有向线段不是向量向量可以借助有向线段来表示，但有向线段不是向量. . 【例例1 1】如图所示，如图所示，
2、ABCABC的三边均不的三边均不相等，相等，E E、F F、D D分别是分别是ACAC、ABAB、BCBC的的中点中点. .(1)(1)写出与写出与 共线的向量；共线的向量；(2)(2)写出与写出与 的模相等的向量；的模相等的向量；(3)(3)写出与写出与 相等的向量相等的向量. .【审题指导审题指导】本题考查平面向量的有关概念本题考查平面向量的有关概念共线向量、共线向量、相等向量及模，求解时可借助平面几何的有关知识，并借助相等向量及模，求解时可借助平面几何的有关知识，并借助上述概念求解上述概念求解. .【规范解答规范解答】EE、F F分别是分别是ACAC、ABAB的中点，的中点，EFBCEF
3、BC，且，且又又D D是是BCBC的中点，的中点，EF=BD=DC.EF=BD=DC.(1)(1)与与 共线的向量有：共线的向量有：(2)(2)与与 的模相等的向量有：的模相等的向量有：(3)(3)与与 相等的向量有：相等的向量有： 向量的线性运算向量的线性运算1.1.向向量量的的线线性性运运算算包包括括向向量量的的加加法法、减减法法及及数数乘乘，其其中中向向量量的的加加法法、减减法法的的几几何何意意义义是是向向量量进进行行线线性性运运算算的的考考查查前前提提和和基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则基础，学习时务必掌握好三角形法则和平行四边形法则. .2.2.向向量量共共线线定定理
4、理和和平平面面向向量量基基本本定定理理是是进进行行向向量量合合成成与与分分解解的的核核心心，是是向向量量线线性性运运算算的的关关键键所所在在，常常应应用用它它们们解解决决平平面面几何中的共线问题、共点问题几何中的共线问题、共点问题. . 1.1.在在向向量量的的线线性性运运算算中中，不不共共线线向向量量都都可可以以采采用三角形法则用三角形法则首尾相接的方式求解首尾相接的方式求解. .2.2.在向量的表示中在向量的表示中, ,基底的选取直接影响运算的繁简基底的选取直接影响运算的繁简. .【例例2 2】如图，如图，O O是平行四边形是平行四边形ABCDABCD外一点，用外一点，用表示表示 【审题指
5、导审题指导】本题考查向量的线性表示，求解时立足向量的本题考查向量的线性表示，求解时立足向量的平行四边形法则和三角形法则平行四边形法则和三角形法则. .【规范解答规范解答】四边形四边形ABCDABCD是平行四边形，设其对角线是平行四边形，设其对角线ACAC、BDBD相交于点相交于点E,E,由向量加法的平行四边形法则由向量加法的平行四边形法则, ,可知可知 数量积的运算数量积的运算数数量量积积的的运运算算是是向向量量运运算算的的核核心心，利利用用向向量量的的数数量量积积可可以以解解决以下问题：决以下问题：1.1.设设2.2.求向量的模及夹角问题求向量的模及夹角问题(1)(1)设设 则则 或或(2)
6、(2)两向量夹角的余弦两向量夹角的余弦(0)(0) (1) (1) 是两个向量的数量积，书写时要严格注意是两个向量的数量积，书写时要严格注意“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“”代替；代替；(2)(2)向量共线与垂直的坐标表示要分清向量共线与垂直的坐标表示要分清. .【例例3 3】(2011(2011东台高一检测东台高一检测) )已知已知(1)(1)当当 与与 平行时，求平行时，求x x的值；的值；(2)(2)当当 与与 夹角为锐角时，求夹角为锐角时，求x x的范围的范围. .【审题指导审题指导】先求出先求出 及及 的坐标，利用向量平行的坐
7、标，利用向量平行的条件求的条件求x x的值；的值； 与与 夹角为锐角，则夹角为锐角，则cos cos 0 0但要排除但要排除 与与 共线同向的特殊情况共线同向的特殊情况. .【规范解答规范解答】(1)(1)由题意得：由题意得：由由 与与 平行得：平行得：(2-2x)(2-2x)8-(-1)8-(-1)(4+x)=0, (4+x)=0, (2)(2)由题意得：由题意得： 即即x x-3-3且且 向量的应用向量的应用 1.1.向量的应用向量的应用2.2.向量共线与几何图形中平行的区别与联系向量共线与几何图形中平行的区别与联系(1)(1)向向量量的的平平行行或或共共线线指指的的是是表表示示两两个个向
8、向量量的的有有向向线线段段所所在在的的直线平行或重合，因此向量中的共线与平行是同一概念直线平行或重合，因此向量中的共线与平行是同一概念. .(2)(2)平平面面几几何何中中的的“共共线线”、“平平行行”具具有有不不同同的的含含义义. .共共线线指指的的是是三三个个及及三三个个以以上上的的点点在在同同一一直直线线上上，而而平平行行的的直直线线或或线段一定不会重合线段一定不会重合. .(3)(3)在平面几何中在平面几何中“平行平行”具有传递性，而在平面向量中，平具有传递性，而在平面向量中，平行不一定具有传递性行不一定具有传递性. .如如 且且 均为非零向量，则均为非零向量，则 不一定平行于不一定平
9、行于 , ,若若 但但 均为非零向量，则必均为非零向量，则必有有【例例4 4】在在ABCABC中，已知向量中，已知向量 满足满足且且 则则ABCABC为为( )( )(A)(A)三边均不相等的三角形三边均不相等的三角形(B)(B)直角三角形直角三角形(C)(C)等腰非等边三角形等腰非等边三角形(D)(D)等边三角形等边三角形【审题指导审题指导】明确明确 及及 的含义，结合向量的平行四的含义，结合向量的平行四边形法则及数量积的定义对三角形的形状作出判断边形法则及数量积的定义对三角形的形状作出判断. .【规范解答规范解答】选选D.D.非零向量满足非零向量满足即角即角A A的平分线垂直于的平分线垂直
10、于BCBC，AB=ACAB=AC，又又 所以所以ABCABC为等边三角形为等边三角形. .1.1.已知已知 向量向量 与与 垂直，则实垂直，则实数数的值为的值为( )( )(A)- (B) (C)- (D)(A)- (B) (C)- (D)【解析解析】选选A.A.向量向量因为两个向量垂直，故有因为两个向量垂直，故有( (331 1，2)2)( (1,2)1,2)0 0，即，即331 1440 0，解得：，解得：2.(20112.(2011江门模拟江门模拟) )设向量设向量 下列结论中，下列结论中，正确的是正确的是( )( )【解析解析】选选D. D. 3 3(2011(2011哈尔滨高一检测哈
11、尔滨高一检测) )已知向量已知向量 不共线，不共线， 且且 则下列结论中正确的是则下列结论中正确的是( )( )(A)(A)向量向量 与与 垂直垂直(B)(B)向量向量 与与 共线共线(C)(C)向量向量 与与 垂直垂直 (D)(D)向量向量 与与 共线共线【解析解析】选选A. A. 向量向量 与与 垂直垂直. .4.4.如图，在如图，在ABCABC中，中，ADABADAB， 则则=( )=( )(A) (B) (A) (B) (C) (D) (C) (D) 【解析解析】选选D. D. 5.5.已知已知 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 满足满足 则
12、则 的最大值是的最大值是( )( )(A)1 (B)2 (C) (D) (A)1 (B)2 (C) (D) 【解析解析】选选C. C. 展开展开 则则 的最大值是的最大值是 . .6.(20116.(2011锦州高一检测锦州高一检测) )如图，在如图，在ABCABC中，已知中，已知AB=2AB=2，BC=3BC=3，ABC=60ABC=60，AHBCAHBC于于H H，M M为为AHAH的中点，若的中点，若 则则+=_. +=_. 【解析解析】AB=2,BC=3AB=2,BC=3，ABC=60ABC=60所以所以BH=1BH=1，M M为为AHAH的中点，所以的中点，所以答案：答案： 7.7.
13、如图，正六边形如图，正六边形ABCDEFABCDEF中，有下列四个命题：中，有下列四个命题：其中真命题的代号是其中真命题的代号是_(_(写出所有真命题的代号写出所有真命题的代号) )【解析解析】 (A)(A)对对; ;取取ADAD的中点的中点O,O,则则 (B)(B)对对; ;设设 则则而而 (C)(C)错错; ;又又 (D)(D)对对真命题的代号是真命题的代号是(A)(A)，(B)(B)，(D)(D)答案：答案：(A)(A)，(B)(B)，(D)(D)8.(20118.(2011济南高一检测济南高一检测) )在在 ABCDABCD中，向量中，向量 (1)(1)若向量若向量 与向量与向量 垂直
14、，求实数垂直，求实数k k的值的值; ;(2)(2)若若 求实数求实数m,n.m,n.【解析解析】(1)(1)由题意可知由题意可知即即(10,-1)(10,-1)(3+k,-1+2k)=0(3+k,-1+2k)=030+10k+1-2k=030+10k+1-2k=0(2) (2) 又又(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2)(-2,3)=m(-6,2)+n(1,2)解得解得9.9.若非零向量若非零向量 满足满足 证明证明: : 【解题提示解题提示】只须证明只须证明【证明证明】由由得得: : 展开得展开得: : 故故 10.10.已知已知(1)(1)若若 与与 的夹角为的夹角为 求求(2)(2)若若 与与 垂直，求垂直，求 与与 的夹角的夹角. .【解析解析】(1)(1)(2) (2) 与与 垂直，垂直，设设 与与 的夹角为的夹角为.所以所以 与与 的夹角为的夹角为
