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1、作业讲评作业讲评(1) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要问题主要问题记号混乱(2) 求全导数时用y=f (x)代入后按一元函数求导.没错, 但不符合要求.解解:记号, 如:而将混淆; 使用各种各样的不当13(3)求14(2)解解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设其中f具有二阶连续偏导数, 求(因f具有二阶连续偏导数, 所以看清题目要求,不要少做题. 第八章 第六节二 元 函 数 的 极 值一、二元函数的极值一、二元函数的极值二、条件极值二、条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 三三、最小二乘法、最小二乘法本节的教学要求本节的教学要求掌握二元函数的极值判别条件极值判别条件,
2、 会求解简单的二元函数极值问题简单的二元函数极值问题了解条件极值概念和拉格朗日乘数法了解最小二乘法的原理机动 目录 上页 下页 返回 结束 重点重点回顾一元函数的极值回顾一元函数的极值(一一) 二元函数的极值二元函数的极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 f (x)在x=x0可导, x=x0为极值点 f (x0)=0. f(x)在x=x0的两侧异号 f(x0)=0, f”(x0)0 或 f”(x0)0, y0. 由得驻点 根据实际问题可知，S一定存在最小值，所以是使S取得最小值的点,即当x=y=z=时, 函数S取得最小值 亦即当箱子的长、宽、高相等时, 所用的材料最少. 则有则V=xyz,例
3、例6求两种产品各生产多少, 工厂可取得最大利润?机动 目录 上页 下页 返回 结束 与9元, 生产x单位的产品I 与生产y单位的产品 II 的总解解:(元) 设 L(x, y) 表示产品与分别生产x与y单位时所得驻点(120,80).某工厂生产两种产品与, 出售单价分别为10元费用是:得的总利润. 由因为总利润等于总收入减去总费用, 所以驻点(120,80).机动 目录 上页 下页 返回 结束 再由 由题意知, 生产120件产品, 80件产品时所得利润而最大.所以,当x=120和y=80时, L(120,80)=320是极大值.机动 目录 上页 下页 返回 结束 无条件极值无条件极值条件极值条
4、件极值（二）条件极值和拉格朗日乘数法（二）条件极值和拉格朗日乘数法如例6的生产问题, 此时无极值. 一定受到生产能力的限制, 自变量不受条件约束时的极值自变量受条件约束时的极值受约束, 故实际中多数情况是条件极值问题.如果产量不求收益最大时的产量就是无条件极值问题,因为实际中, 产量当然这不符合实际,包括资金、人力、 固定设备等的约束.产量越高, 收益越大,第一步 作拉格朗日函数 求解条件极值问题的一种方法.拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为拉格朗日乘数. 求函数步骤步骤:得点第二步 求解 消去, 解出x,y， 第三步 判别此点为可能极值点. 由问题的具体性
5、质判断) 在约束条件下的极值.问题问题:(用充分条件或是否为极值点.求三元函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (约束条件一般应少于未知量的个数)下的极值的方法： 判断它是否为极值点. 消去, 解出x,y,z, 得点 作拉格朗日函数 由在约束条件为拉格朗日乘数；例例7机动 目录 上页 下页 返回 结束 用拉格朗日乘数法求本节例6中容积一定的长方消去, 解出 即求函数 条件 解解:体表面积最小值。在约束下的最小值。方程组一般为非线性方程组,常常难于求得解析解.机动 目录 上页 下页 返回 结束 的最短距离。解解:例例8的距离r 满足 到平面 到任一点 应满足条件为 求由一定点点点令得则此即空
6、间一点到平面 的垂直距离公式。 机动 目录 上页 下页 返回 结束 经验公式经验公式之间的数学关系式.（三）最小二乘法（三）最小二乘法最小二乘法是建立经验公式的一种方法.将这些数据作为平面上点的坐标,出这些点.用实验或调查得到的数据, 如何确定a, b?为了确定变量x和y之间的相依关系, 为x与y之间存在线性关系, n次测量或调查,建立的各个量我们对它们进行得到n对数据在直角坐标系中描若这些点几乎分布在一条直线上,我们就认直线的方程为a, b应使直线与这n个点“最接近”, 如何确定如何确定a, b? ? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小.个函数的极值的问题。接近”最合理的表述应该是使把
7、S看成a, b的函数, “最求方程中a, b值的问题就是求这测量值点直线上的点a, b取何值能使 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最小?其中解出a,b就得到最小二乘法公式：例例9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 如表所列。代入公式得 试利用表中数据建立变量 依赖于变量 的线性关系.解解: 列表计算各和数(i =1,2,6)两个相依的量与, 由确定, 经6次测试, 得数据i81012141618i81010.4312.7814.416变量依赖于变量的线性关系是 ii i i2 ii 1886464 78 71.61 1084 986.48 课堂练习课堂练习 1. 求下列函数的极值 又所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:因此函数在点(4,1)取得极小值由得驻点 2. 欲围一个面积为60米2 的矩形场地, 正面所用材料每米造价10元, 其余三面每米造价5元, 求场地长宽各为多少米时, 所用材料费最少. 材料费为z元.消去, 解得机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 设长、宽各为x,y米,设显然存在最小值, 所以长宽各为米时材料费最少.也可以代入消去y内容小结内容小结 1. 二元函数的极值 2. 条件极值机动 目录 上页 下页 返回 结束 必要条件充分条件拉格朗日乘数法, 代入法作业作业 P365 19(2),(3); 20; 21; 22; 23(2)
