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1、根根 轨轨 迹迹 法法 根轨迹法根轨迹法: : 三大分析校正方法之一三大分析校正方法之一特点特点: :（1 1）图解方法，直观、形象。）图解方法，直观、形象。（2 2）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统）适用于研究当系统中某一参数变化时，系统 性能的变化趋势。性能的变化趋势。 （3 3）近似方法，不十分精确。）近似方法，不十分精确。4.1 4.1 根轨迹法的基本概念根轨迹法的基本概念根轨迹：根轨迹：系统某一参数由系统某一参数由0 变化时，变化时，闭环特征闭环特征根根在在s平面相应变化所描绘出来的轨迹。平面相应变化所描绘出来的轨迹。系系统统的的动动态态性性能能主主要要取取决决于于闭闭环环系系
2、统统特特征征方方程程的的根根闭闭环环极极点点，所所以以控控制制系系统统的的动动态态设设计计，关关键键就就是是合合理理地地配配置置闭闭环环极极点点。调调整整开开环环增增益益是是改改变变闭闭环环极极点的常用办法。点的常用办法。1948年年提提出出了了根根轨轨迹迹法法，它它不不直直接接求求解解特特征征方方程程，而用图解法来确定系统的闭环特征根。而用图解法来确定系统的闭环特征根。4.1.1 4.1.1 根轨迹示例根轨迹示例例例1 1 系统结构图如图所示，分析系统结构图如图所示，分析 l l 随开环增益随开环增益K 变化的趋势。变化的趋势。 解解. . K : K : 开环增益开环增益K K* *: :
3、 根轨迹增益根轨迹增益4.1.2 4.1.2 闭环零点与开环零、极点之间的关系闭环零点与开环零、极点之间的关系 闭环零点闭环零点= =前向通道零点前向通道零点+ +反馈通道极点反馈通道极点闭环极点与开环零点、开环极点及闭环极点与开环零点、开环极点及 K* K* 均有关均有关系统结构图如图所示，确定闭环零点系统结构图如图所示，确定闭环零点4.1.3 4.1.3 绘制根轨迹方程绘制根轨迹方程绘制根轨迹的两个条绘制根轨迹的两个条件件根轨迹方程及其含义根轨迹方程及其含义一般情况下一般情况下式中：式中：式中：式中： K*K*绘制根轨迹的可变参数，称为参变量；绘制根轨迹的可变参数，称为参变量；绘制根轨迹的
4、可变参数，称为参变量；绘制根轨迹的可变参数，称为参变量； p pj j(j j=1,2,=1,2,n n) ) 为系统的开环极点；为系统的开环极点；为系统的开环极点；为系统的开环极点； z zi i(i i=1,2,=1,2,mm) ) 为系统的开环零点；为系统的开环零点；为系统的开环零点；为系统的开环零点； 根轨迹方程根轨迹方程 模值条件模值条件 相角条件相角条件显然显然显然显然: : K*K*的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即的变动只影响幅值条件不影响相角条件，即K*K*变动相角条件是不变的变动相角条件是不变的
5、变动相角条件是不变的变动相角条件是不变的, ,简记为简记为简记为简记为不变的相角条件不变的相角条件不变的相角条件不变的相角条件。相角相角相角相角条件为条件为条件为条件为s点位于根轨迹上的点位于根轨迹上的充要条件。充要条件。充要条件。充要条件。 对对s平面上任意的点，总存在一个平面上任意的点，总存在一个 K*，使其满足，使其满足模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。模值条件，但该点不一定是根轨迹上的点。幅值条件幅值条件幅值条件幅值条件为必要条件为必要条件为必要条件为必要条件。例例2 2 判定判定s si i是否为根轨迹上的点。是否为根轨迹上的点。模值条件模值条件解解. . 相角条件相角条件4-2
6、 4-2 4-2 4-2 绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则绘制根轨迹的基本规则以以以以K*K*为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，为参变量的根轨迹，是最基本、最常用的根轨迹，称之为称之为称之为称之为典型根轨迹典型根轨迹典型根轨迹典型根轨迹。将系统开环传递函数表示为零极点。将系统开环传递函数表示为零极点。将系统开环传递函数表示为零极点。将系统开环传递函数表示为零极点型式：型式：型式：型式： 系统的闭环特征方程可以表示为：系统的闭环特征方程可以表示为：系统的闭环特征方程可以表
7、示为：系统的闭环特征方程可以表示为： 以以以以K*K*为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，为参变量的根轨迹上的每一点都必须满足该方程，相应地，我们称之为相应地，我们称之为相应地，我们称之为相应地，我们称之为典型根轨迹方程典型根轨迹方程典型根轨迹方程典型根轨迹方程。将将将将典型根轨迹方程可以典型根轨迹方程可以典型根轨迹方程可以典型根轨迹方程可以写成幅值条件和相角条件：写成幅值条件和相角条件：写成幅值条件和相角条件：写成幅值条件和相角条件： 模值条件模值条件 相角条件相角条件基于相角条件，基于相角条件，
8、基于相角条件，基于相角条件，在复平面上选足够多的试验点，对每在复平面上选足够多的试验点，对每在复平面上选足够多的试验点，对每在复平面上选足够多的试验点，对每一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点一个试验点检查它是否满足相角条件，如果是则该点在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上，如果不是则该点不在根轨迹上，最后将在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图在根
9、轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图在根轨迹上的试验点连接就得到根轨迹图。例例: :以下列以下列4 4阶系统为例手工绘制根轨迹图阶系统为例手工绘制根轨迹图. .先在复平面上标出开环极点先在复平面上标出开环极点先在复平面上标出开环极点先在复平面上标出开环极点p p1 1, , p p2 2, , p p3 3, , p p4 4和开环零点和开环零点和开环零点和开环零点z z1 1如图。对试验点如图。对试验点如图。对试验点如图。对试验点s s，如果它在根轨迹上，就应当满足相，如果它在根轨迹上，就应当满足相，如果它在根轨迹上，就应当满足相，如果它在根轨迹上，就应当满足相角条件：角条件：角条件：角条件：为
10、了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句为了尽快把握绘制根轨迹的要领，请牢记并理解三句话：话：话：话：绘制根轨迹绘制根轨迹绘制根轨迹绘制根轨迹依据的是开环零极点分布，遵循依据的是开环零极点分布，遵循依据的是开环零极点分布，遵循依据的是开环零极点分布，遵循的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹的是不变的相角条件，画出的是闭环极点的轨迹。 根轨迹规则的提出：根轨迹规则的提出：纯粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分纯
11、粹用试验点的办法手工作图，工作量是十分巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人巨大的，而且对全貌的把握也很困难，于是人们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘们研究根轨迹图的基本规则，以便使根轨迹绘图更快更准图更快更准。基本法则基本法则（1 1）（）（2 2）根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性法则法则1 1和和2 2 根轨迹的分支数根轨迹的分支数= =开环极点数；根轨迹连续且开环极点数；根轨迹连续且对称于实轴对称于实轴。 根轨迹在根轨迹在根轨迹在根轨迹在s s平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数平面上的分支数等于控制系统特征
12、方程的阶数平面上的分支数等于控制系统特征方程的阶数n n，即，即，即，即根轨迹的分支数与开环极点的数目相同根轨迹的分支数与开环极点的数目相同根轨迹的分支数与开环极点的数目相同根轨迹的分支数与开环极点的数目相同。特征方程中的参数为实数且连续变化，特征方程的根特征方程中的参数为实数且连续变化，特征方程的根要么是实根要么是共轭复根（要么是实根要么是共轭复根（对称于实轴对称于实轴），同时特），同时特征方程的根连续变化，则征方程的根连续变化，则根轨迹连续且对称根轨迹连续且对称。基本法则基本法则（3 3）根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则3 3 根轨迹起始于根轨迹起始于开环极点开环极点，终止于，
13、终止于开环零点开环零点；如果；如果开环零点个数开环零点个数少于开环极点个数，则有少于开环极点个数，则有 n-m 条根轨迹终条根轨迹终止于止于无穷远处无穷远处。 基本法则基本法则（4 4）根轨迹的渐近线根轨迹的渐近线法则法则4 4 如果控制系统的开环零点数如果控制系统的开环零点数如果控制系统的开环零点数如果控制系统的开环零点数m m 少于开环极点数少于开环极点数少于开环极点数少于开环极点数n n 时，渐近线有时，渐近线有时，渐近线有时，渐近线有n n- -m m 条，这些渐近线在实轴上交于一点。条，这些渐近线在实轴上交于一点。条，这些渐近线在实轴上交于一点。条，这些渐近线在实轴上交于一点。渐近线
14、为渐近线为渐近线为渐近线为由长除法可得由长除法可得由长除法可得由长除法可得渐近线渐近线做长除法并取高次项，得做长除法并取高次项，得做长除法并取高次项，得做长除法并取高次项，得由二项式定理由二项式定理由二项式定理由二项式定理基本法则基本法则（5 5）实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则5 5 实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数实轴上根轨迹是那些在其右侧的开环实极点数与开环实零点数的总数为奇数的线段。与开环实零点数的总数为奇数的线段。与开环实零点数的总数为奇数的线段。与开环实零点数的总数为奇数的线段。简记为简记为
15、简记为简记为“ “奇是奇是奇是奇是偶不是偶不是偶不是偶不是” ”。实轴上的根轨迹示例实轴上的根轨迹示例例例3 3 某单位反馈系统的开环传递函数为某单位反馈系统的开环传递函数为 ，证明复平面的根轨迹为圆弧。，证明复平面的根轨迹为圆弧。定理定理：若系统有若系统有2个开环极点，个开环极点，1个开环零点，且在复平面存在根轨迹，个开环零点，且在复平面存在根轨迹， 则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。则复平面的根轨迹一定是以该零点为圆心的圆弧。基本法则基本法则（6 6）与虚轴交点与虚轴交点法则法则6 6 与虚轴交点：与虚轴交点：解法解法I ：1 1）系统临界稳定点）系统临界稳定点2 2）s = j
16、w w 是根的点是根的点接例接例3 Routh ：解法解法II ：基本法则基本法则（7 7）分离点分离点 d法则法则7 分离点分离点 d：（对应重根）（对应重根）当当当当K*K*从从从从0 0变到变到变到变到 时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点时，根轨迹可能出现先会合后分离，这样的点称分离点。分离点对应称分离点。分离点对应称分离点。分离点对应称分离点。分离点对应重闭环极点重闭环极点重闭环极点重闭环极点。 显然显然显然显然，位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分
17、离点位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点位于实轴上的两个相邻的开环极点之间一定有分离点，因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个因为任何一条根轨迹不可能开始于一个开环极点终止于另一个开环极点。同理，开环极点。同理，开环极点。同理，开环极点。同理，位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一位于实轴上的两个相邻的开环零点之间也一定有分离点定有分离点定有分离点定有分离点。 当当当当然然然然，分分分分
18、离离离离点点点点也也也也可可可可以以以以是是是是复复复复数数数数，两两两两个个个个相相相相邻邻邻邻的的的的开开开开环环环环复复复复极极极极点点点点（或或或或零零零零点）之间可能有分离点。点）之间可能有分离点。点）之间可能有分离点。点）之间可能有分离点。 或或复数分离点示例复数分离点示例分离点的必要条件分离点的必要条件设开环传递函数为设开环传递函数为设开环传递函数为设开环传递函数为该方程只是该方程只是该方程只是该方程只是必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件必要条件而非充分条件，也就是说它的解不，也就是说它的解不，也就是说它的解不，也就是说它的解不一定是分离点，是否是分离点
19、还要看是否满足相角条件。一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。一定是分离点，是否是分离点还要看是否满足相角条件。 特征方程为特征方程为特征方程为特征方程为分离点的必要条件分离点的必要条件分离点的必要条件分离点的必要条件基本法则基本法则（8 8）出射角出射角/ /入射角入射角法则法则8 8 出射角出射角/ /入射角入射角根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹从从从从某某某某个个个个开开开开环环环环极极极极点点点点出出出出发发发发时时时时的的的的切切切切线线线线与与与与实实实实轴轴轴轴方方方方向向向向的的的的夹夹夹夹角角角角称称称称为为为为出出出出射
20、射射射角角角角，根根根根轨轨轨轨迹迹迹迹进进进进入入入入某某某某个个个个开开开开环环环环零零零零点点点点的的的的切切切切线线线线与与与与实实实实轴轴轴轴的的的的正方向的夹角称为入射角。正方向的夹角称为入射角。正方向的夹角称为入射角。正方向的夹角称为入射角。简记简记简记简记“ “加零去余极加零去余极加零去余极加零去余极” ”简记为简记为简记为简记为“ “加极去余零加极去余零加极去余零加极去余零” ”出射角出射角/ /入射角示例入射角示例例例4 单位反馈系统的开环传递函数为单位反馈系统的开环传递函数为，绘制根轨迹。，绘制根轨迹。注意注意注意注意只有复数极点或复只有复数极点或复只有复数极点或复只有复
21、数极点或复数零点才需要计算数零点才需要计算数零点才需要计算数零点才需要计算出射角出射角出射角出射角/ / / /入射角入射角入射角入射角。出射角出射角/ /入射角示例入射角示例基本法则基本法则（9 9）根之和根之和法则法则9 9 根之和：根之和：证明：证明： n-m 2时，闭环根之和保持一个常值。时，闭环根之和保持一个常值。由代数定理：由代数定理：n-m 2时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动时，一部分根左移，另一部分根必右移，且移动总量为零。总量为零。绘制根轨迹法则小结绘制根轨迹法则小结p法则法则 4 4 渐近线渐近线p法则法则 3 3 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点p法则法则
22、1 1、2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性p法则法则 5 5 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 9 9 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点p法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点法则法则 8 8 出射角出射角/ /入射角入射角2 2、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易、除非系统阶次很低，否则手工解方程求分离点决非易事，可以考虑用试根法；手工求出射角和入射角也不太事，可以考虑用试根法；手工求出射角和入射角也不太事，可以考虑用试根法；手工求出射角
23、和入射角也不太事，可以考虑用试根法；手工求出射角和入射角也不太好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅好操作，并且出射角和入射角的意义并不大，因为它仅仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不仅反映了开环极、零点处根轨迹的走向，稍远一点就不起作用了。起作用了。起作用了。起作用了。3 3、手工画根轨迹最有用的规则是、手工画根轨迹最有用的规则是、手工画根轨迹最有用的规则是、手工画根轨迹最有用的规
24、则是1 1到到到到5 5和和和和7 7，如果想得到，如果想得到，如果想得到，如果想得到更精确的根轨迹图，可用更精确的根轨迹图，可用更精确的根轨迹图，可用更精确的根轨迹图，可用MatlabMatlab绘制。绘制。绘制。绘制。 1 1、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是、根轨迹的上述规则对绘制根轨迹很有帮助，尤其是手工绘图，根据规则手工绘图，根据规则手工绘图，根据规则手工绘图，根据规则1 1到规则到规则到规则到规则5 5就能很快地画出大致形状就能很快地画出大致形状就能很快地画出大致形状就能很快地画
25、出大致形状，再按规则，再按规则，再按规则，再按规则7 7求出参数求出参数求出参数求出参数 K*K*的临界值的临界值的临界值的临界值K*cK*c，这样的根轨迹，这样的根轨迹，这样的根轨迹，这样的根轨迹图为概略图，图为概略图，图为概略图，图为概略图，一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指一般手工画根轨迹的习题（考题）就是指这种概略图这种概略图这种概略图这种概略图。 根轨迹示例1j0j0j0j0j0j00j0j0jj00j根轨迹示例2j0j0j00jj0j0j0j00jj00jj0n=1;d=conv(1 2 0,1 2 2);r
26、locus(n,d)n=1 2;d=conv(1 2 5,1 6 10);rlocus(n,d)绘制根轨迹示例绘制根轨迹示例例例5 已知系统结构图，绘制根轨迹。已知系统结构图，绘制根轨迹。解解. 渐近线：渐近线： 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,0-,0 与虚轴交点：与虚轴交点： 出射角：出射角：绘制根轨迹示例绘制根轨迹示例例例1 系统结构图如图所示系统结构图如图所示解解. (1) 渐近线：渐近线： 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-0.5, 1.75（1）绘制当）绘制当K*= 0 时系统的根轨迹；时系统的根轨迹；（2）分析系统稳定性随）分析系统稳定性随K*变化的规律。变化的规律。 出射角
27、：出射角： 与虚轴交点：与虚轴交点：本节将讨论两种特殊情况。一种是不以本节将讨论两种特殊情况。一种是不以本节将讨论两种特殊情况。一种是不以本节将讨论两种特殊情况。一种是不以K*K*为参量的根为参量的根为参量的根为参量的根轨迹轨迹轨迹轨迹参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹参数根轨迹，另一种是闭环系统为，另一种是闭环系统为，另一种是闭环系统为，另一种是闭环系统为正反馈系统正反馈系统正反馈系统正反馈系统。 4.3 4.3 4.3 4.3 特殊根轨迹图特殊根轨迹图特殊根轨迹图特殊根轨迹图4.3.1 4.3.1 参数根轨迹参数根轨迹在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变在绘制系统的根轨迹时，并非只能
28、以开环增益为可变在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变在绘制系统的根轨迹时，并非只能以开环增益为可变参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以参量，实际上对绘制根轨迹所选的参数可按需要加以选择，并称选择，并称选择，并称选择，并称以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成以非开环增益为可变参数绘制的根轨迹成为反馈系数的参数根轨迹为反馈系数的参数根轨迹为反馈系数的参数根轨迹为反馈系数的参数根轨迹。反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首
29、先将系统的特反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特反馈系统参数根轨迹的绘制步骤是，首先将系统的特征方程征方程征方程征方程 整理成如下形式的根轨迹方程，整理成如下形式的根轨迹方程，整理成如下形式的根轨迹方程，整理成如下形式的根轨迹方程，即即即即 式中式中 以以s 和参数和参数X 为自变量的开环传递函数；为自变量的开环传递函数； X 非开环增益的参变量；非开环增益的参变量； 不含参变量不含参变量X 的复变量的复变量s 的多项式，其中的多项式，其中s 最高最高次次幂项的系数需化成幂项的系数需化成+1+1，即需将，即需将 化成开环传递函数化成开环传
30、递函数的标准形式，即的标准形式，即其次，根据式右侧是其次，根据式右侧是其次，根据式右侧是其次，根据式右侧是-1-1，按绘制，按绘制，按绘制，按绘制180180根轨迹规则绘制，根轨迹规则绘制，根轨迹规则绘制，根轨迹规则绘制，式右侧是式右侧是式右侧是式右侧是+1+1按照按照按照按照00根轨迹规则绘制。同绘制以开环增根轨迹规则绘制。同绘制以开环增根轨迹规则绘制。同绘制以开环增根轨迹规则绘制。同绘制以开环增益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是益为参变量的普通根轨迹一样，来绘制参变量是X X=0=0 的参数根轨迹。
31、举例如下：的参数根轨迹。举例如下：的参数根轨迹。举例如下：的参数根轨迹。举例如下：例例例例 已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为已知系统的开环传递函数为 试绘制以试绘制以试绘制以试绘制以 为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹为参变量的根轨迹。解解解解 1 1恰当处理恰当处理恰当处理恰当处理原系统的特征方程为原系统的特征方程为原系统的特征方程为原系统的特征方程为代入已知数据，得代入已知数据，得代入已知数据，得代入已知数据，得通分通分通分通分得得得得用用用用 除上式得除上式得除上式得除上式得即即即即2 2按绘制根轨迹规则，绘制参量根轨迹如下图。按绘制
32、根轨迹规则，绘制参量根轨迹如下图。按绘制根轨迹规则，绘制参量根轨迹如下图。按绘制根轨迹规则，绘制参量根轨迹如下图。参数根轨迹示例参数根轨迹示例例例 系统开环传递函数系统开环传递函数解解. (1) 渐近线：渐近线： 实轴根轨迹：实轴根轨迹：-,0-,0，a=0 变化，绘制根轨迹；变化，绘制根轨迹；x=1x=1时，时， F(F(s)=?)=? 分离点：分离点：整理得：整理得： 与虚轴交点：与虚轴交点： 参数根轨迹参数根轨迹 除除 K* 之外之外其他参数变化时系统的根轨迹其他参数变化时系统的根轨迹构造构造 “ 等效开环传递函数等效开环传递函数 ” 4.3.2 4.3.2 零度根轨迹零度根轨迹 系统实
33、质上处于正反馈时的根轨系统实质上处于正反馈时的根轨迹迹 模值条件模值条件 相角条件相角条件绘制绘制零度零度根轨迹的基本法则根轨迹的基本法则 法则法则 4 4 渐近线渐近线法则法则 3 3 根轨迹的起点和终点根轨迹的起点和终点法则法则 1 1、2 2 根轨迹的分支数，对称性和连续性根轨迹的分支数，对称性和连续性 法则法则 5 5 实轴上的根轨迹实轴上的根轨迹法则法则 9 9 根之和根之和法则法则 6 6 分离点分离点法则法则 7 7 与虚轴交点与虚轴交点 法则法则 8 8 出射角出射角/ /入射角入射角零度根轨迹示例零度根轨迹示例例例4 系统结构图如图所示，系统结构图如图所示，K*= 0, 变化
34、变化, , 试分别绘制试分别绘制 0、180根轨迹。根轨迹。解解. 实轴轨迹：实轴轨迹：-, -1 出射角：出射角： 分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根：(1) (1) 180180 根轨迹根轨迹(2) (2) 0 0 根轨迹根轨迹-1, 4.4 4.4 利用根轨迹分析控制系统性利用根轨迹分析控制系统性能能例例1 已知系统结构图，已知系统结构图，K*= 0，绘制系统根轨迹并确定：绘制系统根轨迹并确定： 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围；的取值范围； 当当 l l3 3=-5 =-5 时，时，l l1 1，2 2= =？相应？相应 K=
35、? K=?利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤利用根轨迹法分析系统性能的基本步骤 绘制系统根轨迹；绘制系统根轨迹； 依题意确定闭环极点位置；依题意确定闭环极点位置； 确定闭环零点；确定闭环零点； 保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能保留主导极点，利用零点极点法估算系统性能 复极点对应复极点对应 x=0.5 (b=60x=0.5 (b=60o o) ) 时的时的 K 值及闭环极点位置；值及闭环极点位置； 当当 K K* *=4 4 时，时， 求求l l1, 2, 3 1, 2, 3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标( ( ,t,ts s) )。4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨
36、迹分析系统性能（2 2）解解. 绘制系统根轨迹绘制系统根轨迹 渐近线：渐近线： 实轴上的根轨迹：实轴上的根轨迹：-,-4, -2,0 分离点：分离点：整理得：整理得：解根：解根： 虚轴交点：虚轴交点：4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能（3 3）依题，对应依题，对应 设设应有应有：解根：解根：比较系数比较系数 使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益使系统稳定且为欠阻尼状态时开环增益 K 的取值范围的取值范围有：有： 复极点对应复极点对应 x=0.5 (b=60x=0.5 (b=60o o) ) 时的时的 K 值及闭环极点位置值及闭环极点位置由根之和由根之和4.4 4.4 利
37、用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能（4 4）解根：解根：试根试根 当当 l l3 3=-5 =-5 时，时，l l1 1，2 2= =？相应？相应 K=? K=? 当当 K K* *=4 4 时，时， 求求l l1, 2, 3 1, 2, 3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标( ( ,t,ts s) )令令4.4 4.4 利用根轨迹分析系统性能利用根轨迹分析系统性能（5 5）视视 l l1,2 1,2 为主导极点为主导极点 当当 K K* *=4 4 时，时， 求求l l1, 2, 3 1, 2, 3 并估算系统动态指标并估算系统动态指标( ( ,t,ts s) )例例例例2 2
38、已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 试画出以试画出以试画出以试画出以a a为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为为参变量的根轨迹图，并求出使阻尼比为0.50.5时时时时a a 的值。的值。的值。的值。解：解：解：解：1.1.1.1.恰当处理恰当处理恰当处理恰当处理用用用用 去除特征方程的两边得去除特征方程的两边得去除特征方程的两边得去除特征方程的两边得即即即即其中其中其中其中2. 2.按绘制按绘制按绘制按绘制180180根轨迹规则，绘制参量根轨迹根轨迹规则，绘制参量根轨迹根轨迹规
39、则，绘制参量根轨迹根轨迹规则，绘制参量根轨迹1 1）按规则）按规则）按规则）按规则1 1，根轨迹有三个分支。，根轨迹有三个分支。，根轨迹有三个分支。，根轨迹有三个分支。2）按规则）按规则2，根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。，根轨迹的三个分支连续且对称于实轴。3）按规则）按规则3，根轨迹的三个分支起始于三个开环极点，根轨迹的三个分支起始于三个开环极点， 。由于。由于m0，当，当a 时，三条根轨迹分别时，三条根轨迹分别趋向无穷远。趋向无穷远。4）按规则）按规则5，整个负实轴都是根轨迹上的点。作出开环零，极点，整个负实轴都是根轨迹上的点。作出开环零，极点分布图如图所示，分布图如图所示， 5）按规则
40、）按规则6，求根轨迹的分离点，求根轨迹的分离点6）按规则）按规则4，根轨迹的渐近线有，根轨迹的渐近线有nm3条：条：7 7）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。）没有复极点，复零点，故不用求入射角与出射角。8 8）按规则）按规则）按规则）按规则7 7，与虚轴的交点，与虚轴的交点，与虚轴的交点，与虚轴的交点: :3. 3.求求求求 时，时，时，时，a a 的值的值的值的值由于由于由于由于 由相角条件，结合图得由相角条件，结合图得由相角条件，结合图得由相角条件，结合图得则则则则 。因此，。因此，。因此，。因此，OCDOCD为直角三角形，为直角三角形，为直角三角形，为直角三角形，ODOD2 2 则则则则OCOC1 1，OAOA0.50.5，ACAC0.8660.866。C C点坐标为点坐标为点坐标为点坐标为0.50.50.866 0.866 j j由幅值条件由幅值条件由幅值条件由幅值条件
