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1、课题考点分析同构新天地，放缩大舞台在成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到 这个函数模型（即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函 数模型的方法，我们就称为同构法.授课内容在成立或恒成立命题中， 很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的， 如果我们能找到这个函数模型 （即不等式两边对应的同一函数），无疑大大加快解决问题的速度.找到这个函数模型的方法，我们就称 为同构法.如，若尸（620 能等价变形为/卜（刈之川?（刈，然后利用/的单调性，（如递增，再转化为g（x）zMx）,这种方法我们就可以称为同构不等式（等号成立时，称
2、为同构方程），简称同构法.当然，用 同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力、对代数式的变形能力的要求也是比较高的 .正所谓，同构解题，观察第一！同构出马，谁与争锋！同构思想放光芒，转化之后天地宽！一、地位同等要同构，主要针对双变量；方程组上下同构，合二为一泰山移.（1）驾*/ 切=小）-小）。的=/在= ）,=/）_乙为增函数。止,3辿=fM+/()+ 2x,-x2=y=x1x2为减函数。Xxx2$x2含有地位同等的两个变量外,巧，或 P,9 等不等式，进行“尘归尘，上归土”式的整理，是一种常见变形, 如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个
3、变量的大小）.二、指对跨阶想同构，同左同右取对数.同构基本模式：同右：eaIn ea/(x)=xlnx(1)积型：oe=( 同左：aea(nb)enbf(x)=xex取对：a+In amexx2InA2exoxm说明：上述三个方法“取对”是最快捷和直观的欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!(2)商型：a同右：ea nea/(x)= exInx 同左：/a(3)和差型：e a1bIIZ?/?= hi(x+1)+x+1=*+ax+In(x+l)oaxln(x+1)In/?=同右一/(%)= -Ine。nbInxJ-Inx同左 aIn bx取对：a-In axlnx(1)aeaK Inx3exan(a
4、x-a)-avIn=e：-In a In(x-l)-la=+x-ln ln(x-l)+x-l=*+ln(x-1)ox-Ina In(x-l)优log,xoe， (xln a)etlnaxlnxIn aIn x注意：因为“PogaX 互为反函数，所以还可以这样转化优logxo 优x=lna X对于某些不等式，两边互为反函数比较隐蔽，需要出众的观察和做题量。如：-ex+ Ina(x-l)-L+11 x-11aa% - aexae-四、同构放缩、切线放缩.22exx+ =/T x=exex=ex x2,ex+x+,esax+xOa)eX，=e 什必)之x+1nx+1,J=ein.” 变形：xIf(0
5、xx-lnx+L = e*Flnx7+l;X2 靖=*23zx+2InX+Lx2er=ex+2,nr ex+2In xx1InxInInxJnxInx1=xInxx-1,eInx1).In x (x )Anx0解析：log2x- A 2*之0=%log2xNkx2设乂a (log2%)-rkx-(2) e2Zx-hiVx02解析；e2Ajc-TIn(3)x2In x-mex0m0ae2Ax之7-Inxa2Are2xxnxa2Axe2Ajc (lnx)elnxif( 幻=/e，fM=x-2x.解析:：箕勺!一 0 =箕 lux 之，e=In%+In(lnx)N：+ln ：f(x)=r+Injr.
6、(4)a(e+l)之彳 x+ ，In x解析,Q(e+1)2(r+)lnxaxeax 2r2lnjt+21nx=x2lnr2+lnjt20ax e axnx2- e1n+lnrzFf(x)=xer+x.(5)ciln(x-1)+2(x-1) ax+2es解析；aln(x-1)+ 2(x- 1)ax+ 2exa ln(r 1)+20r-1)alnex+2 铲,f(x)=anx+2x(6)x+anx+e1xa(x)解析：x+anx +erxa=x+L*(7)ex-2x-nx=0解析；。-*-2x-nx=0=-x=x+lnre-x+In 。-=%+In%,/(r)=x+Inr.(8)x2ex+hix
7、=0解析；jv2ex+lnx=0ex=- ex=-ln- exlnex=-In-, f(x)=xnx.xXX XX例 2：已知不等式/1。8,吊”0,。工 1),对立(0,y)恒成立，则。的取值范围.,-nxa e*x-Ine-yxa-nxaf(x) =x-Inx.1解析：axloga c=exlnaIna(rlna)e-r,na(lnx)elnxt f(x)=xex=XnXexlna|nexlnnyjnyxlna+ln(AIna)Inx+ln(lnx)tf(x)=x+Inx(rlna)ex,naxnx(1)(2)(三种模式，只需写一种)由(3)得，xlnalux, 即 In” 巫，由导数法可
8、得 Ina 从而 ae?.JCe欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!例 3:若对任意 x0,恒有(6+1)22X+LbIX, 则实数。的最小值为-解析；a(e+1) 之2 十 InAax(e4-1)(x2+1)ln2o(e+1)Ine(xz+1)ln-v2 【积型同构】令/（幻=（义 41）In 文，则尸（义）=nx+?.f ”（犬）=：易知 ra）在（o.i）上递减.在（L+8）上递增,所以尸（%）工尸（1）=2o.所以 f（x）在（0,+8 ）单调递增。则+1 ）Ineax （x2+ 1）In 婷o/ （eax） f（x2）r2 ax 2nx a由导数法易证工；所以口三.故答案为答案： xe
9、e ee e例 4：已知函数/(x)= ln(ax-a)+a(a0), 若关于 x 的不等式/(x)0 恒成立，则实数。的取值范国是()A(0,e2B.(0)D.(l,e2)答案；B.解析；/(幻=ex-a ln(ar-a)4-a0-exlna(x 1)-1=erlna-Inaln(x-1)-1a 铲 T*a+r-!na 即十ln(x_1), 【和差型同构】令 g(x)=ex+x, 显然 g(x)为增函数.则原命题又等价于 g。-Ina)g(ln(r-1)r-Inaln(-1)oIna-ln(x-1).由于x-InQ-l)x-(x-2)=2所以Ina2,即得0a0,不等式 2aeInx+lna
10、N0 恒成立，则实数。的最小值为-解析2 2ae2x-nx +Ina02tze2xIn 。Zxe2x0 ）【积型同构】a2%+In2%N】n；十In （in2 ） （%Q ，由于叫x+ln”为增函数,所以由/（次）之广（访 3,得加 2In 即 a 之恒成立.令 g（x）二言 则 1 （乃二螯.易得 g（%）2c=g（J 二会 所以实数。的最小值为盘例 6：已知函数/（x）= ?ln（x+l ）3x 3,若关于 x 的不等式/（x） 田一 3/在（0,2）恒成立，则实数的取值范围是（）A.0,38.3,）C.（-s,3D（-s,0解析；+1)-3(x+1)ntx - 次，=mine* 3e【同
11、构】令 g(x) =mnx-3K,由 g(x+1)g(ex),且 1%+1er,知虱箕)在(1, +8)为减函数.所以g(x)-Y-3m7n-f(x)0e证明：当 QN 朋，r7-,nx-b所以只需证明?一 感-120.由卜In* 1 之 0 o 之 cln 改xexexnexoxex e,nexIn ex.【同构】e令 g(x)= xexf由 9(幻=ex(r +1) 。知 g(x)为增函数，又易证%Inex=Inx+1所以 gQ)2g(lner),B|Jxex 成立.故当 QN 乎 t, fM 0.例 8：已知 x0 是函数/(工)=/靖-2+仙工一 2 的零点，则/+1%=-答案：2.解
12、析！r2ex-2+lnx-2=0r2e2=2-Inx=xex=?n?= nr- x =In(in(?)+In仔).所以1!1( 亍)=%,即 2 Inx=%, 或 e2T= 彳.则合-%+Inxg=x0-Flnr0=2.例 9：已知函数 7 届)=1!1%一%+1 遭(%)= 皿”一 4 苍其中 40。求证：g(x)-2f(x)2(lna-In2)证明；g(r)- 2fM=axe 4 塞-2(lnr-x+1)=axex-2(nx +JT+ 1)=axe 戈- 2 luxe” -2.令 h) =cu-21nz-2, 则”) 二0- ：=等，易知/!()()=-21n=2(lnfl-ln2).故
13、g(-2/GQ2(lna -In2).例 10：已知函数/（x）=xeai lnx ax, 其中/（x）20 对任意 x0 恒成立，则实数 n 的最小值是_.解析：MRUT-Inx-ax=elnx+ax-1- （Inx+g ）之（Inx+ax ） Qnx+QX）=0 （利用 了/一】 x）等号成立的条件是lnx+ax=L 即 a= 乎有解.令 gQ）二手,则 g（乃=若邦易得 ga）min=g （eZ）=-&故 a 的最小值为一：.欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!例 11：已知函数/(工)=.伞2-4,若/(x)Nl+x+lnx,求的取值范围.解析,fWlxnxo%(e-Q)i+%+m%o/
14、x+H-j-x-nxaxe2x4,nx-l-jr-lnjr=a0 时，若 (x)=/(x)-ag(x) 之。恒成立,a求实数。的取值范围。解析:f(r)-ag(x)0xex+ea(lnx+ 寅+1)aer+lnr+ea(lnr+r+1),当 Inx+%+!_ 0, 不等式恒成立;当 lnx+%+l0时,Lf,由卜吧丝蛆之x+lnx+3x-blnA+1-式+LnxMnxM当且仅当 x + ln;r=l 等号成立，所以 ae.例 13：已知函数/a)= zdnx,若关于 x 的不等式/(x)2xl 在(0 什 8)上恒成立，则实数切的取值集合是_.答案：!1.解析；mxlnx 之 x-1 恒成立，
15、又等价于 m1,即加 InxWx-1恒成立，根据 InxWx-l 恒XXX成立，可知 m=1.例14: 已知函数 f(x)= +6/(lnx- x),求证：0voJ(x)+/0ox证明，/(x)= +a(Inx-x)+e2=-a(r-lnr)+e2=-aln +e2=r-alnt+e2(t= e),令 g(t)=t-e2Int+e2(te), 则 g(t)=1易知 gtog(e2)=e2-2e2+ e2=0.又 0at-e2In 14- e2= g(t).所以 Ova 至e2时，/(r)例15: 证明：_hl(r+x)一_L+i0oex+0.A+1证 三+iOuMn-in(M+幻+无一 1N0
16、.exx4lx+ 1即因为_111a2+ X)+ 无_1=1武式)7 一11a2+ %)+% 一iln(x2+ x)-x+1-ln(jr2+ x) +%-1=0.所以 t-史*2-二十1N0eJC1x+1欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!例 16：已知 a0,函数/6)= 。1 一 11】(工+4)-1( 工0)的最小值为。，则实数。的取值范围是()IH心)嗯 D。答案：C.解析？f(x)=ex-ln(jr+a)-1r-a+1-(r+a-1)-1=1-2a=0,当且仅当仁二心.即尤=”=* 时等号成立，所以今I 不十仅=1例 17：完成下列各问(1)已知/(x)=lnx+x xeZ, 则函数/
17、(x)的最大值为；(2)函数 f(x)=ex-小上的最小值是_ ；X(3)函数/(x)=(%+Inx+1卜工一 x 的最大值是_；(4)函数力=的最小值是一2：ZZ答案：(1)-2 ：(21 ：(3)0 ：(4)1解析：(1) f(x)=Inx+x-xe*1=x+Inr -ex*,lnx*由F r+Inx ex+lnx4-i= 久+gx-(%+nx+2)=2, 当且仅当+lnx+l=0时等号成立，所以f(x)W-2.(2)f( 为=-F= 士曰=my-=1.当且仅当*+In 乂=0 时等号成立.(3)fW= e+Inx+l)-xe*当且仅当戈+lnx=0 时等号成立.(4)外幻=在上皿=BX
18、三1 迎山*=1,当且仅当 x+21n%=0时等号成立.x+l X4-2 X+1例 18：完成下列各问(1)已知函数/(x)=W(x+lnx), 若/之。恒成立，则实数。的取值范围是_ ；(2)已知函数/(x)=x “(x+lnx+l),若“之。恒成立，则正数。的取值范围是_ ；(3)已知函数/(x)=x/+e “(x+lnx+1),若/(x)NO 恒成立，则正数的取值范围是_ ；(4)已知函数 M-a(x+l)21nx 对任意正数工恒成立，则实数。的取值范围是_ ；(5)已知函数 alnx x-l(xl), 其中0,若/(x)20 恒成立，则实数“淮的大小关系是_;(6)已知函数/(x)=a
19、/ Inx 1,若/(五)20 恒成立，则实数。的取值范围是_ ；(7)已知函数/(6=。一 11工一 1,若/(x)20 恒成立，则实数。的取值范围是；4-y-=Qe*欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!(8)已知不等式心+Inx,对 Vxt(O,“)恒成立，贝必的最大值为；(9)若不等式 ax+xeinx 120 对 x0 恒成立，则实数。的取值范围是_ ；答案；CI0WaWe ；(2)0a1；(3)0ae；(4)al ；(5)ab,(6)a/(7)a.；ke-1 ； W( 一喝.解析；Cl)/a)0彳针一认才+人幻之。oeXfAaa+lnx)uetar(t=x+lnx)a (t0)QWe(
20、2)f(x)0e=xer-Inje+1)20ex+lnx a(x+Injt + 1),欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!OMaWe. 】当 x+lnx+lWO 时，原不等式恒成立;业 、4 八注工一ex*ln,x. -T ex*,nx、 K+ln”+.当工+11)%+10 时，a=1 X+1HX+1x+!nxtlK+ln*+l当且仅当+In 尢=0 等号成立了所以 aWL(3) f(x)之0 黄。+ e a(x + nx+1)20o/+由 X+ea(x+lux+1),当丫十所+140 时，原不等式恒成立：当一巾+1 。时，迂募詈由于奇皂啜鬻费,当且仅当 x+mxi 等号成立,所以。e.故 0 nx0ax -, 由于- =-=L所以 a 0由于综上，aex. 两者都是当且仅当 x=1 等号成立，(6)aex-Inx-10a则”之二二工，所以 a 之士exex e(7)e-lnx-l0e=a7w由广 g xle-2x,两者都是当且仅*p:=1 等号成立,ezx则喑之：=十，所以 a 之白(8)ex-lkx+lnrfc-ax+In x+1+ar-nx-1=0,当且仅当-a%+ Inx =0,即 0=叱时等号成立.由比二小有解，易得Q2xxe e欣赏您的孩子，其实天才就在你身边!
