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1、说明(shumng): 除 0 以外任何(rnh)很小的常数都不是无穷小 ! 时 , 函数(hnsh)(或 )则称函数为定义定义1.若若(或 )则时的无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共40页第一页，共41页。其中(qzhng) 为时的无穷小量 . 定理定理1.(无穷小与函数极限无穷小与函数极限(jxin)的关系的关系)机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第2页/共40页第二页，共41页。二、二、无穷大无穷大定义(dngy)2 . 若任给 M 0 ,一切(yqi)满足不等式的 x , 总有则称函数(hnsh)当时为无穷大, 使对若在定义中将 式改为则记作(正数 X
2、) ,记作总存在机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共40页第三页，共41页。注意注意(zhy):无穷大不是(b shi)很大的数, 它是描述函数的一种状态.机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第4页/共40页第四页，共41页。三、无穷小与无穷大的关系三、无穷小与无穷大的关系(gunx)若为无穷大,为无穷小 ;若为无穷小, 且则为无穷大.则(自证)据此定理 , 关于无穷大的问题(wnt)都可转化为 无穷小来讨论.定理(dngl)2. 在自变量的同一变化过程中,说明:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共40页第五页，共41页。 第一章 二、 极限(jxin)的四则运
3、算法则 三、 复合函数(hnsh)的极限运算法则 一 、无穷小运算(yn sun)法则 第五节第五节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则第6页/共40页第六页，共41页。一、一、无穷小运算无穷小运算(ynsun)法则法则定理1. 有限(yuxin)个无穷小的和还是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !例如，类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 第7页/共40页第七页，共41页。定理定理(dngl)2.有界函数与无穷小的乘有界函数与无穷小的乘积是无穷小积是无穷小.推论 1 . 常数(chngsh)与无穷小的乘积是无穷
4、小 .推论 2 . 有限(yuxin)个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共40页第八页，共41页。例例1.求求解: 利用(lyng)定理 2 可知说明(shumng) : y = 0 是的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第9页/共40页第九页，共41页。二、二、极限极限(jxin)的四则的四则运算法则运算法则则有证: 因则有(其中(qzhng)为无穷小) 于是(ysh)由定理 1 可知也是无穷小,再利用极限与无穷小的关系定理 , 知定理结论成立 .定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第10页/共40页第十页，共41页
5、。推论推论(tuln):若若且则( P45 定理(dngl) 5 )利用保号性定理(dngl)证明 .说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共40页第十一页，共41页。定理定理(dngl)4.若若则有提示: 利用极限与无穷小关系定理(dngl)及本节定理(dngl)2 证明 .说明: 定理(dngl) 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .推论 1 .( C 为常数 )推论 2 .( n 为正整数 )例2. 设 n 次多项式试证证:机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共40页第十二页，共41页。定理定理(dngl)
6、5.若若且 B0 , 则有机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第13页/共40页第十三页，共41页。定理定理(dngl)6.若若则有提示: 因为(yn wi)数列是一种特殊的函数 ,故此(gc)定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共40页第十四页，共41页。 x = 3 时分(shfn)母为 0 !例例3.设有分式设有分式(fnsh)函数函数其中(qzhng)都是多项式 ,试证: 证: 说明: 若不能直接用商的运算法则 .例4. 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共40页第十五页，共41页。例例5.求求解:
7、x = 1 时分母(fnm) = 0 , 分子0 ,但因机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第16页/共40页第十六页，共41页。例例6.求求解: 时,分子(fnz)分子(fnz)分母同除以则分母(fnm)“ 抓大头”原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共40页第十七页，共41页。一般有如下一般有如下(rxi)结果：结果：为非负常数(chngsh) )( 如P47 例5 )( 如P47 例6 )( 如P47 例7 )机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 口算P49D1 （6）（9）第18页/共40页第十八页，共41页。三、三、复合函数的极限复合函数的极限(jxi
8、n)运算法则运算法则机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 定理(dngl)6. 设且 x 满足时,又则有 说明: 若定理中则类似可得第19页/共40页第十九页，共41页。例例7.求求解: 令已知 原式 =机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共40页第二十页，共41页。例例8.求求解: 方法(fngf) 1则令 原式方法(fngf) 2机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第21页/共40页第二十一页，共41页。二、 两个(lin )重要极限 一、函数极限与数列极限的关系一、函数极限与数列极限的关系(gun x) 及夹逼准则及夹逼准则第六第六节节机动 目录
9、上页 下页 返回(fnhu) 结束 极限存在准则及两个重要极限 第一章 第22页/共40页第二十二页，共41页。一、一、函数极限与数列极限的关系函数极限与数列极限的关系(gunx)及夹逼准则及夹逼准则1. 函数极限与数列(shli)极限的关系定理(dngl)1. 有定义,为确定起见 , 仅讨论的情形.有机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共40页第二十三页，共41页。定理定理(dngl)1.有定义(dngy)且有说明(shumng): 此定理常用于判断函数极限不存在 .法1 找一个数列不存在 .法2 找两个趋于的不同数列及使机动 目录 上页 下页 返回 结束 第24页/共40页第二十
10、四页，共41页。例例1.证明证明(zhngmng)不存在(cnzi) .证: 取两个(lin )趋于 0 的数列及有由定理 1 知不存在 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共40页第二十五页，共41页。2.函数极限存在函数极限存在(cnzi)的夹的夹逼准则逼准则定理(dngl)2.且( 利用定理1及数列(shli)的夹逼准则可证 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共40页第二十六页，共41页。圆扇形(shn xn)AOB的面积二、二、两个重要两个重要(zhngyo)极限极限证: 当即亦即时，显然(xinrn)有AOB 的面积AOD的面积故有注注 目录 上页 下页 返
11、回 结束 第27页/共40页第二十七页，共41页。例例2.求求解: 例3. 求解: 令则因此(ync)原式机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共40页第二十九页，共41页。例例4.求求解: 原式 =机动(jdng) 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共40页第三十页，共41页。2.机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第31页/共40页第三十一页，共41页。例例6.求求解: 令则说明(shumng) ：若利用机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 则 原式第32页/共40页第三十二页，共41页。的不同(b tn)数列内容内容(nirng)小结小结1. 函数
12、极限与数列(shli)极限关系的应用(1) 利用数列极限判别函数极限不存在 (2) 数列极限存在的夹逼准则法1 找一个数列且使法2 找两个趋于及使不存在 .函数极限存在的夹逼准则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第33页/共40页第三十三页，共41页。2.两个两个(lin)重重要极限要极限或注: 代表相同的表达式机动 目录(ml) 上页 下页 返回 结束 第34页/共40页第三十四页，共41页。思考思考(sko)与练习与练习填空题 ( 14 )第七节 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第35页/共40页第三十五页，共41页。内容内容(nirng)小结小结1. 极限运算(yn sun)
13、法则(1) 无穷小运算(yn sun)法则(2) 极限四则运算法则(3) 复合函数极限运算法则注意使用条件2. 求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法时, 用代入法( 分母不为 0 )时, 对型 , 约去公因子时 , 分子分母同除最高次幂“ 抓大头”(2) 复合函数极限求法设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 第36页/共40页第三十六页，共41页。思考思考(sko)及练习及练习1.是否(sh fu)存在 ? 为什么 ?答: 不存在(cnzi) .否则由利用极限四则运算法则可知存在 ,与已知条件矛盾.解:原式2.问机动 目录 上页 下页 返回 结束
14、 第37页/共40页第三十七页，共41页。3.求求解法(ji f)原式 =机动 目录 上页 下页 返回(fnhu) 结束 第38页/共40页第三十八页，共41页。备用备用(biyng)题题设设解:利用(lyng)前一极限式可令再利用(lyng)后一极限式 , 得可见是多项式 , 且求故机动 目录 上页 下页 返回 结束 第39页/共40页第三十九页，共41页。感谢您的欣赏(xnshng)！第40页/共40页第四十页，共41页。内容(nirng)总结说明:。除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小。据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为。说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .。定理6 . 若。提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,。说明: 若定理中。为确定起见 , 仅讨论。法1 找一个数列。由定理 1 知。( 利用定理1及数列的夹逼准则可证 )。例6. 求。型 , 约去公因子。时 , 分子分母同除最高次幂。答: 不存在(cnzi) .。再利用后一极限式 , 得第四十一页，共41页。
