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1、核心概念之二：核心概念之二：符号意识符号意识 （1）何为符号意识？）何为符号意识？n所谓符号所谓符号就是针对具体事物对象而抽象概括就是针对具体事物对象而抽象概括出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、出来的一种简略的记号或代号。数字、字母、图形、关系式等等构成了数学的符号系统图形、关系式等等构成了数学的符号系统n符号意识符号意识（Symbol sense）是学习者在感）是学习者在感知、认识、运用数学符号方面所作出的一种知、认识、运用数学符号方面所作出的一种主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。主动性反应，它也是一种积极的心理倾向。符号感符号感（Symbol SenseSymbol Sense）
2、 为何改为符号意识？为何改为符号意识？n英文单词一样，但改动后中文意义有所英文单词一样，但改动后中文意义有所不同不同n符号感主要的不是潜意识、直觉符号感主要的不是潜意识、直觉n符号感最重要的内涵是运用符号进行数符号感最重要的内涵是运用符号进行数学思考和表达，进行数学活动，这是一学思考和表达，进行数学活动，这是一个个“意识意识”问题，而不是问题，而不是“感感”的问题的问题（2）符号意识的含义）符号意识的含义n标准标准对符号意识的表述有这样几层意思对符号意识的表述有这样几层意思值得我们体会：值得我们体会：其一，能够理解并且运用符其一，能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律。号表示数、数量关
3、系和变化规律。即对数学即对数学符号不仅要符号不仅要“懂懂”，还要会，还要会“用用”符号符号“操作操作”n其二，知道使用符号可以进行运算和推理，其二，知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。得到的结论具有一般性。这一要求的核心是这一要求的核心是基于运算和推理的符号基于运算和推理的符号“操作操作”意识。这涉意识。这涉及到的类型较多，如对具体问题的及到的类型较多，如对具体问题的符号表示、符号表示、变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象变量替换、关系转换、等价推演、模型抽象及模型解决及模型解决等等等等符号表达符号表达与与符号思考符号思考n其三，使学生理解符号的使用是数学表达和其三，使学生
4、理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。进行数学思考的重要形式。这又引出了两个这又引出了两个除符号理解和操作之外的要求，即符号的表除符号理解和操作之外的要求，即符号的表达与思考。达与思考。n概括起来，符号意识的要求就具体体现于概括起来，符号意识的要求就具体体现于符符号理解、符号操作、符号表达、符号思考号理解、符号操作、符号表达、符号思考四四个维度。个维度。n例：例：在下列横线上填上合适的数字，字母或在下列横线上填上合适的数字，字母或图形，并说明理由。图形，并说明理由。 1,1,2 1,1,2；1,1,21,1,2； ， ， ； A,A,B A,A,B；A,A,BA,A,B； ， ，
5、； ， ， ；， ； ， ， ；n通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：通过观察规律，使一学段学生能够感悟到：对于有规律的事物，无论是用数字还是字母对于有规律的事物，无论是用数字还是字母或图形都可以反映相同的规律，只是表达形或图形都可以反映相同的规律，只是表达形式不同而已。式不同而已。符号表达的多样性符号表达的多样性 发展符号意识最重要的是运用符号进发展符号意识最重要的是运用符号进行数学思考，我们不妨把这种思考称为行数学思考，我们不妨把这种思考称为“符号思考符号思考”n例：例：“房间里有房间里有4 4条腿的椅子和三条腿的凳子共条腿的椅子和三条腿的凳子共1616个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共
6、有个，如果椅子腿数和凳子腿数加起来共有6060个，那个，那么有几个椅子和几个凳子？么有几个椅子和几个凳子？” 如果学生没有经过专门的如果学生没有经过专门的“鸡兔同笼鸡兔同笼”解题解题模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行模式的思维训练，他完全可以使用恰当的符号进行数学思考，找到解题思路。如可以用数学思考，找到解题思路。如可以用表格表格分析椅子分析椅子数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得数的变化引起凳子数和腿总数的变化规律，直接得到答案；也可采用到答案；也可采用一元一次方程一元一次方程或或二元一次方程组二元一次方程组的、关于字母的思考方式来加以解决。的、关于字母的思考方式来加以解决
7、。核心概念之三：核心概念之三：空间观念空间观念（1）空间观念的含义）空间观念的含义n空间观念空间观念是指对物体及其几何图形的形状、是指对物体及其几何图形的形状、大小、位置关系及其变化建立起来的一种大小、位置关系及其变化建立起来的一种感知和认识，空间想象是建立空间观念的感知和认识，空间想象是建立空间观念的重要途径重要途径n空间观念也是创新精神所需的基本要素，空间观念也是创新精神所需的基本要素，没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈没有空间观念和空间想象力，几乎很难谈发明与创造发明与创造（2） 标准标准中空间中空间 观念所提出的要求观念所提出的要求n标准标准从从四个方面四个方面提出了要求：提出了要求
8、：n根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；形想象出所描述的实际物体；n想象出物体的方位和相互之间的位置关系；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；n描述图形的运动和变化；描述图形的运动和变化；n依据语言的描述画出图形等。依据语言的描述画出图形等。核心概念之四：核心概念之四：几何直观几何直观 此次新增的核心概念此次新增的核心概念（1 1）对几何直观的认识）对几何直观的认识n顾名思义，几何直观所指有两点：顾名思义，几何直观所指有两点：一是几何一是几何，在这里几何是指图形；在这里几何是指图形；一是直观一是直观，这里的直，这里的直观不仅仅
9、是指直接看到的东西（直接看到的观不仅仅是指直接看到的东西（直接看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的是一个层次），更重要的是依托现在看到的东西、以前看到的东西进行思考、想象，综东西、以前看到的东西进行思考、想象，综合起来合起来几何直观就是依托、利用图形进行数几何直观就是依托、利用图形进行数学的思考、想象学的思考、想象。它在本质上是一种通过图。它在本质上是一种通过图形所展开的想象能力。形所展开的想象能力。n希尔伯特希尔伯特（Hilbert）在其名著在其名著直观几何直观几何一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述一书中指出，图形可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的研究的
10、问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。思路；可以帮助我们理解和记忆得到的结果。几何直观在研究、学习数学中的价值由此可几何直观在研究、学习数学中的价值由此可见一般。见一般。（2 2）标准标准中中几何直观几何直观的含义的含义n标准标准指出：指出：“几何直观是指利用图形描述几何直观是指利用图形描述和分析问题。和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都
11、发挥着地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。重要作用。”它表明：今后数学课程中有两件事需它表明：今后数学课程中有两件事需要刻意去做，即针对较抽象的数学对要刻意去做，即针对较抽象的数学对象的象的“图形表示图形表示”和和“图形分析图形分析”。n前者前者指教学中要培养学生通过画图来表达指教学中要培养学生通过画图来表达数学问题的习惯，能画图时尽量画；数学问题的习惯，能画图时尽量画；后者后者指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂指引导学生借助图形将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展示出来，通过的数学关系直观、清晰地展示出来，通过对图形的分析思考进而寻求解决问题的思对图形的分析思考进而寻求
12、解决问题的思路。路。 （3 3）几何直观的培养）几何直观的培养 使学生养成画图习惯使学生养成画图习惯, ,鼓励用图形表达问题鼓励用图形表达问题n可以通过多种途径和方式使学生真正体会到可以通过多种途径和方式使学生真正体会到画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便画图对理解概念、寻求解题思路上带来的便利。在教学中应有这样的导向：利。在教学中应有这样的导向：能画图时尽能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象量画，其实质是将相对抽象的思考对象“图图形化形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观过程变得直观重视变换重视变换让图形动起来让图形动起来 几何变换或图形的
13、运动既是学习的对象，也是几何变换或图形的运动既是学习的对象，也是认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最认识数学的思想和方法。在数学中，我们接触的最基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长基本的图形都是对称图形，例如圆、正多边形、长方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，方体、长方形、菱形、平行四边形等；另一方面，在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用在认识、学习、研究非对称图形时，又往往是运用这些对称图形为工具的。这些对称图形为工具的。变换又可以看作运动，让变换又可以看作运动，让图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图图形动起来是指再认识这些图形时，在头脑中让图形动起来
14、，形动起来，例如，平行四边形是一个中心对称图形，例如，平行四边形是一个中心对称图形，可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角可以把它看作一个刚体，通过围绕中心（两条对角线的交点）旋转线的交点）旋转180180度，去认识、理解、记忆平行度，去认识、理解、记忆平行四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解四边形的其他性质。充分地利用变换去认识、理解几何图形是建立几何直观的好办法。几何图形是建立几何直观的好办法。 学会从学会从“数数”与与“形形”两个角度认识两个角度认识数学数学 数形结合首先是对知识、技能的贯通式数形结合首先是对知识、技能的贯通式认识和理解。以后逐渐发展成一种对数与形认识和理解
15、。以后逐渐发展成一种对数与形之间的化归与转化的意识，这种对数学的认之间的化归与转化的意识，这种对数学的认识和运用的能力，应该是形成正确的数学态识和运用的能力，应该是形成正确的数学态度所必需要求的。度所必需要求的。 例如，例如，若每两人握一次手，则若每两人握一次手，则3个人共握几次个人共握几次手，手，4个人共握几次手个人共握几次手， n个人共握几次个人共握几次手？手？ 用归纳的方法探索规律，如下表用归纳的方法探索规律，如下表: 人数人数 握手次数握手次数 规律规律 2 1 1 3 3 1+2 4 6 1+2+3 n 1+2+3+(n-1)A1A2A3ANn对于七、八年级的学生来说，要发现对于七、
16、八年级的学生来说，要发现“1+2+3+1+2+3+(+(n n-1)-1)”这个规律并不容易，计算这个规律并不容易，计算1+2+3+1+2+3+(+(n n-1)-1)得到得到 1/2 1/2 n n（n n -1 -1） 也有困难。也有困难。n但是，如果把但是，如果把“人人”抽象成抽象成“点点”，“两人握两人握1 1次次手手”抽象成抽象成“两点之间连接一条线段两点之间连接一条线段”，那么借助，那么借助图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于图形的直观就能简明地解决问题。如图，对于n n点点中的任何一个点，它与其它的（中的任何一个点，它与其它的（n-1n-1）个点共可连）个点共可连接（接（n
17、n -1 -1）条线段，因而）条线段，因而n n个点共可连接个点共可连接n n（n n -1 -1）条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段条线段。因为两点之间有且只有一条线段（线段ABAB与线段与线段BABA是同一条线段），所以共可连接是同一条线段），所以共可连接 1/2 1/2 n n（n n -1 -1）条线段。）条线段。用用“图形法图形法” 解决问题解决问题 掌握、运用一些基本图形解决问题掌握、运用一些基本图形解决问题 把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，把让学生掌握一些重要的图形作为教学任务，贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例贯穿在义务教育阶段数学教学、学习的始终。例如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸，如，除了前面指出的图形，还有数轴，方格纸， 直角坐标系等等。直角坐标系等等。在教学中要有意识地强化对基在教学中要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、本图形的运用，不断地运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记忆结果描述问题，理解、记忆结果，这应该成为教学中，这应该成为教学中关注的目标。关注的目标。
