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1、二、单调区间的求法二、单调区间的求法三、函数极值的定义三、函数极值的定义六、应用举例六、应用举例第四节一、单调性的判别法一、单调性的判别法 函数的单调性与极值 第三章 五、最大值的求法五、最大值的求法四、函数极值的求法四、函数极值的求法一、单调性的判别法定理定理证证应用拉氏定理应用拉氏定理,得得例例1 1解解注意注意: :函数的单调性是一个区间上的性质，要用函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性点处的导数符号来判别一个区间上的单调性二、单调区间求法问题问题: :如上例，函数在定义
2、区间上不是单调的，如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调但在各个部分区间上单调定义定义: :若函数在其定义域的某个区间内是单调若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的的，则该区间称为函数的单调区间单调区间.导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点的分界点方法方法: :例例2 2解解单调区间为单调区间为例例3 3解解单调区间为单调区间为例例4 4证证注意注意:区间内个别点导数为零区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性不影响区间的单调性.例如例如,三、函数极值的定义三、函数极值的定义定义定义函数的极大值与极小值统
3、称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得使函数取得极值的点称为极值的点称为极值点极值点.四、函数极值的求法四、函数极值的求法定理定理1 1( (必要条件必要条件) )定义定义注意注意:例如例如,定理定理2(2(第一充分条件第一充分条件) )(是极值点情形是极值点情形)求极值的步骤求极值的步骤: :(不是极值点情形不是极值点情形)例例1 1解解列表讨论列表讨论极极大大值值极极小小值值图形如下图形如下定理定理3(3(第二充分条件第二充分条件) )证证同理可证同理可证(2).例例2 2解解图形如下图形如下注意注意: :例例3 3解解注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的
4、极值点也可能是函数的极值点.五、最值的求法五、最值的求法步骤步骤: :1.求驻点和不可导点求驻点和不可导点;2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比比较大小较大小,那个大那个就是最大值那个大那个就是最大值,那个小那个那个小那个就是最小值就是最小值;注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有一个极值,则这个极值就则这个极值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)六、应用举例六、应用举例例例1 1解解计算计算比较得比较得点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例2 2敌人乘汽车从河的北岸敌人乘汽车从河的北岸A处以处以1千米千米/分钟分钟的速
5、度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的的速度向正北逃窜，同时我军摩托车从河的南岸南岸B处向正东追击，处向正东追击，速度为速度为2千米千米/分钟分钟问我军摩托车何问我军摩托车何时射击最好（相时射击最好（相距最近射击最好）？距最近射击最好）？解解 (1)建立敌我相距函数关建立敌我相距函数关系系敌我相距函数敌我相距函数得唯一驻点得唯一驻点实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数;(2)求最值求最值;例例3 3 某房地产公司有某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定套公寓要出租，当租金定为每月为每月180元时，公寓会全部租出去当租元时，公寓会全部租出去当租金每月增加金每
6、月增加10元时，就有一套公寓租不出去，元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费而租出去的房子每月需花费20元的整修维护元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？费试问房租定为多少可获得最大收入？解解 设房租为每月设房租为每月 元，元，租出去的房子有租出去的房子有 套，套，每月总收入为每月总收入为（唯一驻点）（唯一驻点）故每月每套租金为故每月每套租金为350元时收入最高元时收入最高.最大收入为最大收入为点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停例例4 4解解如图如图,解得解得小结小结1、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用、单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.定理中的
7、区间换成其它有限或无限区间，结论定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立仍然成立.应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式根的个数和证明不等式.2 2、极值是函数的局部性概念、极值是函数的局部性概念: :极大值可能小于极小值极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值极小值可能大于极大值.驻点和不可导点统称为驻点和不可导点统称为临界点临界点. .函数的极值必在函数的极值必在临界点临界点取得取得.判别法判别法第一充分条件第一充分条件;第二充分条件第二充分条件;(注意使用条件注意使用条件)3、注意最值与极值的区别、注意最值与极值的区
8、别.最值是整体概念而极值是局部概念最值是整体概念而极值是局部概念.实际问题求最值的步骤实际问题求最值的步骤.一、曲线凹凸的定义二、曲线凹凸的判定三、曲线的拐点及其求法一、曲线凹凸的定义问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方定义定义二、曲线凹凸的判定定理定理1 1例例1 1解解注意到注意到,三、曲线的拐点及其求法1 1、定义、定义注意注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.2 2、拐点的求法、拐点的求法证证方法方法1:1:例例2 2
9、解解凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点拐点拐点方法方法2:2:例例3 3解解注意注意: :例例4 4解解四、小结曲线的弯曲方向曲线的弯曲方向凹凸性凹凸性;改变弯曲方向的点改变弯曲方向的点拐点拐点;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐点的求法拐点的求法1, 2.一、渐近线二、图形描绘的步骤三、作图举例一、渐近线定义定义: :1.1.铅直渐近线铅直渐近线例如例如有铅直渐近线两条有铅直渐近线两条: :2.2.水平渐近线水平渐近线例如例如有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :3.3.斜渐近线斜渐近线斜渐近线求法斜渐近线求法:注意注意:例例1 1解解二、图形描绘的步骤利用函数特性描绘函数图形利用函数特性描绘函数图
10、形.第一步第一步第二步第二步第三步第三步第四步第四步 确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐确定函数图形的水平、铅直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势近线以及其他变化趋势;第五步第五步列表列表曲线过点曲线过点(0,0)12(1, 2)00+xyy+驻点：驻点：x =1x =210.10. 函数作图函数作图 极大值极大值(拐点拐点)故故 y = 0为水平渐近线为水平渐近线因因图形图形：X0y1渐进线渐进线 ：y = 0(0,0)2.10. .(x +)列表列表xyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 x =0=00(拐点拐点)+因因（牛
11、顿三叉戟线）（牛顿三叉戟线）00+3极小值极小值+11.11.0.间断点间断点0xy3 牛顿三叉戟线牛顿三叉戟线11.11.列表列表xyy . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y =0=0，因因+0因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点拐点)间断点间断点间断点间断点+及及 x =1，x = 1x = 012.12.0xy11 12.12.列表列表xyy 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y = 00最小值最小值+因因图形关于图形关
12、于y轴对称轴对称.= 2 0 0= 2.0xyarctan213.13. 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：列表列表xyy+ . 对函数进行全面讨论并画图：对函数进行全面讨论并画图：解解(在定义域内在定义域内)所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 y =1及及 x =-1=-110最小值最小值+因因+ 0114.0xy111渐进线渐进线 y =1(1,0)渐进线渐进线 y =1图形图形:.14.列表列表xyy.解解故曲线有渐近线故曲线有渐近线 y = =x+ + 和和 y = =x. .因因+0因因 y(x) = y(x)， 图形关于原点对称。图形关于原点对称。1010(拐点
13、拐点)极大值极大值极小值极小值+00+.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:y = x 2arctan xx = 015.15.0xy 11y = x 2arctan x15.15.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:列表列表+xyy0解解无实根无实根所以，所以，曲线有渐近线曲线有渐近线 1极大值极大值因因函数是周期函数，函数是周期函数，而且是偶函数。而且是偶函数。周期为周期为2 2 ；只须讨论只须讨论00+1极小值极小值.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:x = 0, ,16.16.0xy 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:0xy 1 3 2 由对称性由对称性由周期性由周期性16.16.-3 对函数进行全面讨论并画图对函数进行全面讨论并画图:
