【中考数学分项真题】图形的相似（共55题）-（解析版）

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1、12021 年中考数学真题分项汇编【全国通用】(第 01 期) 专题专题 2222 图形的相似图形的相似( (共共 5555 题题) )姓名:_ 班级:_ 得分:_一、单选题一、单选题1 1(2021(2021浙江温州市浙江温州市中考真题中考真题) )如图如图, ,图形甲与图形乙是位似图形图形甲与图形乙是位似图形, ,O是位似中心是位似中心, ,位似比为位似比为2:3, ,点点A, ,B的对应点分别为点的对应点分别为点A, ,B若若6AB , ,则则A B 的长为的长为( ( ) )A A8 8B B9 9C C1010D D1515【答案答案】B【分析】直接利用位似图形的性质得出线段比进而得

2、出答案【详解】解:图形甲与图形乙是位似图形,O是位似中心,位似比为2:3,23ABA B ,6AB ,623A B ,9A B 故答案为:B【点睛】此题主要考查了位似变换,正确掌握位似图形的性质是解题关键2 2(2021(2021山东东营市山东东营市中考真题中考真题) )如图如图, ,ABC:中中, ,A A、B B两个顶点在两个顶点在x x轴的上方轴的上方, ,点点C C的坐标是的坐标是(1,0),(1,0),以以点点C C为位似中心为位似中心, ,在在x x轴的下方作轴的下方作ABC:的位似图形的位似图形A B C V, ,并把并把ABC:的边长放大到原来的的边长放大到原来的 2 2 倍倍

3、, ,设设点点B B的横坐标是的横坐标是a a, ,则点则点B B的对应点的对应点B的横坐标是的横坐标是( ( ) )2A A23aB B21aC C22aD D22a【答案答案】A【分析】设点B的横坐标为x,然后表示出BC、B C的横坐标的距离,再根据位似比列式计算即可得解.【详解】设点B的横坐标为x,则B、C间的横坐标的差为1a,B、C间的横坐标的差为1x ,ABC:放大到原来的2倍得到A B C:,211ax ,解得:23xa .故选:A.【点睛】本题考查了位似变换,坐标与图形的性质,根据位似比的定义,利用两点间的横坐标的距离等于对应边的比列出方程是解题的关键.3 3(2021(2021

4、浙江绍兴市浙江绍兴市中考真题中考真题) )如图如图, ,树树ABAB在路灯在路灯O O的照射下形成投影的照射下形成投影ACAC, ,已知路灯高已知路灯高5mPO , ,树影树影3mAC , ,树树ABAB与路灯与路灯O O的水平距离的水平距离4.5mAP , ,则树的高度则树的高度ABAB长是长是( ( ) )3A A2mB B3mC C3m2D D10m3【答案答案】A【分析】利用相似三角形的性质得到对应边成比例,列出等式后求解即可【详解】解:由题可知,CABCPO:,ABACOPCP,3534.5AB, 2ABm,故选 A【点睛】本题考查了相似三角形的判定与应用,解决本题的关键是能读懂题意

5、,建立相似关系,得到对应边成比例,完成求解即可,本题较基础,考查了学生对相似的理解与应用等4 4(2021(2021四川遂宁市四川遂宁市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在ABCABC中中, ,点点D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC的中点的中点, ,若若ADEADE的面积是的面积是3 3cmcm2 2, ,则四边形则四边形BDECBDEC的面积为的面积为( ( ) )A A1212cmcm2 2B B9 9cmcm2 2C C6 6cmcm2 2D D3 3cmcm2 2【答案答案】B【分析】由三角形的中位线定理可得DE=12BC,DEBC,可证ADEABC,利用相似三角形的性质

6、,即可求解【详解】解:点D,E分别是边AB,AC的中点,4DE=12BC,DEBC,ADEABC,21()4ADEABCSDESBC,SADE=3,SABC=12,四边形BDEC的面积=12-3=9(cm2),故选:B【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形中位线定理,掌握相似三角形的性质是解题的关键5 5(2021(2021重庆中考真题重庆中考真题) )如图如图,ABCABC与与BEFBEF位似位似, ,点点O O是它们的位似中心是它们的位似中心, ,其中其中OEOE=2=2OBOB, ,则则ABCABC与与DEFDEF的周长之比是的周长之比是( ( ) )A A1:21:2B B1

7、:41:4C C1:31:3D D1:91:9【答案答案】A【分析】利用位似的性质得ABCDEF,OB:OE= 1:2,然后根据相似三角形的性质解决问题【详解】解:ABC与DEF位似,点O为位似中心ABCDEF,OB:OE= 1:2,ABC与DEF的周长比是:1:2故选:A【点睛】本题主要考查了位似变换,正确掌握位似图形的性质是解题关键56 6(2021(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题) )如图如图, ,点点P P是函数是函数110,0kykxx的图像上一点的图像上一点, ,过点过点P P分别作分别作x x轴和轴和y y轴的垂线轴的垂线, ,垂足分别为点垂足分别为点A A、B B

8、, ,交函数交函数220,0kykxx的图像于点的图像于点C C、D D, ,连接连接OC、OD、CD、AB, ,其中其中12kk, ,下列结论下列结论:/ /CDAB;122OCDkkS:;21212DCPkkSk:, ,其中正确的是其中正确的是( ( ) )A AB BC CD D【答案答案】B【分析】设P(m,1km),分别求出A,B,C,D的坐标,得到PD,PC,PB,PA的长,判断PDPB和PCPA的关系,可判断;利用三角形面积公式计算,可得PDC的面积,可判断;再利用OCDOAPBOBDOCADPCSSSSS计算OCD的面积,可判断【详解】解:PBy轴,PAx轴,点P在1kyx上,

9、点C,D在2kyx上,设P(m,1km),则C(m,2km),A(m,0),B(0,1km),令12kkmx,则21k mxk,即D(21k mk,1km),6PC=12kkmm=12kkm,PD=21k mmk=121m kkk,121121m kkkkkPDPBmk,121211kkkkPCmkPAkm,即PDPCPBPA,又DPC=BPA,PDCPBA,PDC=PBC,CDAB,故正确;PDC的面积=12PDPC=1212112m kkkkkm=21212kkk,故正确;OCDOAPBOBDOCADPCSSSSS=112221222112kkkkkk=2121122kkkkk= 2112

10、1112222kkkkkkk=22112211222kkkkkk=221212kkk,故错误;故选 B【点睛】此题主要考查了反比例函数的图象和性质,k的几何意义,相似三角形的判定和性质,解题关键是表示出各点坐标,得到相应线段的长度7 7(2021(2021江苏连云港市江苏连云港市中考真题中考真题) )如图如图, ,ABC:中中, ,BDAB, ,BD、AC相交于点相交于点D D, ,47ADAC, ,2AB , ,150ABC, ,则则DBC的面积是的面积是( ( ) )7A A3 314B B9 314C C3 37D D6 37【答案答案】A【分析】过点C作CEAB的延长线于点E,由等高三

11、角形的面积性质得到:3:7DBCABCSS:,再证明ADBACEV: V,解得47ABAE,分别求得AE、CE长,最后根据ACE:的面积公式解题【详解】解:过点C作CEAB的延长线于点E,DBC:与ADB是等高三角形,43:4:377ADBDBCSSAD DCACAC:3:7DBCABCSS:BDABADBACEV: V22416749ADBACEACSADSACAC:47ABAE2AB 72AE873222BE150 ,ABCQ18015030CBE 3tan302CEBE设4 ,3ADBDBCSx Sx:494ACESx:491734222x314x3 3314x,故选:A【点睛】本题考查

12、相似三角形的判定与性质、正切等知识,是重要考点,掌握相关知识是解题关键8 8(2021(2021浙江绍兴市浙江绍兴市中考真题中考真题) )如图如图, ,Rt ABC:中中, ,90BAC, ,1cos4B , ,点点D D是边是边BCBC的中点的中点, ,以以ADAD为底边在其右侧作等腰三角形为底边在其右侧作等腰三角形ADEADE, ,使使ADEB , ,连结连结CECE, ,则则CEAD的值为的值为( ( ) )A A32B B3C C152D D2【答案答案】D9【分析】由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得出12ADBDCDBC,在结合题意可得BADBADE ,即证明/ /ABDE,从而得

13、出BADBADECDE ,即易证()ADECDE SAS:,得出AECE再由等腰三角形的性质可知AECEDE,BADBADEDAE ,即证明ABDADE:,从而可间接推出CEBDADAB最后由1cos4ABBBC,即可求出BDAB的值,即CEAD的值【详解】在Rt ABC:中,点D是边BC的中点,12ADBDCDBC,BADBADE ,/ /ABDEBADBADECDE ,在ADE:和CDE中,ADCDADECDEDEDE ,()ADECDE SAS:,AECE,ADE:为等腰三角形,AECEDE,BADBADEDAE ,ABDADE:,DEADBDAB,即CEBDADAB1cos4ABBBC

14、,1012ABBD,2CEBDADAB故选 D【点睛】本题考查直角三角形的性质,等腰三角形的性质,平行线的判定和性质,全等三角形与相似三角形的判定和性质以及解直角三角形熟练掌握各知识点并利用数形结合的思想是解答本题的关键9 9(2021(2021重庆中考真题重庆中考真题) )如图如图, ,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中, ,将将OAB:以原点以原点O O为位似中心放大后得到为位似中心放大后得到OCD:, ,若若0,1B, ,0,3D, ,则则OAB:与与OCD:的相似比是的相似比是( ( ) )A A2:12:1B B1:21:2C C3:13:1D D1:31:3【答案答案】D【分析】

15、直接利用对应边的比等于相似比求解即可【详解】解:由B、D两点坐标可知:OB=1,OD=3;OAB 与OCD的相似比等于13OBOD;故选 D【点睛】本题考查了在平面直角坐标系中求两个位似图形的相似比的概念,同时涉及到了位似图形的概念、平面直角坐标系中点的坐标、线段长度的确定等知识;解题关键是牢记相似比等于对应边的比,准确求出对应边的比即可完成求解,考查了学生对概念的理解与应用等能力1010(2021(2021浙江丽水市浙江丽水市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在RtABC纸片中纸片中, ,90 ,4,3ACBACBC, ,点点11,D E分别在分别在,AB AC上上, ,连结连结DE,

16、,将将ADE:沿沿DE翻折翻折, ,使点使点A A的对应点的对应点F F落在落在BC的延长线上的延长线上, ,若若FD平分平分EFB, ,则则AD的长为的长为( ( ) )A A259B B258C C157D D207【答案答案】D【分析】先根据勾股定理求出AB,再根据折叠性质得出DAE=DFE,AD=DF,然后根据角平分线的定义证得BFD=DFE=DAE,进而证得BDF=90,证明 RtABCRtFBD,可求得AD的长【详解】解:90 ,4,3ACBACBC,222243ABACBC=5,由折叠性质得:DAE=DFE,AD=DF,则BD=5AD,FD平分EFB,BFD=DFE=DAE,DA

17、E+B=90,BDF+B=90,即BDF=90,RtABCRtFBD,BDBCDFAC即534ADAD,解得:AD=205,故选:D12【点睛】本题考查折叠性质、角平分线的定义、勾股定理、相似三角形的判定与性质、三角形的内角和定理,熟练掌握折叠性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键1111(2021(2021山东东营市山东东营市中考真题中考真题) )如图如图, ,ABC:是边长为是边长为 1 1 的等边三角形的等边三角形, ,D D、E E为线段为线段ACAC上两动点上两动点, ,且且30DBE, ,过点过点D D、E E分别作分别作ABAB、BCBC的平行线相交于点的平行线相交于点F F,

18、 ,分别交分别交BCBC、ABAB于点于点H H、G G现有以下结论现有以下结论:34ABCS!;当点当点D D与点与点C C重合时重合时, ,12FH ;3AECDDE;当当AECD时时, ,四边形四边形BHFGBHFG为菱为菱形形, ,其中正确结论为其中正确结论为( ( ) )A AB BC CD D【答案答案】B【分析】过A作AIBC垂足为I,然后计算ABC的面积即可判定;先画出图形,然后根据等边三角形的性质和相似三角形的性质即可判定;如图将BCD绕B点逆时针旋转 60得到ABN,求证NE=DE;再延长EA到P使AP=CD=AN,证得P=60,NP=AP=CD,然后讨论即可判定;如图 1

19、,当AE=CD时,根据题意求得CH=CD、AG=CH,再证明四边形BHFG为平行四边形,最后再说明是否为菱形【详解】解:如图 1, 过A作AIBC垂足为IABC:是边长为 1 的等边三角形BAC=ABC=C=60,CI=1212BC AI=32SABC=113312224AI BC :,故正确;13如图 2,当D与C重合时DBE=30,ABC:是等边三角形DBE=ABE=30DE=AE=1122AD GE/BD1BGDEAGAE BG=1122AB GF/BD,BG/DFHF=BG=12,故正确;如图 3,将BCD绕B点逆时针旋转 60得到ABN1=2,5=6=60,AN=CD,BD=BN3=

20、30142+4=1+4=30NBE=3=30又BD=BN,BE=BENBEDBE(SAS)NE=DE延长EA到P使AP=CD=ANNAP=180-60-60=60ANP为等边三角形P=60,NP=AP=CD如果AE+CD=3DE成立,则PE=3NE,需NEP=90,但NEP不一定为 90,故不成立;如图 1,当AE=CD时,GE/BCAGE=ABC=60,GEA=C=60AGE=AEG=60,AG=AE同理:CH=CDAG=CHBG/FH,GF/BH四边形BHFG是平行四边形BG=BH四边形BHFG为菱形,故正确15故选B【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质

21、以及菱形的判定等知识点,灵活运用相关知识成为解答本题的关键1212(2021(2021四川眉山市四川眉山市中考真题中考真题) )如图如图, ,在以在以AB为直径的为直径的O:中中, ,点点C为圆上的一点为圆上的一点, ,:3BCAC, ,弦弦CDAB于点于点E, ,弦弦AF交交CE于点于点H, ,交交BC于点于点G若点若点H是是AG的中点的中点, ,则则CBF的度数为的度数为( ( ) )A A1818B B2121C C22.522.5D D3030【答案答案】C【分析】根据直径所对的圆周角是90,可知90ACBAFB ,根据:3BCAC,可知ABC、BAC的度数,根据直角三角形斜边上的中线

22、等于斜边的一半可知,AHC:为等腰三角形,再根据CAEBFGBCA:可求得CBF的度数【详解】解:AB为O:的直径,90ACBAFB ,:3BCAC,=22.5ABC,=67.5BAC,点H是AG的中点,CEAH,CAHACH ,CDAB,16AECGCA:,又,CAFCBFCGAFGB ,AECGCAGFB:,90ACEECBABCECB ,ABEABC ,AECGCAGFBACB:,22.5ABCACEGACGBF ,=22.5CBF,故选:C【点睛】本题主要考查圆周角定理,垂径定理,相似三角形,直角三角形斜边上中线等知识点,找出图形中几个相似三角形是解题关键1313(2021(2021山

23、东聊城市山东聊城市中考真题中考真题) )如图如图, ,四边形四边形ABCDABCD中中, ,已知已知ABABCDCD, ,ABAB与与CDCD之间的距离为之间的距离为4,4,ADAD5,5,CDCD3,3,ABCABC45,45,点点P P, ,Q Q同时由同时由A A点出发点出发, ,分别沿边分别沿边ABAB, ,折线折线ADCBADCB向终点向终点B B方向移动方向移动, ,在移动过在移动过程中始终保持程中始终保持PQPQABAB, ,已知点已知点P P的移动速度为每秒的移动速度为每秒 1 1 个单位长度个单位长度, ,设点设点P P的移动时间为的移动时间为x x秒秒,APQAPQ的面积的

24、面积为为y y, ,则能反映则能反映y y与与x x之间函数关系的图象是之间函数关系的图象是( ( ) )A AB BC CD D【答案答案】B【分析】依次分析当03t 、36t 、610t 三种情况下的三角形面积表达式,再根据其对应图像进行判断即可确定正确选项【详解】解:如图所示,分别过点D、点C向AB作垂线,垂足分别为点E、点F,17已知ABCD,AB与CD之间的距离为 4,DE=CF=4,点P,Q同时由A点出发,分别沿边AB,折线ADCB向终点B方向移动,在移动过程中始终保持PQAB,PQDECF,AD=5,223AEADDE,当03t 时,P点在AE之间,此时,AP=t,APPQAED

25、E,4=3PQt,2142=2233APQtSAP PQtt:,因此,当03t 时,其对应的图像为22033ytt ,故排除 C 和 D;CD3,EF=CD=3,当36t 时,P点位于EF上,此时,Q点位于DC上,其位置如图中的P1Q1,则111422APQStt :,因此当36t 时,对应图像为2 36ytt ,即为一条线段;ABC45,BF=CF=4,AB=3+3+4=10,当610t 时,P点位于FB上,其位置如图中的P2Q2,此时,P2B=10-t,同理可得,Q2P2=P2B=10-t,2221110522AP QSt ttt :,因此当610t 时,对应图像为215 6102yttt

26、 ,其为开口向下的抛物线的610t 的一段图像;18故选:B【点睛】本题考查了平行线分线段成比例的推论、勾股定理、平行线的性质、三角形的面积公式、二次函数的图像等内容,解决本题的关键是牢记相关概念与公式,能分情况讨论等,本题蕴含了数形结合与分类讨论的思想方法等1414(2021(2021四川广元市四川广元市中考真题中考真题) )如图如图, ,在边长为在边长为 2 2 的正方形的正方形ABCD中中, ,AE是以是以BC为直径的半圆的切为直径的半圆的切线线, ,则图中阴影部分的面积为则图中阴影部分的面积为( ( ) )A A32B B2C C1 1D D52【答案答案】D【分析】取BC的中点O,设

27、AE与O的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,由题意可得OB=OC=OA=1,OFA=OFE=90,由切线长定理可得AB=AF=2,CE=CF,然后根据割补法进行求解阴影部分的面积即可【详解】19解:取BC的中点O,设AE与O的相切的切点为F,连接OF、OE、OA,如图所示:四边形ABCD是正方形,且边长为 2,BC=AB=2,ABC=BCD=90,AE是以BC为直径的半圆的切线,OB=OC=OF=1,OFA=OFE=90,AB=AF=2,CE=CF,OA=OA,RtABORtAFO(HL),同理可证OCEOFE,AOBAOFCOEFOE ,90AOBCOEAOBBAO ,COEBAO ,A

28、BOOCE:,OCCEABOB,12CE ,15222222ABOOCEABCESSSSSS:阴影半圆半圆四边形;故选 D【点睛】本题主要考查切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握切线的性质定理、切线长定理、正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键201515(2021(2021四川自贡市四川自贡市中考真题中考真题) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCDABCD中中, ,6AB , ,M M是是ADAD边上的一点边上的一点, ,:1:2AM MD 将将BMA沿沿BMBM对折至对折至BMN, ,连接连接DNDN, ,则则DNDN的长是的长是( (

29、) )A A52B B9 58C C3 3D D6 55【答案答案】D【分析】延长 MN 与 CD 交于点 E,连接 BE,过点 N 作NFCD,根据折叠的正方形的性质得到NECE,在Rt MDE:中应用勾股定理求出 DE 的长度,通过证明MDENFE:,利用相似三角形的性质求出 NF 和 DF的长度,利用勾股定理即可求解【详解】解:如图,延长 MN 与 CD 交于点 E,连接 BE,过点 N 作NFCD,6AB ,M是AD边上的一点,:1:2AM MD ,2AM ,4DM ,将BMA沿BM对折至BMN,四边形ABCD是正方形,90BNEC ,ABANBC,Rt BNERt BCE:(HL),

30、NECE,2EMMNNENE,21在Rt MDE:中,设DEx,则628MExx,根据勾股定理可得22248xx,解得3x ,3NEDE,5ME ,NFCD,90MDE,MDENFE:,25EFNFNEDEMDME,125NF ,95EF ,65DF ,226 55DNDFNF,故选:D【点睛】本题考查折叠的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理的应用等内容,做出合适的辅助线是解题的关键1616(2021(2021四川泸州市四川泸州市中考真题中考真题) )如图如图,O O的直径的直径ABAB=8,=8,AMAM, ,BNBN是它的两条切线是它的两条切线, ,DEDE与与O O相切于点相切于点E

31、 E, ,并与并与AMAM, ,BNBN分别相交于分别相交于D D, ,C C两点两点, ,BDBD, ,OCOC相交于点相交于点F F, ,若若CDCD=10,=10,则则BFBF的长是的长是A A8 179B B10 179C C8 159D D10 159【答案答案】A【分析】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,根据勾股定理求得6GC ,即可得AD=BG=2,BC= 8,再证明HAOBCO,根据全等三角形的性质可得AH=BC=8,即可求得HD= 10;在 RtABD中,根据勾股定理可22得2 17BD ;证明DHFBCF,根据相似三角形的性质可得DHDFBCBF,由此即

32、可求得8 179BF 【详解】过点D作DGBC于点G,延长CO交DA的延长线于点H,AM,BN是它的两条切线,DE与O相切于点E,AD=DE,BC=CE,DAB=ABC=90,DGBC,四边形ABGD为矩形,AD=BG,AB=DG=8,在 RtDGC中,CD=10,22221086GCCDDG,AD=DE,BC=CE,CD=10,CD= DE+CE = AD+BC =10,AD+BG +GC=10,AD=BG=2,BC=CG+BG=8,DAB=ABC=90,ADBC,AHO=BCO,HAO=CBO,OA=OB,HAOBCO,AH=BC=8,AD=2,23HD=AH+AD=10;在 RtABD中

33、,AD=2,AB=8,2222822 17BDABAD,ADBC,DHFBCF,DHDFBCBF,102 178BFBF,解得,8 179BF 故选 A【点睛】本题是圆的综合题,考查了切线长定理、勾股定理、全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定于性质,熟练运用相关知识是解决问题的关键1717(2021(2021内蒙古通辽市内蒙古通辽市中考真题中考真题) )如图如图, ,已知已知/AD BC, ,ABBC, ,3AB , ,点点E E为射线为射线BC上一个动上一个动点点, ,连接连接AE, ,将将ABE沿沿AE折叠折叠, ,点点B B落在点落在点B处处, ,过点过点B作作AD的垂线的垂线, ,

34、分别交分别交AD, ,BC于于M M, ,N N两点两点, ,当当B为线段为线段MN的三等分点时的三等分点时, ,BE的长为的长为( ( ) )A A32B B322C C32或或322D D322或或355【答案答案】D【分析】因为点B为线段MN的三等分点,没有指明线段B M的占比情况,所以需要分两种情况讨论:2413B MMN; 23B MMN然后由一线三垂直模型可证 AMB:B NE:,再根据相似三角形的性质求得 EN的值,最后由 BEBNEN即可求得 BE的长【详解】当点B为线段MN的三等分点时,需要分两种情况讨论:如图 1,当13B MMN时,ADBC,ABBC, MNBC,四边形A

35、BNM为矩形,11133B MMNAB, 22233B NMNAB, BNAM由折叠的性质可得3A BAB,90AB EABC 在Rt AB M:中,2222312 2AMABB M90AB MMAB, 90AB MEB N,EB NMAB ,B NE:AMB:,ENB NB MAM,即 212 2EN,解得 22EN ,23 22 222BEBNEN25如图 2,当23B MMN时,ADBC,ABBC, MNBC,四边形ABNM为矩形,22233B MMNAB, 11133B NMNAB, BNAM由折叠的性质可得3ABAB,90AB EABC 在Rt AB M:中,2222325AMABB

36、 M90AB MMAB, 90AB MEB N,EB NMAB ,B NE:AMB:,ENB NB MAM,即 125EN,解得2 55EN ,2 53 5555BEBNEN综上所述,BE的长为3 22或 3 55故选:D【点睛】本题考查了矩形的判定,勾股定理,相似三角形的判定和性质,由B为线段MN的三等分点,分两种情况讨论线段B M的占比情况,以及利用K型相似进行相关计算是解决此题的关键1818(2021(2021四川资阳市四川资阳市中考真题中考真题) )如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图, ,它是它是由四个全等的直角

37、三角形和一个小正方形由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成组成, ,恰好拼成一个大正方形恰好拼成一个大正方形ABCD连结连结EG并延长并延长交交BC于点于点M M若若13,1ABEF, ,则则GM有长为有长为( ( ) )26A A2 25B B2 23C C3 24D D4 25【答案答案】D【分析】添加辅助线,过 F 点作FIHM,通过证明两组三角形相似,得到FI和GM的两个关系式,从而求解GM【详解】如图所示,过 F 点作FIHM,交BC于点 I,证明勾股定理的弦图的示意图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH组成=90AEB,BFAECG,CFBE,1FGEF,2EG

38、 又13,1ABEF222AEBEAB,即 222113BFBF解得2BF 或3BF (舍去) =2BFAECG,=3CFBE FIHMCGMCFI:,BFIBEM:2732FICFGMCG, 32EMBEFIBF32FIGM, 232EGGMGMFIFI23322GMGM解得:425GM 经检验:425GM 符合题意,故选:D【点睛】本题考查了相似三角形和勾股定理本题的关键在于添加辅助线,建立所求线段与已知条件之间的联系1919(2021(2021河北中考真题河北中考真题) )图图 1 1 是装了液体的高脚杯示意图是装了液体的高脚杯示意图( (数据如图数据如图),),用去一部分液体后如图用去

39、一部分液体后如图 2 2 所示所示, ,此此时液面时液面AB ( ( ) )A A1cmB B2cmC C3cmD D4cm【答案答案】C【分析】先求出两个高脚杯液体的高度,再通过三角形相似,建立其对应边的比与对应高的比相等的关系,即可求出AB28【详解】解:由题可知,第一个高脚杯盛液体的高度为:15-7=8(cm),第二个高脚杯盛液体的高度为:11-7=4(cm),因为液面都是水平的,图 1 和图 2 中的高脚杯是同一个高脚杯,所以图 1 和图 2 中的两个三角形相似,468AB,=3AB(cm),故选:C【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,解决本题的关键是读懂题意,与图形建立关联,能

40、灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形,并能运用其性质得到相应线段之间的关系等,本题对学生的观察分析的能力有一定的要求2020(2021(2021四川宜宾市四川宜宾市中考真题中考真题) )如图如图, ,在矩形纸片在矩形纸片ABCDABCD中中, ,点点E E、F F分别在矩形的边分别在矩形的边ABAB、ADAD上上, ,将矩形将矩形纸片沿纸片沿CECE、CFCF折叠折叠, ,点点B B落在落在H H处处, ,点点D D落在落在G G处处, ,点点C C、H H、G G恰好在同一直线上恰好在同一直线上, ,若若ABAB6,6,ADAD4,4,BEBE2,2,则则DFDF的长是的长是( ( ) )

41、A A2 2B B74C C3 22D D3 3【答案答案】A【分析】构造如图所示的正方形CMPD,然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可【详解】如图,延长CE,FG交于点N,过点N作/l AB,延长,CB DA交l于,M P,CMN=DPN=90,四边形CMPD是矩形,29根据折叠,MCN=GCN,CD=CG,DFFG,CMN=CGN=90,CN=CN,Rt MNCRt GNC,6CMCGCD,MNNG四边形CMPD为正方形,/BE MNCBECMN:,4263BECBMNCM,2BE ,3MN,3NP,设DFx,则4AFx,在:Rt PNF中,由222FPNPNF可得222(

42、42)3(3)xx解得2x ;故选A【点睛】本题考查了折叠问题,正方形的性质与判定,矩形的性质,平行线的性质,全等三角形的性质和判定,相似三角形,勾股定理等知识点的综合运用,难度较大作出合适的辅助线是解题的关键2121(2021(2021湖北恩施土家族苗族自治州湖北恩施土家族苗族自治州中考真题中考真题) )如图如图, ,在在4 4的正方形网格中的正方形网格中, ,每个小正方形的边长都每个小正方形的边长都为为 1,1,E为为BD与正方形网格线的交点与正方形网格线的交点, ,下列结论正确的是下列结论正确的是( ( ) )30A A12CEBDB BABCCBD:C CACCDD DABCCBD 【

43、答案答案】D【分析】由题意易得CEAB,然后根据相似三角形的性质与判定、直角三角形斜边中线定理及全等三角形的判定可排除选项【详解】解:每个小正方形的边长都为 1,4,2,2 5,5,5ABACBCCDBD,22225BCCDBD,ACCD,故 C 错误;BCD是直角三角形,90BCDBAC ,2 55ABACBCCD,CABCBD,故 B 错误;ABCCBD ,故 D 正确;E为BD与正方形网格线的交点,CEAB,ABCBCECBD ,90DBCBDCBCEECD ,BDCECD ,3112BECEEDBD,故 A 错误;故选 D【点睛】本题主要考查勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直

44、角三角形斜边中线定理,熟练掌握勾股定理的逆定理、相似三角形的性质与判定及直角三角形斜边中线定理是解题的关键2222(2021(2021山东威海市山东威海市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在ABC:和和ADE:中中, ,36CABDAE , ,ABAC, ,ADAE连接连接CDCD, ,连接连接BEBE并延长交并延长交ACAC, ,ADAD于点于点F F, ,G G若若BEBE恰好平分恰好平分ABC, ,则下列结论错误的是则下列结论错误的是( ( ) )A AADCAEB B B/CD ABC CDEGED D2BFCF AC【答案答案】C【分析】根据SAS即可证明DACEAB,再利用全等

45、三角形的性质以及等腰三角形的性质,结合相似三角形的判定和性质,即可一一判断【详解】,36ABAC ADAECABDAE DACEAB DACEABADCAEB ,故选项 A 正确;,36ABACCAB72ABCACB BE平分ABC1362ABECBFABC DACEAB36ACDABE 32ACDCAB /CD AB,故选项 B 正确;,36ADAEDAE72ADE72DGEDAEEABABEEAB 即ADEDGE DEGE,故选项 C 错误;72 ,36ABCACBCABCBF 72CFBBCBFABCBFCBFCFABBCABACBFCFACBF2BFCF AC,故选项 D 正确;故答案

46、选:C【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,平行线的判定,能利用全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质是解题关键二、填空题二、填空题2323(2021(2021江苏无锡市江苏无锡市中考真题中考真题) )下列命题中下列命题中, ,正确命题的个数为正确命题的个数为_所有的正方形都相似所有的正方形都相似所有的菱形都相似所有的菱形都相似边长相等的两个菱形都相似边长相等的两个菱形都相似对角线相等的两个矩形都相似对角线相等的两个矩形都相似【答案答案】【分析】33根据多边形的判定方法对进行判断;利用菱形的定义对进行判断;根据菱形的性质对进行判断;根据矩

47、形的性质和相似的定义可对进行判断【详解】解:所有的正方形都相似,所以正确;所有的菱形不一定相似,所以错误;边长相等的两个菱形,形状不一定相同,即:边长相等的两个菱形不一定相似所以错误;对角线相等的两个矩形,对应边不一定成比例,即不一定相似,所以错误;故答案是:【点睛】本题考查了判断命题真假,熟练掌握图形相似的判定方法,菱形,正方形,矩形的性质,是解题的关键2424(2021(2021内蒙古中考真题内蒙古中考真题) )如图如图, ,在在Rt ABC:中中, ,90ACB, ,过点过点B B作作BDCB, ,垂足为垂足为B B, ,且且3BD , ,连接连接CDCD, ,与与ABAB相交于点相交于

48、点M M, ,过点过点M M作作MNCB, ,垂足为垂足为N N若若2AC , ,则则MNMN的长为的长为_【答案答案】65【分析】根据MNBC,ACBC,DBBC,得,BNMBCAV: VCNMABDV: V,可得,MNBN MNCNACBCBDBC=,因为1BNCNBCBC+=,列出关于MN的方程,即可求出MN的长【详解】MNBC,DBBC, 90ACBACMNDB,BNMBCAV: VCNMABDV: V,MNBN MNCNACBCBDBC=34即,23MNBN MNCNBCBC=,又1BNCNBCBC+=,123MNMN+=,解得65MN ,故填:65【点睛】本题考查相似三角形的判定和

49、性质,解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系2525(2021(2021山东东营市山东东营市中考真题中考真题) )如图如图, ,正方形纸片正方形纸片ABCDABCD的边长为的边长为 12,12,点点F F是是ADAD上一点上一点, ,将将CDF:沿沿CFCF折叠折叠, ,点点D D落在点落在点G G处处, ,连接连接DGDG并延长交并延长交ABAB于点于点E E若若5AE , ,则则GEGE的长为的长为_【答案答案】4913【分析】因为折叠,则有DGCF,从而可知AEDHDC,利用线段比求出DG的长,即可求出EG【详解】如图, 四边形ABCD是正方形3512=90 因

50、为折叠,DGCF,设垂足为 HDHHG2390 13AEDHDCAEDHEDDC5AE ,12ADDC51312DH6013DHEGEDGD2EDGH6013213 4913故答案为4913【点睛】本题考查了正方形的性质,轴对称的性质,三角形相似的判定与性质,勾股定理,找到AEDHDC是解题的关键362626(2021(2021四川南充市四川南充市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在ABC:中中, ,D D为为BCBC上一点上一点, ,33BCABBD, ,则则:AD AC的值为的值为_【答案答案】33【分析】证明ABDCBA,根据相似三角形的性质即可解答【详解】33BCABBD,1333

51、ABBC,33BDAB,33ABBDBCAB,B=B,ABDCBA,33ADBDACAB故答案为:33【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质,证明ABDCBA是解决问题的关键2727(2021(2021湖北随州市湖北随州市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在Rt ABC:中中, ,90ACB, ,O为为AB的中点的中点, ,OD平分平分AOC交交AC于点于点G, ,ODOA, ,BD分别与分别与AC, ,OC交于点交于点E, ,F, ,连接连接AD, ,CD, ,则则OGBC的值为的值为_;_;若若CECF, ,则则CFOF的值为的值为_37【答案答案】12 2 【分析】(1)根据条件,

52、证明AODCOD,从而推断90OGA,进一步通过角度等量,证明AOGABC:,代入推断即可.(2)通过OAODOCOB,可知, ,A B C D 四点共圆,通过角度转化,证明ODFCBF:,代入推断即可.【详解】解:(1)90ACB,O为AB的中点OAOC 又OD平分AOCAODCOD 又ODOD AODCOD ADCD ODAC 90OGA 在AOG:与ABC:中GAOBAC ,90OGABCA AOGABC:12OGAOBCAB 38(2OAODOCOB , ,A B C D 四点共圆,如下图:CECFCEFCFE 又CFEBFO CEFBFO AODCODADCD:ADCD OBFCBE

53、 90BFOOBFCEFCBE 即90BOC OBOC222BCOCOAOD 90OGABCA ODBFBC OFDCFB ODFCBF: 2CFBCOFOD39故答案为:122；【点睛】本题考查三角形的相似,三角形的全等以及圆的相关知识点,根据图形找见相关的等量关系是解题的关键2828(2021(2021四川广元市四川广元市中考真题中考真题) )如图如图, ,在正方形在正方形ABCD中中, ,点点O O是对角线是对角线BD的中点的中点, ,点点P P在线段在线段OD上上, ,连接连接AP并延长交并延长交CD于点于点E E, ,过点过点P P作作PFAP交交BC于点于点F F, ,连接连接AF

54、、EF, ,AF交交BD于于G G, ,现有以下结论现有以下结论:APPF;DEBFEF;2PBPDBF;AEFS:为定值为定值;APGPEFGSS:四边形以上结论正确的有以上结论正确的有_(_(填入正确的序号即可填入正确的序号即可) )【答案答案】【分析】由题意易得APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,对于:易知点A、B、F、P四点共圆,然后可得AFP=ABD=45,则问题可判定;对于:把AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH,则有DE=BH,DAE=BAH,然后易得AEFAHF,则有HF=EF,则可判定;对于:连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,易得OB=OD

55、,OP=OM,然后易证AOPABF,进而问题可求解;对于:过点A作ANEF于点N,则由题意可得AN=AB,若AEF的面积为定值,则EF为定值,进而问题可求解;对于由可得22APAF,进而可得APGAFE,然后可得相似比为22APAF,最后根据相似三角形的面积比与相似比的关系可求解【详解】解:四边形ABCD是正方形,PFAP,APF=ABC=ADE=C=90,AD=AB,ABD=45,180ABCAPF,40由四边形内角和可得180BAPBFP,点A、B、F、P四点共圆,AFP=ABD=45,APF是等腰直角三角形,APPF,故正确;把AED绕点A顺时针旋转 90得到ABH,如图所示:DE=BH

56、,DAE=BAH,HAE=90,AH=AE,45HAFEAF ,AF=AF,AEFAHF(SAS),HF=EF,HFBHBF,DEBFEF,故正确;连接AC,在BP上截取BM=DP,连接AM,如图所示:点O是对角线BD的中点,OB=OD,BDAC,41OP=OM,AOB是等腰直角三角形,2ABAO,由可得点A、B、F、P四点共圆,APOAFB ,90ABFAOP ,AOPABF,22OPOAAPBFABAF,22OPBF,2BPDPBPBMPMOP,2PBPDBF,故正确;过点A作ANEF于点N,如图所示:由可得AFB=AFN,ABF=ANF=90,AF=AF,ABFANF(AAS),AN=A

57、B,若AEF的面积为定值,则EF为定值,点P在线段OD上,EF的长不可能为定值,故错误;由可得22APAF,42AFB=AFN=APG,FAE=PAG,APGAFE,22GPAPEFAF,22122AGPAEFSS:,12AGPAEFSS:,APGPEFGSS:四边形,故正确;综上所述:以上结论正确的有;故答案为【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定,熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、圆的基本性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键2929(2021(2021江苏南京市江苏南京市中考真题中考真题) )如图如图, ,将将ABCD:绕点绕点A A逆时针旋

58、转到逆时针旋转到AB C D :的位置的位置, ,使点使点B落在落在BC上上, ,BC与与CD交于点交于点E E, ,若若3,4,1ABBCBB, ,则则CE的长为的长为_【答案答案】98【分析】过点C作CM/C D交BC于点M,证明ABBADD求得53C D,根据AAS证明ABBBCM 可求出CM=1,再由CM/C D证明CMEDC E,由相似三角形的性质查得结论【详解】解:过点C作CM/C D交BC于点M,43平行四边形ABCD绕点A逆时针旋转得到平行四边形ABC D ABAB,ADADBAB CDD ,BADB AD BABDAD ,BD ABBADD3,4BBABABDDADBC1BB

59、43DDC DC DDDCDDDABDD43353ABCABCCB MABCBAB CB MBAB 4 13BCBCBB BCABABABAB BABCABB 44/ /ABC D,/ /C DCM/ /ABCMABCB MC AB BB MC 在ABB和B MC中,BABCB MAB BB MCABB C ABBBCM 1BBCM/ /CMC D CMEDC E13553CMCEDCDE38CECD333938888CECDAB 故答案为:98【点睛】此题主要考查了旋转的性质,平行四边形的性质,全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质,正确作出辅助线构造全等三角形和相似三角形是解答本

60、题的关键3030(2021(2021浙江嘉兴市浙江嘉兴市中考真题中考真题) )如图如图, ,在直角坐标系中在直角坐标系中, ,ABC与与ODE是位似图形是位似图形, ,则位似中心的坐则位似中心的坐标为标为_45【答案答案】4,2【分析】根据位似图形的对应顶点的连线交于一点并结合网格图中的格点特征确定位似中心【详解】解:连接DB,OA并延长,交于点M,点M即为位似中心M点坐标为4,2故答案为:4,246【点睛】本题考查的是位似变换的概念、坐标与图形性质,掌握如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边互相平行,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心是解题的关键31

61、31(2021(2021四川乐山市四川乐山市中考真题中考真题) )如图如图, ,已知点已知点(4,3)A, ,点点B为直线为直线2y 上的一动点上的一动点, ,点点()0,Cn, ,23n , ,ACBC于点于点C, ,连接连接AB若直线若直线AB与与x正半轴所夹的锐角为正半轴所夹的锐角为, ,那么当那么当sin的值最大的值最大时时, ,n的值为的值为_【答案答案】12【分析】设直线y2 与y轴交于G,过A作AH直线y2 于H,AFy轴于F,根据平行线的性质得到ABH,由三角函数的定义得到sin5BA,根据相似三角形的性质得到比例式234GBnn,于是得到47GB14 (n+2)(3n)14

62、(n12)22516,根据二次函数的性质即可得到结论【详解】解:如图,设直线y2 与y轴交于G,过A作AH直线y2 于H,AFy轴于F,BHx轴,ABH,在 RtABH中,22ABAHBH ,sin5BA,即sin5BA=225AHBH sin 随BA的减小而增大,当BA最小时 sin 有最大值;即BH最小时,sin 有最大值,即BG最大时,sin 有最大值,BGCACBAFC90,GBC+BCGBCG+ACF90,GBCACF,ACFCBG,BGCGCFAF,(4,3)A,()0,Cn即234BGnn,48BG14 (n+2)(3n)14 (n12)22516,23n 当n12时,BG最大值

63、2516故答案为:12【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角函数的定义,平行线的性质,正确的作出辅助线证得ACFCBG是解题的关键3232(2021(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在ABC:中中, ,ACBC, ,矩形矩形DEFG的顶点的顶点D D、E E在在AB上上, ,点点F F、G G分别在分别在BC、AC上上, ,若若4CF , ,3BF , ,且且2DEEF, ,则则EF的长为的长为_【答案答案】125【分析】根据矩形的性质得到GFAB,证明CGFCAB,可得72xAB ,证明ADGBEF,得到AD=BE=34x,在BEF中,利用勾股定理求

64、出x值即可【详解】解:DE=2EF,设EF=x,则DE=2x,四边形DEFG是矩形,GFAB,CGFCAB,44437GFCFABCB,即247xAB,4972xAB ,AD+BE=AB-DE=722xx=32x,AC=BC,A=B,又DG=EF,ADG=BEF=90,ADGBEF(AAS),AD=BE=1322x=34x,在BEF中,222BEEFBF,即222334xx,解得:x=125或125(舍),EF=125,故答案为:125【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质,矩形的性质,勾股定理,全等三角形的判定和性质,等边对等角,解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长3333(202

65、1(2021江苏扬州市江苏扬州市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在Rt ABC:中中, ,90ACB, ,点点D D是是AB的中点的中点, ,过点过点D D作作DEBC, ,垂足为点垂足为点E E, ,连接连接CD, ,若若5CD , ,8BC , ,则则DE _【答案答案】350【分析】根据直角三角形的性质得到AB=10,利用勾股定理求出AC,再说明DEAC,得到12DEBDACAB,即可求出DE【详解】解:ACB=90,点D为AB中点,AB=2CD=10,BC=8,AC=22ABBC=6,DEBC,ACBC,DEAC,12DEBDACAB,即162DEBDAB,DE=3,故答案为:3

66、【点睛】本题考查了直角三角形的性质,勾股定理,平行线分线段成比例,解题的关键是通过平行得到比例式3434(2021(2021云南中考真题云南中考真题) )如图如图, ,在在ABC:中中, ,点点D D, ,E E分别是分别是,BC AC的中点的中点, ,AD与与BE相交于点相交于点F F, ,若若6BF , ,则则BE的长是的长是_【答案答案】9【分析】根据中位线定理得到DE=12AB,DEAB,从而证明DEFABF,得到12DEEFABBF,求出EF,可得BE【详解】解:点D,E分别为BC和AC中点,51DE=12AB,DEAB,DEFABF,12DEEFABBF,BF=6,EF=3,BE=

67、6+3=9,故答案为:9【点睛】本题考查了三角形中位线定理,相似三角形的判定和性质,解题的关键是根据中位线的性质证明DEFABF3535(2021(2021四川资阳市四川资阳市中考真题中考真题) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCD中中, ,120BAD, ,DEBC交交BC的延长线于的延长线于点点E E连结连结AE交交BD于点于点F F, ,交交CD于点于点G GFHCD于点于点H H, ,连结连结CF有下列结论有下列结论:AFCF;2AFEF FG;:4:5FG EG ;3 21cos14GFH其中所有正确结论的序号为其中所有正确结论的序号为_【答案答案】【分析】利用菱形的性质和全等三角形

68、的判定证明,利用AA定理证明FCEFGC,从而证明,由含 30直角三角形的性质和平行线分线段成比例定理分析求解,从而证明和【详解】解:在菱形ABCD中,AD=DC,ADB=CDB又DF=DFADFCDF,52AFCF,故正确;ADBCDAF=FEC又中已证ADFCDF,DAF=DCF,AF=CFDCF=FEC又CFG=CFGFCEFGC,FCFGEFFC,2FCEF FG:即2AFEF FG,故正确;在菱形ABCD中,120BAD,DBC=BDC=30又DEBC在RtDCF中,CDE=3012CEDC在菱形ABCD中,12,23CEADADBE又ADBC,23AFADEFBE由已证AF=FC2

69、3FCEF由已证2FCEF FG,设FC=2k,EF=3kFG=43k,EG=53k53:4:5FG EG ,故正确;由已知23DFADBFBE设DF=2a,BF=3aBD=5a在RtBDE中,1522DEBDa在RtCDE中,35 336CEDEa5 323CDCEa在RtDFH中,12FHFDa,33DHFHa2 33CHa在RtFCH中,22213FCFHCHa又由已证,2FCEF FG,:4:5FG EG 设FG=4m,EG=5m,则EF=9m221493mma,解得2118ma (负值舍去)2 219FGa43 21cos2 2119GFHFHaFGa,故正确故答案为:54【点睛】本

70、题考查菱形的性质,平行线分线段成比例定理以及解直角三角形,题目有一定难度,掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键3636(2021(2021重庆中考真题重庆中考真题) )如图如图, ,ABC:中中, ,点点 D D 为边为边 BCBC 的中点的中点, ,连接连接 AD,AD,将将ADC:沿直线沿直线 ADAD 翻折至翻折至ABC:所在平面内所在平面内, ,得得ADC:, ,连接连接CC, ,分别与边分别与边 ABAB 交于点交于点 E,E,与与 ADAD 交于点交于点 O O若若AEBE, ,2BC , ,则则ADAD 的长为的长为_【答案答案】3【分析】利用翻折的性质可得,OCOC 推出OD

71、是CC B :的中位线,得出1OD ,再利用ODBC/ /得出AO的长度,即可求出AD的长度【详解】由翻折可知,OCOC O 是CC的中点,点D为边BC的中点,O是CC的中点,OD是CC B :的中位线,11,2ODBCODBC/ / ,AOAEBCBE,55AEBE,1AEBE,1AOBC,2AOBC,213ADAOOD 故答案为:3【点睛】本题考查了翻折的性质,三角形的中位线的判定和性质,以及平行线分线段成比例的性质,掌握三角形的中位线的判定和性质,以及平行线分线段成比例的性质是解题的关键3737(2021(2021四川遂宁市四川遂宁市中考真题中考真题) )如图如图, ,正方形正方形ABC

72、DABCD中中, ,点点E E是是CDCD边上一点边上一点, ,连结连结BEBE, ,以以BEBE为对角线作为对角线作正方形正方形BGEFBGEF, ,边边EFEF与正方形与正方形ABCDABCD的对角线的对角线BDBD相交于点相交于点H H, ,连结连结AFAF, ,有以下五个结论有以下五个结论: :ABFDBE ;ABFDBE:;AFBD;22BGBH BD:;若若:1:3CE DE , ,则则:17:16BH DH , ,你认为其中正确是你认为其中正确是_(_(填写序号填写序号) )【答案答案】【分析】四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,得ABDFBE45,根据

73、等式的基本性质确定出ABFDBE ;再根据正方形的对角线等于边长的2倍,得到两边对应成比例,再根据角度的相减得到夹角相等,利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判断;根据两角相等的两个三角形相似得到EBHDBE,从而得到比例式,根据BE2BG,代换即可作出判断;由相似三角形对应角相等得到BAFBDE45,可得出AF在正方形ABCD对角线上,根据正方形对角线垂直即可作出判断设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,结合BE2BHBD,求出BH,DH,即可判断【详解】56解:四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,ABDFBE45,又ABF45DBF,DBE45DBF

74、,ABFDBE ,选项正确; 四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,ADAB,BFBE,BD2AB,BE=2BF,2BDBEABBF 又ABFDBE ,ABFDBE:,选项正确;四边形BGEF和四边形ABCD均为正方形,BD,BE是对角线,BEHBDE45,又EBHDBE,EBHDBE,BDBEBEBH ,即BE2BHBD,又BE2BG,22BGBH BD:,选项确; 由知:ABFDBE:,又四边形ABCD为正方形,BD为对角线,BAFBDE45,AF在正方形另外一条对角线上,AFBD,正确,57:1:3CE DE ,设CE=x,DE=3x,则BC=CD=4x,BE=2222417CEBC

75、xxx,4 2BDx BE2BHBD,221717 284 2BExBHxBDx,DH=BD-BH=17 215 24 288xxx,:17:15BH DH ,故错误,综上所述:正确,故答案是:【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,以及正方形的性质,熟练掌握相似三角形的判定和性质是解本题的关键3838(2021(2021湖北荆州市湖北荆州市中考真题中考真题) )如图如图, ,AB是是O:的直径的直径, ,AC是是O:的弦的弦, ,ODAC于于D, ,连接连接OC, ,过过点点D作作/DF OC交交AB于于F, ,过点过点B的切线交的切线交AC的延长线于的延长线于E若

76、若4AD, ,52DF , ,则则BE _【答案答案】152【分析】证明ADFACO:求得AC,利用勾股定理求得CB的长,再利用ABEACB:求得BE【详解】58解:如图所示,连接BCAB是O:的直径,ODAC于D90ACBADO 又CABCAB ADOACB:12ADAOACAB8AC 又/DF OCADFACO:12DFADCOAC52252CODF 2=10ABCO 又222ACCBAB2228 +=10CB6CB 或6CB (舍去)又BE为切线90ABEADO 又CABCAB ABEACB:ACCBABBE 59即86=10BE152BE 【点睛】本题考查圆的相关性质、相似三角形的判定

77、和性质直径所对的圆周角是直角,圆的切线垂直于过切点的半径相似三角形的对应线段成比例3939(2021(2021浙江衢州市浙江衢州市中考真题中考真题) )将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中将一副三角板如图放置在平面直角坐标系中, ,顶点顶点A A与原点与原点O O重合重合, ,ABAB在在x x轴正半轴上轴正半轴上, ,且且4 3AB , ,点点E E在在ADAD上上, ,14DEAD, ,将这副三角板整体向右平移将这副三角板整体向右平移_个单位个单位, ,C C, ,E E两点同时落在反比例函数两点同时落在反比例函数kyx的图象上的图象上【答案答案】123【分析】分别求出4 36,6C,3

78、 39E，,假设向右平移了m个单位,将平移后的店代入kyx中,列出方程进行求解即可【详解】过E作ENDB, 过C作CMBD,90DNE,60由三角板及 4 3AB ,可知90OBD,BD=12,CM=BM=12DB=6,4 36,6C ,90DNE,90DNE,EN/OB,14DEAD113,944ENOBDNDB,3 39E，设将这副三角板整体向右平移m个单位,C,E两点同时落在反比例函数kyx的图象上4 36,6C,3 39E，,平移后4 36,6Cm,3 39Em ，,64 3693 3kmkm,4 3663 39mm,解得123m 经检验:123m 是原方程的根,且符合题意,61故答案

79、为:123【点睛】本题考查了特殊三角形以及平移规律,平行线分线段成比例,反比例函数的性质,掌握平移规律,反比例函数的性质是解题的关键4040(2021(2021四川泸州市四川泸州市)如图如图, ,在边长为在边长为 4 4 的正方形的正方形ABCDABCD中中, ,点点E E是是BCBC的中点的中点, ,点点F F在在CDCD上上, ,且且CFCF=3=3DFDF, ,AEAE, ,BFBF相交于点相交于点G G, ,则则:AGFAGF的面积是的面积是_【答案答案】5611【分析】延长AG交DC延长线于M,过G作GHCD,交AB于N,先证明ABEMCE,由CF=3DF,可求DF=1,CF=3,再

80、证ABGMFG,则利用相似比可计算出GN,再利用两三角形面积差计算SDEG即可【详解】解:延长AG交DC延长线于M,过G作GHCD,交AB于N,如图,点E为BC中点,BE=CE,在ABE和MCE中,ABEMCEBECEAEBMEC ,ABEMCE(ASA),AB=MC=4,CF=3DF,CF+DF=4,DF=1,CF=3,FM=FC+CM=3+4=7,ABMF,62ABG=MFG,AGB=MGF,ABGMFG,47ABGNMFGH,4GNGH,1628,1111GNGH,SAFG=SAFB-SAGB=111116564 4422221111AB HNAB GN ,故答案为5611【点睛】本题考

81、查了正方形的性质,三角形全等判定与性质,三角形相似判定与性质,割补法求三角形面积,掌握正方形的性质,三角形全等判定与性质,三角形相似判定与性质,割补法求三角形面积,熟练运用相似比计算线段的长是解题关键4141(2021(2021山西中考真题山西中考真题) )如图如图, ,在在ABC:中中, ,点点D是是AB边上的一点边上的一点, ,且且3ADBD, ,连接连接CD并取并取CD的中点的中点E, ,连接连接BE, ,若若45ACDBED , ,且且6 2CD , ,则则AB的长为的长为_63【答案答案】4 13【分析】延长BE交AC于点F,过D点作DGBEG于点,由45ACDBED 可得此时CEF

82、为等腰直角三角形,E为CD的中点且6 2CD ,则3 2CEDE,在等腰Rt CEF:中,根据勾股定理求得CF,EF长度,由BFDG可得EDGECF,即EGEF,由BFAC,BFDG可得ACDG,即BDGBAF,13BGBDFGAD ,求得,44 13ABBD【详解】如下图,延长BE交AC于点F,过D点作DGBEG于点,45ACDBED ,=45BEDCEF,90EFC ,BFAC,CEF为等腰Rt CEF:由题意可得E为CD的中点,且6 2CD ,3 2CEDE,在等腰Rt CEF:中,3 2CE =,3CFEF,又BFDG,64在ECFEDG和中,90CFEDGECEFDEGCEDE ED

83、GECF(AAS)3EFEG,BFAC,BFDG,/ /ACDG,13BGBDFGAD6FGEFEG,2BG ,223213BD ,44 13ABBD故答案为:4 13【点睛】本题考察了等腰直角三角形的性质,勾股定理求对应边的长度,全等三角形的性质与判定,相似三角形的性质与判定,构造合适的相似三角形,综合运用以上性质是解题的关键4242(2021(2021黑龙江大庆市黑龙江大庆市中考真题中考真题) )已知已知0234xyz, ,则则2xxyyz_【答案答案】56【分析】设234xyzk,再将, ,x y z分别用k的代数式表示,再代入约去k即可求解【详解】解:设0234xyzk,则234xky

84、kzk=，,65故2222222(2 )23461053412126xxykkkkkkyzkkkk,故答案为:56【点睛】本题考查了比例的性质,正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键三、解答题三、解答题4343(2021(2021广东中考真题广东中考真题) )如图如图, ,边长为边长为 1 1 的正方形的正方形ABCD中中, ,点点E E为为AD的中点连接的中点连接BE, ,将将ABE沿沿BE折叠得到折叠得到,FBE BF:交交AC于点于点G G, ,求求CG的长的长【答案答案】327CG 【分析】根据题意,延长BF交CD于H连EH,通过证明Rt EDHRt EFH HL:、DHEAEB:得

85、到34CH ,再由HGCBGA:得到34CGACCG,进而即可求得CG的长【详解】解:延长BF交CD于H连EH,66FBE:由ABE沿BE折叠得到,EAEF,90EFBEAB ,E为AD中点,正方形ABCD边长为 1,12EAED,12EDEF,四边形ABCD是正方形,90DEFBEFH ,在RtEDH和Rt EFH:中,EDEFEHEH,Rt EDHRt EFH HL:,DEHFEH ,又AEBFEB ,90DEHAEB,90ABEAEB,ABEDEH ,DHEAEB:,12DHAEDEAB,14DH ,13144CHCDDH ,CHAB,HGCBGA:,34CGCHAGAB,673344C

86、GAGACCG,1AB ,1CB ,90CBA,2AC ,324CGCG,327CG 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质、三角形相似的判定及性质以及正方形的性质,熟练掌握相关几何知识是解决本题的关键4444(2021(2021浙江宁波市浙江宁波市中考真题中考真题)()(证明体验证明体验) )(1)(1)如图如图 1,1,AD为为ABC:的角平分线的角平分线, ,60ADC, ,点点E E在在AB上上, ,AEAC求证求证: :DE平平分分ADB( (思考探究思考探究) )(2)(2)如图如图 2,2,在在(1)(1)的条件下的条件下, ,F F为为AB上一点上一点, ,连结连结FC交

87、交AD于点于点G G若若FBFC, ,2DG , ,3CD , ,求求BD的长的长( (拓展延伸拓展延伸) )(3)(3)如图如图 3,3,在四边形在四边形ABCD中中, ,对角线对角线AC平分平分,2BADBCADCA , ,点点E E在在AC上上, ,EDCABC 若若5,2 5,2BCCDADAE, ,求求AC的长的长【答案答案】(1)见解析;(2)92;(3)16368【分析】(1)根据 SAS 证明EADCAD,进而即可得到结论;(2)先证明EBDGCD:,得BDDECDDG,进而即可求解;(3)在AB上取一点F,使得AFAD,连结CF,可得AFCADC:,从而得DCEBCF:,可得

88、,CDCECEDBFCBCCF ,4CE ,最后证明EADDAC:,即可求解【详解】解:(1)AD平分BAC,EADCAD ,AEAC ADAD,EADCAD SAS:,60ADEADC ,18060EDBADEADC,BDEADE,即DE平分ADB;(2)FBFC,EBDGCD ,60BDEGDC ,EBDGCD:,BDDECDDGEADCAD,3DEDC2DG ,92BD ;(3)如图,在AB上取一点F,使得AFAD,连结CF69AC平分BAD,FACDAC ACAC,AFCADC SAS:,CFCDACFACDAFCADC 2ACFBCFACBACD ,DCEBCF EDCFBC ,DC

89、EBCF:,CDCECEDBFCBCCF 5,2 5BCCFCD,4CE 180180AEDCEDBFCAFCADC ,又EADDAC ,EADDAC:12EAADADAC,4ACAE,41633ACCE【点睛】70本题主要考查全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,添加辅助线,构造全等三角形和相似三角形,是解题的关键4545(2021(2021湖北鄂州市湖北鄂州市中考真题中考真题) )如图如图, ,在在ABCD:中中, ,点点E、F分别在边分别在边AD、BC上上, ,且且ABECDF (1)(1)探究四边形探究四边形BEDF的形状的形状, ,并说明理由并说明理由; ;(2)(2)连接

90、连接AC, ,分别交分别交BE、DF于点于点G、H, ,连接连接BD交交AC于点于点O若若23AGOG, ,4AE , ,求求BC的的长长【答案答案】(1)平行四边形,见解析;(2)16【分析】(1)利用平行四边形的判定定理,两组对边分别平行是平行四边形即可证明;(2)根据23AGOG,找到边与边的等量关系,再利用三角形相似,建立等式进行求解即可【详解】(1)四边形BEDF为平行四边形理由如下:四边形ABCD为平行四边形ABCADC ABECDF EBFEDF 四边形ABCD为平行四边形/ /ADBC71EDFDFCEBF / /BEDF/ /ADBC四边形BEDF为平行四边形(2)设2AGa

91、,23AGOG3OGa,5AOa四边形ABCD为平行四边形5AOCOa,10ACa,8CGa/ /ADBC,AGECGBAEGCBGEAGBCG ,AGECGB14AEAGBCGC4AE 16BC 【点睛】本题考查了平行四边形的判定定理、相似三角形的判定定理,解题的关键是:熟练掌握相关定理,能进行相关的证明4646(2021(2021北京中考真题北京中考真题) )如图如图, ,在在ABC:中中, ,ABACBACM为为BC的中点的中点, ,点点D在在MC上上, ,以点以点A为中心为中心, ,将线段将线段AD顺时针旋转顺时针旋转得到线段得到线段AE, ,连接连接,BE DE(1)(1)比较比较B

92、AE与与CAD的大小的大小; ;用等式表示线段用等式表示线段,BE BM MD之间的数量关系之间的数量关系, ,并证明并证明; ;(2)(2)过点过点M作作AB的垂线的垂线, ,交交DE于点于点N, ,用等式表示线段用等式表示线段NE与与ND的数量关系的数量关系, ,并证明并证明72【答案答案】(1)BAECAD ,BMBEMD,理由见详解;(2)DNEN,理由见详解【分析】(1)由题意及旋转的性质易得BACEAD ,AEAD,然后可证ABEACD,进而问题可求解;(2)过点E作EHAB,垂足为点Q,交AB于点H,由(1)可得ABEACD ,BECD,易证BHBECD,进而可得HMDM,然后可

93、得DMNDHE:,最后根据相似三角形的性质可求证【详解】(1)证明:BACEAD ,BAEBADBADCAD ,BAECAD ,由旋转的性质可得AEAD,ABAC,ABEACD SAS:,BECD,点M为BC的中点,BMCM,CMMDCDMDBE,BMBEMD;(2)证明:DNEN,理由如下:过点E作EHAB,垂足为点Q,交AB于点H,如图所示:90EQBHQB ,由(1)可得ABEACD,ABEACD ,BECD,ABAC,73ABCCABE ,BQBQ,BQEBQH ASA:,BHBECD,MBMC,HMDM,MNAB,/MN EH,DMNDHE:,12DMDNDHDE,DNEN【点睛】本

94、题主要考查全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质,熟练掌握全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定及等腰三角形的性质、旋转的性质是解题的关键4747(2021(2021四川南充市四川南充市中考真题中考真题) )如图如图, ,点点E E在正方形在正方形ABCDABCD边边ADAD上上, ,点点F F是线段是线段ABAB上的动点上的动点( (不与点不与点A A重合重合) )DFDF交交ACAC于点于点G G, ,GHAD于点于点H H, ,1AB , ,13DE (1)(1)求求tanACE(2)(2)设设AFx, ,GHy, ,试探究试探究y y与与x

95、 x的函数关系式的函数关系式( (写出写出x x的取值范围的取值范围) )(3)(3)当当ADFACE 时时, ,判断判断EGEG与与ACAC的位置关系并说明理由的位置关系并说明理由74【答案答案】(1)12;(2)y=1xx(01)x;(3)EGAC,理由见解析【分析】(1)过E作EMAC于M,根据正方形的性质得出DAC=45,AD=AB=BC=1,利用等腰三角形的性质得出EM=AM=23,再利用正切的定义即可得出答案;(2)过G作GNAB于N,先证得四边形HANG为正方形,再证明GNFDAF,根据比利式即可得出结论;(3)根据ADF=ACE和tanACE=12得出 AF=12,根据(2)中

96、的函数关系式得出HG=13,从而得出EHG为等腰直角三角形,继而得出EGAC【详解】(1)过E作EMAC于M在正方形ABCD中DAC=45,AD=AB=BC=1DE=13,AE=23,AC=2EM=AM=22AE=2223=23CM=AC-AM=2-23=2 23在RtCEM中,tanACE=EMCM=12(2)过G作GNAB于NHGAD,DAB=90四边形HANG为矩形,GNAD75HAG=45AH=HG四边形HANG为正方形HG=GN=AN=yGNADGNFDAFGNAD=NFAFAF=x,NF=x-y1y=xyxy=1xx(01)x(3)ADF=ACEtanACE=12tanADF=AF

97、AD=12AD=1AF=12即x=1276当x=12时,y=HG=13在RtAHG中,HAG=45AH=HG=13,HGA=45HE=AE-AH=13EHG为等腰直角三角形EGH=45AGE=90EGAC【点睛】本题考查了正方形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、解直角三角形等知识,适当添加辅助线,灵活运用所学知识是解题的关键4848(2021(2021四川资阳市四川资阳市中考真题中考真题) )已知已知, ,在在ABC:中中, ,90 ,BACABAC(1)(1)如图如图 1,1,已知点已知点D D在在BC边上边上, ,90 ,DAEADAE, ,连结连结CE试探究试探究BD与与CE的关系的

98、关系; ;(2)(2)如图如图 2,2,已知点已知点D D在在BC下方下方, ,90 ,DAEADAE, ,连结连结CE若若BDAD, ,2 10AB , ,2CE , ,AD交交BC于点于点F F, ,求求AF的长的长; ;(3)(3)如图如图 3,3,已知点已知点D D在在BC下方下方, ,连结连结AD、BD、CD若若30CBD, ,15BAD, ,26AB , ,243AD , ,求求sinBCD的值的值【答案答案】(1)BDCE,理由见详解;(2)5AF ;(3)7sin14BCD77【分析】(1)由题意易得BADCAE ,则易证ABDACE,然后根据全等三角形的性质可求解;(2)过点

99、A作AHBC于点H,由题意易得2 5AHBH,ABDACE,然后可得2BDCE,进而根据勾股定理可得6AD ,设DFx,则6AFx,易得BDFAHF:,则有55BFDFBDAFHFAH,所以56,55BFxHFx,最后问题可求解;(3)将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACG,过点A作APBC于点P,作DTBC于点T,分别过点G作GMBC,GNAP,交BC的延长线于点M,交AP于点N,由题意易得45ABCACB ,2 3BC ,则有75 ,ABDACGBDCG ADAG ,然后可得,NPGM NGPM,设,3CMx NPGMx,3,33NGPMx ANx,进而根据勾股定理可求解x的值,然后根据

100、三角函数可进行求解【详解】解:(1)BDCE,理由如下:90 ,90BACDAE ,90BADDACCAEDAC ,BADCAE ,ABAC ADAE,ABDACE SAS,BDCE;(2)过点A作AHBC于点H,如图所示:90 ,BACABAC,78BAC是等腰直角三角形,2 10AB ,2 5AHBH,90DAE,90BADDACCAEDAC ,BADCAE ,ADAE,ABDACE SAS,2CE ,2BDCE,BDAD,226ADABBD,90 ,ADBAHFDFBHFA ,BDFAHF:,设DFx,则6AFx,2552 5BFDFBDAFHFAH,56,55BFxHFx,5652 5

101、5BHBFHFxx,解得:1x ,AF=5;(3)将ABD绕点A逆时针旋转 90得到ACG,过点A作APBC于点P,作DTBC于点T,分别过点G作GMBC,GNAP,交BC的延长线于点M,交AP于点N,如图所示:7990 ,BACABAC,26AB ,BAC是等腰直角三角形,45ABCACB ,2 3BC ,3APCP,30CBD,75ABD,由旋转的性质可得ABDACG,75 ,ABDACGBDCG ADAG ,120BCGACBACG ,60GCM,GMBC,GNAP,APBC,四边形GMPN是矩形,NPGM NGPM,设,3CMx NPGMx,3,33NGPMPCCMx ANAPNPx,

102、在RtANG中,2222ANNGAGAD,243AD , 2233343xx,化简得:2462 3230xx,80解得:12123,22xx,15BAD,当232x时,易知与15BAD相矛盾,12x ,1BDCG,113,3222DTBDBTDT,3 32TCBCBT,在RtDTC中,227DCDTTC,172sin147DTBCDDC【点睛】本题主要考查三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理,熟练掌握三角函数、相似三角形的性质与判定、旋转的性质及勾股定理是解题的关键4949(2021(2021四川广元市四川广元市中考真题中考真题) )如图如图, ,在平行四边形在平行四边形AB

103、CD中中, ,E E为为DC边的中点边的中点, ,连接连接AE, ,若若AE的的延长线和延长线和BC的延长线相交于点的延长线相交于点F F(1)(1)求证求证: :BCCF; ;(2)(2)连接连接AC和和BE相交于点为相交于点为G G, ,若若GEC:的面积为的面积为 2,2,求平行四边形求平行四边形ABCD的面积的面积81【答案答案】(1)证明见解析;(2)24【分析】(1)根据E是边DC的中点,可以得到DECE,再根据四边形ABCD是平行四边形,可以得到ADEECF,再根据AEDCEF ,即可得到ADEECF:,则答案可证;(2)先证明CEGABG:,根据相似三角形的性质得出8ABGS:

104、,12AGABGCCE,进而得出4BGCS:,由ABCABGBCGSSS:得12ABCS,则答案可解【详解】(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,/BADC,ADBC,ADEECF,点E为DC的中点,DECE,在ADE:和ECF中ADEECFDECEAEDCEF ADEECF ASA:,ADCF,BCCF;(2)四边形ABCD是平行四边形,点E为DC的中点,/AB DC,2ABEC, GECABG ,GCEGAB ,CEGABG:,GEC:的面积为 2,221124ABGCEGSABSCE:,即44 28ABGCEGSS:,CEGABG:8212AGABGCCE, 118422BGCABGS

105、S :,8412ABCABGBCGSSS:,22 1224ABCDABCSS:【点睛】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答5050(2021(2021湖北随州市湖北随州市中考真题中考真题) )如图如图, ,D是以是以AB为直径的为直径的O:上一点上一点, ,过点过点D的切线的切线DE交交AB的延的延长线于点长线于点E, ,过点过点B作作BCDE交交AD的延长线于点的延长线于点C, ,垂足为点垂足为点F(1)(1)求证求证: :ABBC; ;(2)(2)若若O:的直径的直径AB为为 9,9,1sin3A 求线段

106、求线段BF的长的长; ;求线段求线段BE的长的长【答案答案】(1)见解析;(2)1BF ;97BE 【分析】(1)连接OD,由DE是O:的切线,可得DEOD,可证/OD BC,可得 ODAC由OAOD,可得ODAA 即可; (2)连接BD,由O:的直径AB为 9,1sin3BDAAB,可求3BD 可证 ABDF,由831sin3BFBDFBD,1BF 由(1)可知/OD BF,可证EBFEOD,由性质可得19922BEBE, 解方程得97BE 【详解】(1)证明:连接OD,DE是O:的切线,DEOD,又BCDE,/OD BC, ODAC又在OAD中,OAOD,ODAA ,CA ,ABBC; (

107、2)连接BD,O:的直径AB为 9,9AB ,在RtABD中,1sin3BDAAB,133BDAB又90OBDAFDBODB ,且OBDODB , ABDF,在Rt BDFV中,1sin3BFBDFBD,84113BFBD 由(1)可知/OD BF,DOE=FBE,ODE=BFE,EBFEOD,BEBFOEOD,即19922BEBE, 解得97BE 经检验符合题意【点睛】本题考查圆的切线性质,平行线性质,等腰三角形判定与性质,直径所对圆周角性质,锐角三角函数,三角形相似判定与性质,利用相似的性质构造方程是解题关键5151(2021(2021湖北黄冈市湖北黄冈市中考真题中考真题) )如图如图,

108、,在在ABC:和和DEC:中中, ,AD , ,BCEACD (1)(1)求证求证: :ABCDEC:; ;(2)(2)若若:4:9ABCDECSS:, ,6BC , ,求求EC的长的长【答案答案】(1)证明见解析;(2)9【分析】(1)先根据角的和差可得ACBDCE ,再根据相似三角形的判定即可得证;85(2)根据相似三角形的性质即可得【详解】证明:(1)BCEACD ,BCEACEACDACE ,即ACBDCE ,在ABC:和DEC:中,ACBDCEAD ,ABCDEC:;(2)由(1)已证:ABCDEC:,2ABCDECCCSSBE:,:4:9ABCDECSS:,6BC ,2649EC,

109、解得9EC 或9EC (不符题意,舍去),则EC的长为 9【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键5252(2021(2021四川广安市四川广安市中考真题中考真题) )如图如图, ,AB是是O:的直径的直径, ,点点F在在O:上上, ,BAF的平分线的平分线AE交交O:于点于点E, ,过点过点E作作EDAF, ,交交AF的延长线于点的延长线于点D, ,延长延长DE、AB相交于点相交于点C(1)(1)求证求证: :CD是是O:的切线的切线; ;(2)(2)若若O:的半径为的半径为 5,5,1tan2EAD, ,求求BC的长的长86【答案答案】(1)见解析

110、;(2)103【分析】(1)连接OE,由题意可证OEAD,且DEAF,即OEDE,则可证CD是O的切线;(2)连接BE,证明ADEAEB,得到ADAEDEAEABBE,根据tanEAD=12,在ABE中,利用勾股定理求出BE和AE,可得AD和DE,再证明COECAD,得到COOECAAD,设BC=x,解方程即可求出BC【详解】解:(1)连接OE,OA=OE,OAE=OEA,AE平分BAF,OAE=DAE,OEA=EAD,OEAD,EDAF,OEDE,CD是O的切线;(2)连接BE,AB为直径,AEB=90=D,又DAE=BAE,ADEAEB,87ADAEDEAEABBE,又 tanEAD=12

111、,12DEBEADAE,则AE=2BE,又AB=10,在ABE中,AE2+BE2=AB2,即(2BE)2+BE2=102,解得:BE=2 5,则AE=4 5,4 5104 52 5ADDE,解得:AD=8,DE=4,OEAD,COECAD,COOECAAD,设BC=x,55108xx,解得:x=103,经检验:x=103是原方程的解,故BC的长为103【点睛】本题主要考查了切线的判定,相似三角形的判定和性质,勾股定理,三角函数的定义,作出辅助线,熟练运用这些性质进行推理是本题的关键5353(2021(2021四川乐山市四川乐山市中考真题中考真题) )在等腰在等腰ABC:中中, ,ABAC, ,

112、点点D是是BC边上一点边上一点( (不与点不与点B、C重重合合),),连结连结AD88(1)(1)如图如图 1,1,若若60C, ,点点D关于直线关于直线AB的对称点为点的对称点为点E, ,结结AE, ,DE, ,则则BDE_;_;(2)(2)若若60C, ,将线段将线段AD绕点绕点A顺时针旋转顺时针旋转60得到线段得到线段AE, ,连结连结BE在图在图 2 2 中补全图形中补全图形; ;探究探究CD与与BE的数量关系的数量关系, ,并证明并证明; ;(3)(3)如图如图 3,3,若若ABADkBCDE, ,且且ADEC , ,试探究试探究BE、BD、AC之间满足的数量关系之间满足的数量关系,

113、 ,并证明并证明【答案答案】(1)30;(2)见解析;CDBE;见解析;(3)()ACk BDBE,见解析【分析】(1)先根据题意得出ABC是等边三角形,再利用三角形的外角计算即可(2)按要求补全图即可先根据已知条件证明ABC是等边三角形,再证明AEBADC,即可得出CDBE(3)先证明ACBCADDE,再证明ACBADE,得出BACEAD ,从而证明AEBADC,得出BDBEBC,从而证明()ACk BDBE【详解】解:(1)ABAC,60CABC是等边三角形B=60点D关于直线AB的对称点为点EABDE,BDE30 故答案为:30;89(2)补全图如图 2 所示;CD与BE的数量关系为:C

114、DBE;证明:ABAC,60BACABC:为正三角形,又AD绕点A顺时针旋转60,ADAE,60EAD,60BADDAC,60BADBAE,BAEDAC ,AEBADC,CDBE(3)连接AEABADkBCDE,ABAC,ACADBCDEACBCADDE又ADEC ,ACBADE,BACEAD ABAC,AEAD,BADDACBADBAE ,90DACBAE ,AEBADC,CDBEBDDCBC,BDBEBC又ACkBC,()ACk BDBE【点睛】本题考查相似三角形的证明及性质、全等三角形的证明及性质、三角形的外角、轴对称,熟练进行角的转换是解题的关键,相似三角形的证明是重点5454(202

115、1(2021浙江丽水市浙江丽水市中考真题中考真题) )如图如图, ,在菱形在菱形ABCD中中, ,ABC是锐角是锐角, ,E E是是BC边上的动点边上的动点, ,将射线将射线AE绕点绕点A A按逆时针方向旋转按逆时针方向旋转, ,交直线交直线CD于点于点F F(1)(1)当当AEBCEAFABC，=时时, ,求证求证: :AEAF; ;连结连结BDEF，, ,若若25EFBD, ,求求ABCD: 菱形的值的值; ;(2)(2)当当12EAFBAD时时, ,延长延长BC交射线交射线AF于点于点M M, ,延长延长DC交射线交射线AE于点于点N N, ,连结连结ACMN，, ,若若42ABAC，,

116、 ,则当则当CE为何值时为何值时, ,AMN:是等腰三角形是等腰三角形【答案答案】(1)见解析;825;(2)当43CE 或 2 或45时,AMN:是等腰三角形【分析】(1)根据菱形的性质得到边相等,对角相等,根据已知条件证明出BAEDAF ,得到ABEADF:,91由=AE AF,CECF,得到AC是EF的垂直平分线,得到/ /EFBD,CEFCBD,再根据已知条件证明出AEFBAC:,算出面积之比;(2)等腰三角形的存在性问题,分为三种情况:当AMAN时,ANCMAC:,得到CE=43 ;当NANM时,CENBEA:,得到CE=2;当=MA MN时,CENBEA,得到CE=45 【详解】(

117、1)证明:在菱形ABCD中,/ /ABADABCADCADBC，=,AEBCAEAD，,90ABEBAEEAFDAF ,EAFABCBAEDAF ,ABEADF:(ASA),=AE AF解:如图 1,连结AC由知,ABEADFBEDFCECF:，=,AEAFACEF，=在菱形ABCD中,/ /ACBDEFBDCEFCBD:，,25ECEFBCBD=,设=2ECa,则534ABBCaBEaAEa，=AEAFABBCEAFABC，=,AEFBAC:,22625=415AEFBACSAEaSABa:=,1168222525AEFAEFBACABCDSSSS:菱形= 92(2)解:在菱形ABCD中,1

118、122BACBADEAFBAD，=,BACEAFBAECAM， = =,/ /CABCDBAEANANCCAM， = =,同理,AMCNAC ,ACAMMACANCCNNA:，=AMN:是等腰三角形有三种情况:如图 2,当AMAN时,ANCMAC:,2CNAC,/ /ABCNCENBEA:，,142CECNABBEAB，=,14433BCCEBC，=如图 3,当NANM时,NMANAMBACBCA ,9312AMACANMABCANAB:，=,24CNACCENBEA:，=,122CEBEBC如图 4,当=MA MN时,MNAMANBACBCAAMNABC:，=,1212AMABCNACANA

119、C，=,14CECNCENBEABEAB:，=,1455CEBC综上所述,当43CE 或 2 或45时,AMN:是等腰三角形【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质、相似三角形的判定与性质、菱形中等腰三角形的存在性问题,解决本题的关键在于画出三种情况的等腰三角形(利用两圆一中垂),通过证明三角形相似,利用相似比求出所需线段的长5555(2021(2021江西中考真题江西中考真题) )课本再现课本再现(1)(1)在证明在证明“三角形内角和定理三角形内角和定理”时时, ,小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图小明只撕下三角形纸片的一个角拼成图 1 1 即可证明即可证明, ,其中与其中与A相等相等的角是的角

120、是_;_;94类比迁移类比迁移(2)(2)如图如图 2,2,在四边形在四边形ABCD中中, ,ABC与与ADC互余互余, ,小明发现四边形小明发现四边形ABCD中这对互余的角可类比中这对互余的角可类比(1)(1)中中思路进行拼合思路进行拼合: :先作先作CDFABC , ,再过点再过点C作作CEDF于点于点E, ,连接连接AE, ,发现发现AD, ,DE, ,AE之间之间的数量关系是的数量关系是_;_;方法运用方法运用(3)(3)如图如图 3,3,在四边形在四边形ABCD中中, ,连接连接AC, ,90BAC, ,点点O是是ACD两边垂直平分线的交点两边垂直平分线的交点, ,连接连接OA, ,

121、OACABC求证求证: :90ABCADC; ;连接连接BD, ,如图如图 4,4,已知已知ADm, ,DCn, ,2ABAC, ,求求BD的长的长( (用含用含m, ,n的式子表示的式子表示) )【答案答案】(1)DCE;(2)AD2+DE2=AE2;(3)见解析;BD=2254mn【分析】(1)根据拼图可求得A=DCE;(2)根据ABC与ADC互余求得ADF=ADC+ABC=90,利用勾股定理即可求解;(3)由点O是ACD两边垂直平分线的交点,证得OA=OD=OC,推出 2OAC+2ODC+2ODA=180,得到OAC+ADC =90,即可求解;作CDF=ABC,再过点C作CEDF于点E,

122、连接AE,求得AC:AB:BC= 1:2:5,同理可得CE:DE:DC= 1:2:5,证明ACEBCD,利用相似三角形的性质以及勾股定理即可求解【详解】(1)根据拼图可得:A=DCE;95故答案为:DCE;(2)作CDF=ABC,再过点C作CEDF于点E,连接AE,如图,ABC与ADC互余,即ABC+ADC=90,ADF=ADC+CDF=ADC+ABC=90,AD2+DE2=AE2;故答案为:AD2+DE2=AE2;(3)证明:连接OD、OC,点O是ACD两边垂直平分线的交点,OA=OD=OC,OAC=OCA,ODC=OCD,OAD=ODA,2OAC+2ODC+2ODA=180,即 2OAC+

123、2ADC =180,OAC+ADC =90,OAC=ABC,ABC +ADC =90;96作CDF=ABC,再过点C作CEDF于点E,连接AE,ABC +ADC=90,ABC +CDF=90,AD2+DE2=AE2,即m2+DE2=AE2,BAC=90,2ABACAC:AB:BC= 1:2:5,同理可得CE:DE:DC= 1:2:5,ACCEBCCD,CDF=ABC,ACB=DCE,BCD=ACE,ACEBCD,15AEACBDBC,AE=5BD,在RtCDE中,25DEDC,97DE=25n,m2+(25n)2=(5BD)2,即m2+45n2=25BD,BD2=2254mn,BD=2254mn【点睛】本题属于四边形综合题,考查了直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,学会利用参数构建方程组解决问题,属于中考压轴题