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1、-精选文档-第五章多元函数微分学习题第五章多元函数微分学习题练习练习 5.15.11.在空间直角坐标系下,下列方程的图形是什么形状?(1)x 2y4z(椭圆抛物面)(2)22x2 y2 4z2(圆锥面）x2y2z2221(椭球面）(3)(4)x z1(圆柱面）41692.求下列函数的定义域:(1)z x 解：yy 0x y 0 y 0(x,y) |x 0,y 0,x2 y即x 0函数的定义域为x2 y(2)z e3xyx y解：x y 0函数的定义域为(x, y)| x y 03.对于函数fx, y=x y,证明limf(x,y)不存在x0x y分析：由二元函数极限定义，我们只须找到沿不同路径
2、p p0(0,0)时，所得极限值不同即可。证明：当p(x, y)沿x轴(此时x 0, y 0)趋于p0(0,0)时，x0y0f (x, y) f (x,0) 1, lim f (x, y) 1（ 0）时，当p(x, y)沿直线y kx(k 0)趋于p00，f (x, y) xkx1k1klim f (x, y) 1(k 0)x0xkx1ky01k可编辑-精选文档-综合可知函数极限不存在，证毕。练习练习 5.25.21.求下列函数的偏导数z x3y xy3,求解：z z,;x yzz 3x2y y3, x33xy2xyz z,;x y1z ln(xy),求2z111解：ln(xy) y x2xy
3、2x ln(xy)2z111ln(xy)x y2xy2y ln(xy)12z2zz xln(x y),求2,xxy解：z1 ln(x y) xxx y2zzx1x y xx 2y() (ln(x y) xx yx y(x y)2(x y)2x2x x2zzx1xy() (ln(x y) xyy xyx yx y(x y)2(x y)23u;u e,求xyzxyz2uxyz u zexyz yzxzexyz (z xyz2)exyz解； yze,xxy3u2u() (z xyz2)exyz) (12xyz)exyz(z xyz2)xyexyzxyzz xyz可编辑-精选文档-=exyz(12xy
4、z xyz x2y2z2) exyz(13xyz x2y2z2)2设f (x, y) exy2,则 limy0f (2,1 y) f (2,1)y2f (2,1y) f (2,1)e2(1y)e20解：lim lim( 未定式)y0y0yy0e2(1y)4(1y)10 lim= 4e2y01lim2f (2,1y) f (2,1) fy(2,1) exy2xyy2y0x2y1 4e23设u ln(1 x y2 z3),在点（，111 ， ）处求uxuyuz12y u y1 x y2 z31 x y2 z3解：ux3z21233u (u u u )|zxyz(1,1,1)1 x y2 z3444
5、2x4设z ey,求证:2x2zz y 0xyxz12y2y2 e2 y e证明：QxyxQ22z1 eyx(2)3 2xy3eyyyxx2222zz12x y 2xy2ey yeyx(2)3 2xy3ey y2xy2ey= 0xyyxxxx证毕练习练习 5.35.31.求下列函数的全微分(1)求z xy在点（2，3）处当x 0.1与y 0.2时的全增量与全微分解：全增量z f (2 0.1,3 0.2) f (2,3) 2.12.86 0.12可编辑-精选文档-dz zxdx zydy ydx xdydz(2,3)dx0.1dy0.2 30.12(0.2) 0.1（2）求z ln(1 x y
6、),当x 1,y 2时的全微分22解：dz dzzz2x2ydxdy dxdyxy1 x2 y21 x2 y2(1,2)2412dx dy dx dy11 411 433（3）u xy yz zx,求du解：du uuudxdy dzxyz (y z)dx (x z)dy (x y)dz2计算下列各式的近似值（分析运用公式f (x0 x1y0 y) f (x0, y0) fx(x0, y0)x fy(x0, y0)y）（1）(10.1)2.03解：令f(x,y) xy,取x010,x 0.1,y02,y 0.03(10.1)2.03f (x0 x, y0 y) f (x0, y0) fx(x0
7、, y0)x fy(x0, y0)y102 yxy1(10,2)0.1 xylnx(10,2)0.0110023ln10 108.9(2)ln(31.0340.981)解:令f(x,y)ln(3x 4y 1)取x01,x 0.03,y01,y 0.02原式 f (1 0.03,1 0.02)可编辑-精选文档- ln(31 41 1) 313x3|(1,1)(0.03)4x y 12313y44|(1,1)(0.02)4x y 11310.020.0054= 0+0.03(3)sin 290tan460解：令f (x, y) sin xtan y取x06,x 180, y0,4,y 180则 原
8、式=f ( f(=6180 4180) ,) fx(,)() fy(,)6 46 41806 4 180 11cosxtan y| ()sin xsec2y| (,)(,)18021806 46 4= 0.5023练习练习 5.45.41. 求下列函数的导数或偏导数。（1）z ulnv,而u 2xz z,v 3x 2y.求,.yx yx232zz uz v1u22xy解： 2ulnv32ln(3x2y)xu xv xyvy3x2y2x3x22ln(3x 2y)2y(3x 2y)yzz uz vxu22x22x2 2ulnv(2)(2) 3ln(3x 2y)2yu yv yvyyy (3x 2y
9、)(2)z ydz,而x et, y 1e2t,求xdt可编辑-精选文档-解: dzz dxz dydtx dty dtyt12te (2e )2xx1e2tt1 2te t(2e2t)eett= (e e)x2 ydz,而y 2x 3,求(3)z x ydx解：方法 1：dzdx2 2 x 3dx2 2 x 3() ()dxdxx 2 x 3dx3 x 32(2 x 2)(3 x 3) ( x 2 x 3) 3(3 x 3)2x22x 123(x 1)方法 2：dzff dydxxy dx2x(x y)(x2 y)(x y)(x2 y)x22x 1=2 (x y)2(x y)23(x 1)2
10、（4）z x2y xy2,而x ucosv, y usinv,求z z,u v解：zz xz yux uy u (2xy y2)cos v(x22xy)sin v, (2ucosvusinvu2sin2v)cos v(u2cos2v2ucosvusinv)sin v=3u sinvcosv(cosvsinv),2zz xz yvx vy v=(2xy y )u(sinv)(x 2xy)ucosv可编辑22-精选文档-=2u sinvcosv(sinvcosv)u (sin vcos v)33332.求下列隐函数的导数或偏导数.（1）xy lny lnx 0,求dy.dx解：两边同时对x求导y
11、xy1111y 0,y(x) yyxyx1 y2y xyy x1x x2yxy令F(x, y) xyln yln x12y xy11FxdyxFx yFy x 21x x yyxdxFyxydyx2（2）sin y e xy 0,求dxy 解： 两边同时对x求导ycos y ex y22xyy 0y2y(cos y 2xy) y ey cos y 2xy2x3.已知方程F(x y z,x2 y2 z2) 0所确定的函数z f (x, y).且F的两个一阶偏导数存在，求z z,x y2解：令u x y z,v x y z ,则F(u,v) 022两边同时对x求偏导，Fuux Fuuzzx Fvv
12、x Fvvzzx 0即Fu1 Fu1zx Fv2x Fv2zzx 0可编辑-精选文档-zxF2xFvz uxFu2zFv两边同时对y求偏导，Fuuy Fuuzzy Fvvy Fvvzzy 0即Fu1Fu1zy Fv2y Fv2zzy 0zyFu2yFvz yFu2zFv令u x y z,v x2 y2 z2,则F(u,v) 0FF uF v Fu1 Fv2x Fu2xFvxu xv xFF uF v Fu2yFvyu yv yFF uF v Fu2zFvzu zv zFFF2xFvzFu2yFvzy x u FFxFu2zFvyFu2zFvzzu x y z,v x y z ,则F(u,v)
13、0222两边同时求微分：Fudu Fvdv 0Fud(x y z) Fvd(x2 y2 z2) 0Fudx Fudy Fudz 2xFvdx 2yFvdy 2zFvdz 0Fu2xFvFu2yFvdz dxdyFu2zFvFu2zFvzxFu2xFvzFu2yFvz zyxFu2zFvyFu2zFv练习练习 5.55.51.求二元函数z x xy y 9x6y 20的极值可编辑22-精选文档-解： zx 4x 2x y 9 0解得y 1zy x2y 6 0又Q A zxx(4,1) 2 0,B zxy(4,1) 1,C zyy(4,1) 2 B2 AC 1 4 3 0Z |(4,1) 1是极小
14、值2. 求二元函数z 60 x 120 y 2x2 2xy 5 y2在条件 x y 15下的极值22解：F(x, y,) 60x120y 2x 2xy 5y (x y 15) Fx 604x2y 0Fy 1202x10y 0F x y 15 0 x 6解得y 9因为只有唯一的一个驻点， 182222且z (x y) (x30) (2y 30) 230应有极大值，故极大值z|(6,9)8553.设Q1,Q2分别为商品 x1,x2的需求量 ,而它们的需求量为 Q18P12P2,Q2102P15P2总成本函数为 C 3Q12Q2,其中P1,P2为商品 x1,x2的价格 .试问价格 P1,P2取何值时
15、可使利润最大 ?22解: R(P1P12PP1 210P22PP1 25P21,P2) PQ11P2Q28PC(P1,P2) 3(8P12P2)2(102P15P2)22利润函数L RC 7P114P2P15P24PP1 24172PP14P20LP163/2解得为唯一驻点21410P24PP21410LP1（Q A LPP12PC LP（263，）14 2021PB LP（263，）14 4263，）14 10B2AC40,L有极大值 .263故在P ,P214时利润最大 .12可编辑-精选文档-练习练习 5.65.61.某公司生产两种商品x和y,利润函数为L(x, y) 64x2x24xy
16、 4y232y 14其中x,y表示商品x,y的产量,求x,y各为多少时,所获利润大?最大为多少? 644x4y 0Lxx 40解:得y 324x8y 0y 24L (40,24) 4 0又Q A Lxx (40,24) 4B LxyC Lyy(40,24) 8B2 AC 16 0,故在40,24取得极大值,即为最大值最大值L40,241650.2.某公司同时销售煤气和电力，煤气的销量为x单位:万米3,电力的销量为y单位:千瓦，总成本函数为C(x, y) 2x1232y 7xy134x12y 250单位:万元4其中x, y满足4x y36 0.问应如何安排销售,才能使总成本最低?解:条件极值问题
17、,实际中有最小值,即求Cx, y在条件4x y 36 0下的极值.解：令F(x, y,) 1232x y 7xy134x12y2504x y3624Fx x7y1344 0338213883F y7x12 0解得x=万米y 千瓦即为销售安排.y28181F 4x y36 03.设某企业和生产函数为 fL,K6L20K L22K2其中L表示生产力,K表示资本投入.如果这两种生产要素的单价为4和8,且希望投入的总成本为88.求满足该条件的最大可能生产量.解:条件极值问题.实际中有最大可能生产量.所以即求f在条件4L+8K=88下的极大值.22令FL,K,6L20K L 2K 4L8K 88 FL
18、62L4 0 204K 8 0FKF 4L8K 88 0解得L=6,K=8,根据实际意义有最大可能生产量.所求最大生产量f (6,8) 32可编辑-精选文档-习题五习题五1选择题（1）D， （2）C， （3）B， （4）A， （5）C， （6）D， （7）C， （8）C， （9）D， （10）A， （11）A， （12）D，（13）A，Q f (xy,x y) x2 y2 xy (x y)2 xy f (x, y) y2 xfx(x, y) (y2 x)x 1fy(x, y) (y2 x)y 2y（14）D， （15）A， （16）D， （17）D， （18）B， （19）C， （20）C。2
19、 求点（2，-3，1）分别对称于下列坐标平面的对称点，（1） XOY 平面，答： （2，-3，-1）（2）YOZ 平面，答： （-2，-3，1）（3）XOZ 平面，答： （2，3，1）3，已知点 M 的坐标为（4，-3，5）求（1） 点 M 与原点的距离， （2）点 M 与三个坐标平面的距离， （3）点 M 与三个坐标轴的距离。解： （1）|OM|=42(3)252 5 2。（2）LXOY 5,LYOZ 4,LxOZ 3.(3)LOX(44)2(30)2(50)234,LOY425241,LOZ42(3)2 54已知某空间平面与三个坐标轴ox,oy,oz 的截距分别为1,2,3，求此平面方程。
20、解：1,即6x 3y 2z 6x1y2z3可编辑-精选文档-5.已知某空间平面过（1,1,-1）,(1,-1,1),(-1,1,1)三点，求此平面方程。解：令此平面方程为Ax ByCz D 0 A B C D 0A D则有A B C D 0 解B D A B C D 0C D平面方程为 Dx(D)y (D)z D 0即x y z 16.设f(x y,) x2 y2,求f(x,y)tx y tx 1解：令yty x1t2t2t2(1) f (t,) () () 111yxx2(1 y) f (x, y) 1 yf (x y,) x2 y2 (x y)(x y) (x y)x(1)y(x y)2(
21、1)xyx (x y)2(1)yx yx1xyxyxx2(1 y) f (x, y) 1 y7 .求下列函数的定义域：(1)z arcsiny,xx1 x y22(2)z ln(y x),(3)z 1 x2 1 y2可编辑-精选文档-解： （1） ：|y|1即D (x, y) | x | y |,x 0xy x 0x 0即D (x,y)|x2y21,0 xy（2） ：1 x2 y2 01 x2 0 1 x 1即2（3） ：y 1 0y 1或y 1即D (x, y)|1 x 1,y 1或y 18.说明下列极限不存在x2y（1）lim42x0x yy0解：当p(x, y)沿y kx2趋于p0(0,
22、0)时x2yx2kx2kk有4242422(x 0, y kx2 0)x yx k xk 1k 1k 取不同的值时，有多个值，故极限不存在。（2）limx0y01222x 3y解：lim1 ,故极限不存在.22x02x 3yy09.求下列函数的间断点或间断曲线：（1）z (2)z 1x2 y2解:x2 y20,故间断点(0,0)1x2 y21解: x2 y21 0,故间断曲线为x2 y21(3)z x y解:xy 0,即yx,故间断曲线为yxx y可编辑-精选文档-（4）z sin1xy解: xy 0,即y 0且x 0,故间断曲线为y 0或x 010.求下列函数的偏导数：（1）z lnsin(
23、x 2y),求解：z z,x yz1cos(x 2y)1cot(x 2y)xsin(x 2y)z1cos(x2y)(2) 2cot(x2y)ysin(x2y)yxz z,x y（2）z arctan,求解：zx1yy() 2222yxx y12xzy11x222yxx y12xz z,x y（3）z sin(xy) cos2(xy),求解：z ycos(xy)2cos(xy)sin(xy)yx ycos(xy)sin(2xy)z xcos(xy)2cos(xy)sin(xy)xy xcos(xy)sin(2xy)(4)z ln(x解：yzz),求|x1,|x1,2xxy0yy1z|x1xy01
24、x y2x1y1(2)|x112xy0可编辑-精选文档-z|x1yy111|x1y2xy13x 2xz|x1xy11（5）z (1 xy)y,求解：取自然对数，原式变为ln z yln(1 xy)两边同时对x求偏导11y2z y x yz1 xy1 xyy2z1 (1 xy) z| 21xx11 xyxy111y(6)z xy(x1)tan33zx(1,0) y tany,求zx(1,0),zy(1,1).xysec2xy1y()|(1,0) 0x2xxy(x1)3tan2x2zy(1,1) x(x1)3tanysec2xy1|(1,1)1x 2 xy(1,2,3),fxy(1,2,3),fx
25、yz(1,2,3).11.设f(x,y,z) xyz,求fxx 0, fxx(1,2,3)0解：Q fx yz,fxx zyz1 fxy(1,2,3) 12Q fxy yz1 z yz1ln y fxyz (1,2,3) 4(13ln 2)Q fxyz12.求下列函数的全微分：（1）zlnx2y2,求dz解：dz zzdxdyxy可编辑-精选文档-111112xdx2ydy2222222222x yx yx yx y1=xydx dyx2 y2x2 y2(2)z arctan解dz x y,求dzx y1x y (x y)1x y (x y)dxdy22x y2x y2(x y)(x y)1(
26、)1()x yx y=1(ydx xdy)22x y（3）z sin(xy),求dz解：dz ycos(xy)dx xcos(xy)dyx（4）f(x,y,z)( )z,求df(1,1,1);y11fzzx|(1,1,1)1解：|(1,1,1) yfx(x,1,1) x, fx(x,1,1)1,xz111 f (1,1,1)1f (1,y,1)xyf1z1yz|(1,1,1) x ( )y|(1,1,1) 1yzfy(1,y,1) 12, fy(1,1,1) 1y1fx1xfz(1,1,z) 1, fz(1,1,z) 0,|(1,1,1) ( )z(2)ln( )|(1,1,1) 0zyyzf
27、 (1,1,1) 0,df (1,1,1) dxdy111zdf (1,1,1) dx dy13.已知边长x 6米和y 8米的矩形，求x边增加 5cm，y边减少 10cm 时，此时矩形对角线变化的近似值。解：对角线L x2 y2令x0 6, y08,x 0.05,y 0.1 |(6,8)x LL Lxy|(6,8)y=680.05(01) 0.051010可编辑-精选文档-答：约减少 0.05m.14.当圆锥体形变时，它的底半径 R 由 30cm 增加到 30.1cm，高由 60cm 减少到 59.5cm，试求体积变化的近似值。解： 令V R2H,R030,R 0.1,H060,H 0.5 |
28、(30,60)HV VR |(30,60)RVH13=RH |(30,60)0.1R2|(30,60)(0.5) 30(cm3)即体积约减少30(cm3)。15.求下列函数的导数或偏导数：u2z z（1）z ,而u x2y,v 2x y,求,;vx y2313zz uz v2uu22(x 2y)(x 3y)解：(2)2 2xu xv xvv(2x y)zz uz v2uu2(2y x)(9x 2y)(2)(2) 2yu yv yvv(2x y)(2)z uv,而u 2x y,v 2x y,求解:zz uz vxu xv x vuv12uvlnu2 2(2x y)(2 xy)1ln(2x y)z
29、 z,;x yzz uz vyu yv y vuu11uvlnu1 (2x y)(2xy)1ln(2x y)dzdt(3)z arcsin(x y),而x 3t, y 4t3,求可编辑-精选文档-dzz dxz dydtx dty dt113(1)12t21(x y)21(x y)23(1 4t2)1(3t 4t )32dzdx(4)z arctan(xy),而y ex,求dzd1ex(1 x)xxx(e xe ) 解：arctan(xe )dxdx1(xex)21 x2e2xyxex(1 x)dzzz dyxe 1 x2e2xdxxy dx1(xy)21(xy)216.设u f (x,xy,
30、xyz),且 f 存在一阶连续偏导数，求解：令w xy,s xyz,则u f (x,w,s)uff wf sy fsyz fx fwxxw xs xu u u,x y zuu wu s fw/x fs/xzyw ys yuu s fsxyzs z17.求下列隐函数的导数或偏导数。(1)ez xyz,求z z,;x y解：令F(x,y,z) ezxyzFx/ yz,Fy/ xz,Fz/ezxyFy/Fx/zyzzxz /z, /zxFze xy yFze xy(2)2sin(x2y3z) x2y3z，求z z,;x y可编辑-精选文档-解：令F(x, y,z) 2sin(x2y 3z) x2y
31、3zFx 2cos(x2y3z)1,Fy 4cos(x2y3z)2,Fz 6cos(x2y3z)3Fy2Fx1 zz , xFz3 yFz3(3)x 2y z 2 xyz 0,求z z,x y解： 令F(x,y,) x2y z2 xyzFx/1yzxzyx, Fy/ 2, Fz/1xyzxyzxyzFx/yz xyzzxz 2 xyzz /,xFzyxyz xyxyz xy(4)exy 2z ez 0,求z z,x y解：F(x,y,z)exy 2z ezFx/ yexy, Fy/ xexy, Fz/ 2ezzyexyzxexy,zx2ey2ez18.设方程F(,) 0确定函数z f (x,
32、y),求解：令u ,v FF u1 Fu/xu xzxzyzx yz zz z,x yF1Fxy Fv/, 2Fu/2Fv/yzzzzFx/zFu/zFv/zz /,/xFzxFu yFvyxFu yFv可编辑-精选文档-令u ,v F(u,v) 0两边同时对x求偏导Fuux Fuuzzx Fvvzzx 0xzyz1xyFu Fu(2) Fv(2)zx 0zzzzFu/zFv/zz解得 z,同理,xxxFu/ yFv/yxFu/ yFv/令u ,v F(u,v) 0两边同时微分：xyFudu Fvdv 0Fud( ) Fvd( ) 0zzzdx xdzzdy ydzFu F 0vz2z2xzy
33、zzFu/zFv/解得dz /dx/dy,/xFu yFvxFu yFvzFu/zFv/zz,xxFu/ yFv/yxFu/ yFv/19.求二元函数z 4(x y) x2 y2的值。/解：zx 42x, zy 42y,/ x 2zx 0令/解得z 0y 2yzxx 2, zxy 0, zyy 2,A 2 0, B 0, C 2,B2 AC 4 0,极大值z(2,2)8xayb20解：令F(x, y,) x2 y2(1) F 2x 0xaab2a2b2a2b2 2y 0解得x 2, y 2, 2Fy222a ba ba bbxy F ab1 0ab2a2b唯一可能的极值点(2,)，根据题意 z
34、 有极小值a b2a2b2可编辑-精选文档-极小值z(ab2a2ba2b2,2a2b)a2b222a bx0.5y 9021解：Q 0.01xy2令F(x, y,) 0.01xy2(x0.5y 90) Fx 0.01y2 0Fy 0.02xy 0.5 0解得x 30, y 120,F x0.5y 90 0由实际意义知生产量有最大值，故x 30, y 120时生产量最大，最大生产量为 4320 公斤22解：L(x, y) R(x, y) x y 2512100x50y5 x10 y令F(x, y,) 100x50y(x y 25)5 x10 y500F x(5 x)2 0x 15500 0 解得
35、Fy2y 10(10 y)F x y 25 0由实际意义知利润有最大值，故x 15,y 10时利润最大，Lmax L15,10100155010100(万元)5151010最大净利润 L=100-25=75 万元23，设z e11()xy，求证：x2zz y2 2z.xy可编辑-精选文档-z证: exx2 11 y1z2, exxy 1x1 y 1x 11 y12y 2z 证毕z2zx y exy22 e1 y24设u x y u1证：x22u2xx21x2y2y2z22u2u2u2z ,求证：222xyzu22x xx22xy2z2y2 z2(x2 y2 z2)32y2z22 x2x2 y2
36、 z2z2 x2ux2 z22uy2 x2同理2,332222y(x y z )2z(x2 y2 z2)22u2u2u2(y2 x2 z2)22223222xyz(x y z )2u证毕25, 设z y1 z1 zz,其中 f (u)为可导函数，求证：f (x2 y2)x xy yy2yvf (x2 y2) yfu2y y fu2xzz vu u gv,x222xf (x y )yf2(x2 y2)证明：令 u x2 y2v f (u) 则z g(y,v) 1 z1 z11z2yx xy yy fyy zy2zz26, 设z (xy),存在，证明： x2 xy y2 03xxyy2证明：令 u
37、 xy, v (u) 则z f (x, y,v) v3xzy21z2y ux fx fvvu() yuxux3x2y3xzzy22y222 y2 0x xy y x yu x2yuxx33227.已知z f(u).u (u)yp(t)dt,其中f(u)可微,x可编辑-精选文档-p(t),(u)连续，且(u) 1，求证：p(x)zz+p(y) 0yx证明： u (u)yp(t)dtxuu /(u) p(x)xxup(x)up(y), 同理 /x1(u)y1(u)zup(x) f (u)f (u)/xx1(u)zup(y) f (u) f (u)/yy1(u) p(x)zzp(y)p(x)p(y)
38、p(x) P(y) f (u)f (u) 0yx1/(u)1/(u)xy00令F(x, y,u) (u)u p(t)dt p(t)dtFx p(x) Fy p(y) Fu (u)1FyFup(x)up(y) x, /xFu1(u)yFu1(u)zup(x)zup(y) f (u)f (u), f (u) f (u)/xx1(u)yy1(u) p(x)zzp(y)p(x)p(y)p(x) P(y) f (u)f (u) 0yx1/(u)1/(u)28若F(x, y,z) 0且F(x, y,z)在点(x0, y0,z0)的某邻域内连续,并设Fx,Fy,Fz在点(x0, y0,z0)的某邻域内存在并
39、连续，求证：x y z 1y z xFy/yFx/Fz/zx证： /, /, /yFxzFyxFzx y z 1y z x可编辑-精选文档-29.设z xyf ( ), f (u)可导,证: xyxyxzz y 2zxy证：令u ,v f(u)则z g(x,y,v) xyvzyyyy2 gfux gvvuux yf ( ) xyfu(2) yf ( )xxxxxzy1y g g v u xf ( ) xyf xf ( ) yfuyvuyuyxxxxzzy y 2xyf ( ) 2zxyx30.设z f(x,y,u) xy xF(u),F为可微函数且u ,证明: xzz y z xyxyyx证：令u ,v F(u)则z f(x,y,v) xy xvzyy u fx fvvu (yv) xF () y F(u) xF (),xuuxx2x2z1 u fy fvvu x xF x Fuyuyxyxxzz y xy xF(u) yFu xy yFuxy xy xF(u) xy z xy证毕。可编辑
