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1、弹性力学弹性力学-04-04平面问题的平面问题的极坐标解答极坐标解答4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞4-8 4-8 圆孔的孔口应力集中圆孔的孔口应力集中4-9 4-9 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力
2、4-10 4-10 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力 主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程1. 几何方程几何方程xyOPAB(1) 只有径向位移，无环向只有径向位移，无环向位移位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（b）线段线段PB的相对伸长：的相对伸长：（c）环向线段环向线段PB的转角：的转角：（d）xyOPBA径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（a）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（b）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对
3、伸长：（c）环向线段环向线段PB的转角：的转角：（d）剪应变为：剪应变为：（e）yxOPBA(2) 只有环向位移，无径向位移。只有环向位移，无径向位移。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：环向线段环向线段PB的转角：的转角：（h）（i）剪应变为：剪应变为：（j）径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：（h）环向线段环向线段PB的转角：的转角：（i）剪应变为：剪应变为：（j）yxOPBA(3) 总应变总
4、应变整理得：整理得：（42） 极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程2. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：平面应变情形：平面应变情形：（43）（44）由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：由于极坐标与直角坐标均为正交坐标，故物理方程具有同样形式：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知的位移分量。为边界上已知的位移分量。为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。3.边界条件边界条件特别地，对特别地，对r =常数常数的边界，应力边界条件简化为：的边界，应力边界条件简化为：对对q q =常数常数的边
5、界，应力边界条件简化为：的边界，应力边界条件简化为：rlra取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：(1) 用用直角坐标直角坐标下的应力分量表示下的应力分量表示极坐标下极坐标下的应力分量的应力分量（48）rOyx4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式(2) 用用极坐标极坐标下的应
6、力分量表示下的应力分量表示直角坐标直角坐标下的应力分量下的应力分量（49）rOyx4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程1. 直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）直角坐标下应力分量与变形协调方程（相容方程）无体力情形下：无体力情形下：应力分量式：应力分量式：应力函数表示的相容方程应力函数表示的相容方程（1）极坐标下应力分量）极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系；的关系；（2）极坐标下应力函数）极坐标下应力函数 表示的相容方程的形式。表示的相容方程的形式。本节要点：本节要点：xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：）极坐标与直角坐标间的关
7、系：（2）应力分量的坐标变换：）应力分量的坐标变换：2. 极坐标下的应力分量与变形协调方程极坐标下的应力分量与变形协调方程（相容方程）相容方程）(a)(b)(c)再由应力分量的坐标变换式：再由应力分量的坐标变换式：比较以上两组表达式后，立即可得：比较以上两组表达式后，立即可得：（45）可以证明：式（可以证明：式（45）满足）满足体力为零体力为零时的平衡微分方程（时的平衡微分方程（41）。）。（3）相容方程的坐标变换：）相容方程的坐标变换：极坐标下应力分量极坐标下应力分量 与应力函数与应力函数 的关系：的关系： 直角坐标下直角坐标下Laplace 算子算子在极坐标下在极坐标下Laplace 算子
8、的形式？算子的形式？(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得（3）相容方程的坐标变换：）相容方程的坐标变换：得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：（46）方程（方程（46）为）为体力为零体力为零情形的相容方程。情形的相容方程。注意：注意：注意：注意： 极坐标下应力函数表示的相容方程极坐标下应力函数表示的相容方程极坐标下应力函数表示的相容方程极坐标下应力函数表示的相容方程弹性力学平面问题的极坐标求解归结为弹性力学平面问题的极坐标求解归结为:小结：小结：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的
9、应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量）求出相应的应力分量（45）（3）使上述应力分量使上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：对对多连体多连体，有时须考虑，有时须考虑位移单值条件位移单值条件。（4）轴对称应力问题：轴对称应力问题：qO(45)（46）由式（由式（45）和（）和（46）得应力分量和相容方程为：）得应力分量和相容方程为：（410）应力分量：应力分量：相容方程：相容方程：四阶变系数的常微分方程四阶变系数的常微分方程4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移（411）
10、 轴对称应力问题的应力函数，其中轴对称应力问题的应力函数，其中: A、B、C、D 为待定常数。为待定常数。1、应力分量、应力分量将方程（将方程（4-11）代入应力分量表达式）代入应力分量表达式（412）轴对称应力的表达式轴对称应力的表达式轴对称应力的表达式轴对称应力的表达式对上式积分四次，得对上式积分四次，得:2. 位移分量位移分量对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程（a）积分式（积分式（a）中第一式，有）中第一式，有故故应力轴对称时，形变也是轴对称的应力轴对称时，形变也是轴对称的。（b） 为待定函数为待定函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得
11、将上式积分，得将上式积分，得:（c） 为待定函数为待定函数将式（将式（b）（）（c）代入式（）代入式（a）中第三式，得）中第三式，得或写成：或写成：要使该式成立，两边要使该式成立，两边须为同一常数。须为同一常数。（4-13）（d）（e）式中式中F 为常数。由式（为常数。由式（d）有：）有：（f）对式（对式（e）两边求导）两边求导其解为：其解为：（g）（h）将式（将式（f） （g） （h）代入式（）代入式（b） （c），最后得），最后得（b）（c）其中其中 H 为常数。为常数。应力轴对称问题小结：应力轴对称问题小结：（411）（1） 应力函数应力函数（2） 应力分量应力分量（412）（3） 位移
12、分量（平面应力）位移分量（平面应力）（4-13）式中：式中：A、B、C 由应力边界条件、位移单值条件确定，由应力边界条件、位移单值条件确定，H、I、K 由位移边界由位移边界 条件确定条件确定( H、I、K 项为刚体位移项为刚体位移 )。 若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则称为若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则称为轴对称轴对称问题问题。这时，物体内的应力、位移都是轴对称的。这时，物体内的应力、位移都是轴对称的。（3） 位移分量（平面应力）位移分量（平面应力）（4-13）由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出：应力轴对称时位移不一定是轴对称的应力轴对称时位移不一定是
13、轴对称的。 仅当仅当这时由式（这时由式（4-13）知轴对称位移为：）知轴对称位移为：4-13（a）轴对称位移的特征为：轴对称位移的特征为：时，位移才轴对称。时，位移才轴对称。4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力已知：已知：求：应力分布。求：应力分布。轴对称应力分量的表达式：轴对称应力分量的表达式：（412）边界条件：边界条件：（a）将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有：（b）（b）式中有三个未知常数，二个方程不能确定。式中有三个未知常数，二个方程不能确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移
14、单值条件。位移多值项位移多值项要使位移单值，须有：要使位移单值，须有：B = 0 ，代入式（，代入式（b），解得），解得将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：（4-14）（1）若：）若：（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）讨论：讨论：特别地，若特别地，若 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。应力状态：应力状态：（2）若：）若：（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内厚壁圆筒埋在无限大弹性体内 ，受内压，受内压 q 作用，求圆筒的应力。作用，求圆筒的应力。1. 分析：分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：
15、与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受受内压内压 q、外压外压 p 作用的厚壁圆筒；作用的厚壁圆筒；(b) 仅受仅受内压内压 p 作用的无限大弹性体。作用的无限大弹性体。确定确定压力压力 p 的条件为，在接触面的条件为，在接触面 r=b 上有：上有：径向位移连续：径向位移连续：径向应力连续：径向应力连续：2. 求解求解4-7 4-7 压力隧洞压力隧洞注意：本例为注意：本例为平面应变问题平面应变问题。2. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件应力：应力：（a）边界条件：边界条件：(2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：（b）边界条件
16、：边界条件：将式（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，再考虑位移连续条件：再考虑位移连续条件：上式也可整理为：上式也可整理为：(c)(d)利用：利用：(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有(f)对式（对式（f）整理，有）整理，有0(g)式（式（g）中：）中：将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解(c)(d)（4-16）当当 n a)，圆孔半径，圆孔半径为为 a，在无限远处受有均匀拉应力，在无限远处受有均匀拉应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：
17、孔边附近的应力。孔边的应力集中是局部现象。孔边的应力集中是局部现象。（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。A 取一半径取一半径 r =b (ba）作圆周，其上）作圆周，其上任一点任一点 A 处的应力为：处的应力为：OxybAArA原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界外边界外边界（a）问题问题1（b）（c）baba问题
18、问题2将外边界条件（将外边界条件（a）分解为两部分：）分解为两部分：问题问题1ba 问题问题1的解：的解：内边界内边界外边界外边界（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为 当当 ba 时，有时，有（d） 问题问题2的解：的解：ba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界外边界外边界(c) 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式： 可假设应力函数形式为：可假设应力函数形式为： 将其代入相容方程：将其代入相容
19、方程：令：令：得特征方程：得特征方程：特征根为：特征根为：方程的解为：方程的解为：ba问题问题2 相应的应力分量：相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c） ： （e）内边界内边界外边界外边界令令 a / b 0，求解，求解A、B、C、D，得，得ba问题问题2代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有 （f）将将问题问题1的解的解（d）和和问题问题2的解的解（f）相加相加, 得全解：得全解： （4-17）讨论：讨论： （1） 沿孔边，沿孔边，r = a ，环向正应力：，环向正应力： （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 轴，轴， =
20、90，环向正应力：，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb 基尔斯（基尔斯（G. Kirsch）解）解（3） 沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力： （4-19）注意：注意：以上公式只对无限域中的圆孔才是精确的。但在实用上，只要弹性体以上公式只对无限域中
21、的圆孔才是精确的。但在实用上，只要弹性体边界距离孔洞足够远（三倍孔径以上），则上述公式仍足够精确。边界距离孔洞足够远（三倍孔径以上），则上述公式仍足够精确。 45（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一小孔。任意形状薄板（或长柱）受面力作用，在距边界较远处有一小孔。工程中近似计算孔边应力的方法：工程中近似计算孔边应力的方法：先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量先求出无孔时相应于圆孔中心处的应力分量 s sx 、s sy 、t txy ；再由应力分量再由应力分量 s sx 、s sy 、t txy 求出相应的主应力求出相应的主应力 s s 、s s 和主方向和主方向a a；
22、最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力最后将圆孔附近部分当作沿两个主方向受均布拉力 q1 = s s 及及 q2 = s s ，从，从而由前述的叠加法求得孔边应力。而由前述的叠加法求得孔边应力。圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结圆孔的孔边应力集中问题求解思路小结:原问题的转换：原问题的转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题4-9 4-9 楔形体在楔顶或楔面受力楔形体在楔顶或楔面受力xyOMP1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），顶，下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力端受有集中力 P
23、，与中心线的夹角为，与中心线的夹角为，求：，求：（1）应力函数的确定）应力函数的确定量纲分析法：量纲分析法：由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系，可推断：可推断： （a）将其代入相容方程：将其代入相容方程：得：得：xyOP 四阶常系数齐次的常微分方程四阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其通解为：其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：xy （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）（2）应力分量的确定）应力分量的确定xyOP边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足（2） 楔顶的边界条
24、件：楔顶的边界条件：ab任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。 （b）将式（将式（b）代入，有：）代入，有：xyOPab积分得：积分得：可解得：可解得：代入式（代入式（b）得：）得： （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H. Michell ）解答）解答 自然满足自然满足 此外，还有此外，还有三种特殊情况：三种特殊情况：PxyOab（1）xyOab（2）两种情况下的应力分布：两种情况下的应力分布：应力对称分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布P（3）PxyO无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用
25、xyOM2. 楔顶受有集中力偶楔顶受有集中力偶 M 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （c）xyOM （4-22）（2）应力分量的确定）应力分量的确定考虑到：考虑到： 反对称载荷下，对对称结构有：反对称载荷下，对对称结构有：为为奇函数；奇函数；而而 则为则为偶函数。偶函数。由应力函数由应力函数 与与 关系可知，关系可知，应为应为奇函数。即奇函数。即将其代入应力分量表达式，得到将其代入应力分量表达式，得到xyOM （d）边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足
26、 （e）xyOMab（2）代入应力分量表达式（代入应力分量表达式（d）, 得：得： （4-23） 英格立斯（英格立斯（C. E. Inglis）解答）解答说明：说明：另外两个楔顶的平衡条件自然满足。另外两个楔顶的平衡条件自然满足。楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：特殊情况：特殊情况：xyOM说明：说明：说明：说明： 前面有关楔形体的分析结果，在楔前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事实上集中的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另
27、一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在小区域的面力超过材料的比例极限，则小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。弹性力学的基本方程不再适用。 前面有关楔形体的分析结果的适用前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。性：离楔顶稍远的区域。3. 楔形体一侧面上受有均布面力楔形体一侧面上受有均布面力 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （f）得到：得到：该方程的解为：该方程的解为： （4-24）（2）应力分量的确定）应力分量的确
28、定 （g）边界条件：边界条件：由此可确定由此可确定4个待定常数。个待定常数。可求得：可求得：将常数代入应力分量表达式，有将常数代入应力分量表达式，有 （4-25）特殊情况：特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：若用直角坐标表示，利用坐标变换式：xyOxyOaxyOaaxyOaxyOa楔形体（尖劈）问题楔形体（尖劈）问题应力函数应力函数的构造小结：的构造小结：xyOPxyOM4-10 4-10 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力PxyO1. 应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 （4-26） 极坐标极坐标表示的应力分量
29、表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的应力转换式（4-7），可求得），可求得 （4-27）或将其改为直角坐标表示，有或将其改为直角坐标表示，有PxyO （4-28）2. 位移分量位移分量 直角坐标直角坐标表示的应力分量表示的应力分量假定为假定为平面应力平面应力情形。情形。其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为将式（将式（4-26）代入）代入 （4-29）由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积分式（积分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d）代入式（）代入式（b），有），有积分上式，得积分上式，得(e)(d)(e)(c)要使上式成立，须有：要使上式成立
30、，须有：将式（将式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，(d)(e)可解得：可解得：代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有PxyO式中，常数式中，常数H、I、K 由位移边界条件确定。由位移边界条件确定。(f)（J 为常数）为常数）PxyO常数常数 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移约束条件确定。方向）位移约束条件确定。(f)由式（由式（f）得：）得：(g)由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：3. 边界沉陷计算边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：点的下沉量： 由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的所以只能求得的相对沉陷量相对沉陷量。 为
31、此，在边界上取为此，在边界上取一基准点一基准点B，如图所示。，如图所示。BsM点相对于基准点点相对于基准点B的沉陷为的沉陷为简化后得：简化后得：（4-30）称符拉芒（称符拉芒（A. Flamant）公式。）公式。对平面应变情形：对平面应变情形：4-11 4-11 半平面体在边界上受分布压力半平面体在边界上受分布压力PxyO1. 应力分量应力分量 设半平面体在边界设半平面体在边界 AB 一段上受有分布一段上受有分布压力，其集度为压力，其集度为q( (x x) ) 。现在要求半平面体内现在要求半平面体内任一点任一点 M(x,y) 处的应力。处的应力。将此式在将此式在 AB 区间上积分，得区间上积分
32、，得 对于上述问题，可利用上节对于上述问题，可利用上节“半平面体半平面体在边界上受法向集中力在边界上受法向集中力”的应力公式，通过的应力公式，通过叠加法叠加法求解。求解。由由dP q( (x x) ) dx x 在点在点 M 引起的应力为引起的应力为（4-31）式中，需将分布力集度式中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2. 边界点的相对沉陷边界点的相对沉陷讨论均匀分布的讨论均匀分布的单位压力单位压力的情形。的情形。dP计算计算K 点点相对于相对于基点基点 B 的沉陷量：的沉陷量：(a)q 为常数见为常数见P P77。dP(a)对对 r 积分，即可求得积
33、分，即可求得K点的相对沉陷量。点的相对沉陷量。当当K点位于均布力之外点位于均布力之外时，沉陷量为时，沉陷量为假定基点假定基点 B 取得很远，即取得很远，即 s 远大于远大于 r，积分时，积分时可视可视 s 为常数，积分结果为：为常数，积分结果为：(4-32)其中：其中：(b)(c)对平面应变情形：对平面应变情形：若若K点位于均布力之内点位于均布力之内，则取，则取平面问题极坐标求解方法小结平面问题极坐标求解方法小结一一. 基本方程基本方程1. 平衡微分方程平衡微分方程（41）2. 几何方程几何方程（42）3. 物理方程物理方程 平面应力情形平面应力情形(43)4. 边界条件边界条件位移边界条件：
34、位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：二二、按应力函数求解的基本步骤按应力函数求解的基本步骤(1)由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）(2)由式（由式（45）求出相应的应力分量）求出相应的应力分量（45）(3)使上述应力分量使上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：对对多连体多连体，有时须考虑，有时须考虑位移单值条件位移单值条件。(4)三三、平面应力轴对称问题的求解平面应力轴对称问题的求解（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：(4-13)（平面
35、应力）（平面应力）四四、非轴对称问题的求解方法非轴对称问题的求解方法半逆解法半逆解法1. 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2. 楔形体问题楔形体问题 由由量纲分析法量纲分析法确定确定 应力函数的形式应力函数的形式（1） 楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力4. 半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO五、叠加法的应用五、叠加法的应用（1） 有一薄壁圆筒的平均半径为有一薄壁圆筒的平均半
36、径为 R ，壁，壁厚为厚为 t ，两端受相等相反的扭矩，两端受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半径为作用。现在圆筒上发现半径为 a 的的小圆孔，如图所示，则孔边的最大小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生在何处？应力如何？最大应力发生在何处？（2） 已知圆环在已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，的内边界上被固定，在在 r = b 的圆周上作用着均匀分布剪应的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。与位移。课堂练习：课堂练习：作作 业业习题：习题：4 -6，4 7，4 8 ，4 9作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3补充题：补充题： 列写下列平面问题的应力边界条件。列写下列平面问题的应力边界条件。rrralrrr结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！102
