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1、平面问题的极坐标解答平面问题的极坐标解答4-1 4-1 极坐标中的平衡微分方程极坐标中的平衡微分方程4-2 4-2 极坐标中的几何方程与物理方程极坐标中的几何方程与物理方程4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞4-7 4-7 曲梁的纯弯曲曲梁的纯弯曲4-8 4-8 圆盘在匀速转动中的应力与位移圆盘在匀速转动中的应力与位移4-9 4-9 圆孔的孔边应力集中圆孔的孔边应力集中4
2、-10 4-10 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力4-12 4-12 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力主主主主 要要要要 内内内内 容容容容 yxOPBA(2) 只有环向变形，无径向变形。只有环向变形，无径向变形。径向线段径向线段PA的相对伸长：的相对伸长：（f）径向线段径向线段PA的转角：的转角：（g）环向线段环向线段PB的相对伸长：的相对伸长：环向线段环向线段PB的转角：的转角：（h）（i）剪应变为：剪应变为：（j）(3) 总应变总应变整理得：整理得：（42） 极坐标下的几何方程
3、极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程极坐标下的几何方程2. 物理方程物理方程平面应力情形：平面应力情形：平面应变情形：平面应变情形：（43）（44）弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）(平面应力情形平面应力情形)边界条件：边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）rrrrlra取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半
4、圆分析，由其平衡得：4-3 4-3 极坐标中的应力函数与相容方程极坐标中的应力函数与相容方程1. 直角坐标下变形调方程（相容方程）直角坐标下变形调方程（相容方程）（2-22）（2-23）（平面应力情形）（平面应力情形）（2-25）(2-27)(2-26)应力的应力函数表示：应力的应力函数表示：2. 极坐标下的应力分量与相容方程极坐标下的应力分量与相容方程方法方法1：（步骤）：（步骤）（1）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：）利用极坐标下的几何方程，求得应变表示的相容方程：（2）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：）利用极坐标下的物理方程，得应力表示的相容方程：（常体力情
5、形）（常体力情形）（3）利用）利用平衡方程平衡方程求出用应力函数表示的应力分量：求出用应力函数表示的应力分量：（4）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容）将上述应力分量代入应力表示的相容方程，得应力函数表示的相容方程：方程：（常体力情形）（常体力情形）方法方法2：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）：（用极坐标与直角坐标之间的变换关系求得到）xyOrPxy（1）极坐标与直角坐标间的关系：）极坐标与直角坐标间的关系：（2）应力分量与相容方程的坐标变换：）应力分量与相容方程的坐标变换：应力分量的坐标变换应力分量的坐标变换(a)(b)(c)xyOrPxy由直角坐标下应力函
6、数与应力的关系（由直角坐标下应力函数与应力的关系（226）：）：极坐标下应力分量计算公式：极坐标下应力分量计算公式：（45）可以证明：式（可以证明：式（45）满足平）满足平衡方程（衡方程（41）。）。相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换说明：说明：式（式（45）仅给出）仅给出体力为零体力为零时的时的应力分量表达式。应力分量表达式。相容方程的坐标变换相容方程的坐标变换(a)(b)将式将式(a)与与(b)相加，得相加，得得到极坐标下的得到极坐标下的 Laplace 微分算子：微分算子：极坐标下的相容方程为：极坐标下的相容方程为：（46）方程（方程（46）为）为常体力常体力情形的相容方程。情形的相容
7、方程。说明：说明：弹性力学极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为结论：结论：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）3. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题：轴对称问题：qO（45）（46）由式（
8、由式（45）和（）和（46）得应力分量和相）得应力分量和相容方程为：容方程为：（410）应力分量：应力分量：相容方程：相容方程：4-4 4-4 应力分量的坐标变换式应力分量的坐标变换式(1) 用用极坐标极坐标下的应力分量表示下的应力分量表示直角坐标直角坐标下的应力分量下的应力分量(2) 用用直角坐标直角坐标下的应力分量表示下的应力分量表示极坐标下极坐标下的应力分量的应力分量（48）（49）4-5 4-5 轴对称应力与相应的位移轴对称应力与相应的位移求解方法：求解方法： 逆解法逆解法1. 轴对称问题应力分量与相容方程轴对称问题应力分量与相容方程（1）应力分量）应力分量（410）（2）相容方程）相
9、容方程2. 相容方程的求解相容方程的求解将相容方程表示为：将相容方程表示为：4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程将其展开，有将其展开，有 4阶变阶变系数系数齐次微分方程齐次微分方程方程两边同乘以方程两边同乘以 ： Euler 齐次微分方程齐次微分方程令：令：有有代入上述方程代入上述方程其特征方程其特征方程为方程的特征值为方程的特征值方程的特征根为：方程的特征根为：于是，方程的解为：于是，方程的解为：将将 代代 回回 ：（411） 轴对称问题相容方程的通解，轴对称问题相容方程的通解，A、B、C、D 为待定常数。为待定常数。3. 应力分量应力分量（410）将方程（将方程（4-11）代入应力分
10、量表达式）代入应力分量表达式（412） 轴对称平面问题的应力分量表达式轴对称平面问题的应力分量表达式4. 位移分量位移分量对于平面应力问题，有物理方程对于平面应力问题，有物理方程（a）积分式（积分式（a），有），有（b） 是任意的待定函数是任意的待定函数将式（将式（b）代入式（）代入式（a）中第二式，得）中第二式，得将上式积分，得将上式积分，得:（c） 是是 r 任意函数任意函数将式（将式（b）代入式（）代入式（c）中第三式，得）中第三式，得或写成：或写成：要使该式成立，两要使该式成立，两边须为同一常数。边须为同一常数。（d）（e）式中式中F 为常数。对其积分有：为常数。对其积分有：（f）其中
11、其中 H 为常数。对式（为常数。对式（e）两边求导）两边求导其解为：其解为：（g）（h）将式（将式（f） （h）代入式（）代入式（b） （c），得），得（b）（c）（4-13）平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。由式（由式（4-13）可以看出：）可以看出： 应力轴对称并不表示位移也是轴对
12、称的。应力轴对称并不表示位移也是轴对称的。但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是但在轴对称应力情况下，若物体的几何形状、受力、位移约束都是轴对称的，则位移也应该是轴对称的。轴对称的，则位移也应该是轴对称的。 这这 时，物体内各点都不会时，物体内各点都不会有环向位移，即不论有环向位移，即不论 r 和和 取何值，都应有：取何值，都应有： 。对这种情形，有对这种情形，有式（式（4-13）变为：）变为：4-13（a）弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：弹性力学平面问题极坐标求解的基本方程：平衡微分方程：平衡微分方程：（41）几何方程：几何方程：（42）物理方程：物理方程：（43）
13、(平面应力情形平面应力情形)弹性力学平面问题极坐标求解步骤：弹性力学平面问题极坐标求解步骤：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）平面轴对称问题的求解：平面轴对称问题的求解：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量
14、（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。极坐极坐标标下的下的平面问题的基本平面问题的基本方程方程（42）几何几何方程：方程：（41）物理物理方程：方程：（43）平面应力情形平面应力情形（44）平面应变情形平面应变情形平衡平衡微分微分方程：方程：边界条件边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条
15、件）相容方程相容方程：（46） 常体力常体力情形的相容方程。情形的相容方程。应力分量计算式应力分量计算式：（45）弹性力学极坐标求解归结为弹性力学极坐标求解归结为（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：（位移单值条件）（位移单值条件）（1）应力分量）应力分量（410）（2）相容方程）相容方程轴对称问题的应力分量与相容方程：轴对称问题的应力分量与
16、相容方程：平面轴对称问题小结：平面轴对称问题小结：（411）（1）应力函数应力函数（2）应力分量应力分量（412）（3）位移分量位移分量（4-13）式中：式中：A、B、C、H、I、K 由应力和位移边界条件确定。由应力和位移边界条件确定。4-6 4-6 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力 压力隧洞压力隧洞1. 圆环或圆筒受均布压力圆环或圆筒受均布压力已知：已知：求：应力分布。求：应力分布。确定应力分量的表达式：确定应力分量的表达式：（412）边界条件：边界条件：（a）将式（将式（4-12）代入，有：）代入，有：（b）（b）式中有三个未知常数，二个方程不通用确定。式中有三个未知常数，二个方程
17、不通用确定。对于对于多连体多连体问题，位移须满足问题，位移须满足位移单值条件位移单值条件。位移多值项位移多值项要使单值，须有：要使单值，须有：B = 0 ，由式（，由式（b）得）得将其代回应力分量式（将其代回应力分量式（4-12），有：），有：（4-14）（1）若：）若：( 二向等压情况二向等压情况)（2）若：）若：（压应力）（压应力）（拉应力）（拉应力）（3）若：）若：（压应力）（压应力）（压应力）（压应力）（4）若：）若： 具有圆形孔道的无限大弹性体。具有圆形孔道的无限大弹性体。边缘处的应力：边缘处的应力：2. 压力隧洞压力隧洞问题：问题：厚壁圆筒埋在无限大弹性体内，受内压厚壁圆筒埋在无限
18、大弹性体内，受内压 q 作作用，求圆筒的应力。用，求圆筒的应力。1. 分析：分析：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：与以前相比较，相当于两个轴对称问题：(a) 受内外压力作用的厚壁圆筒；受内外压力作用的厚壁圆筒；(b) 仅受外压作用的无限大弹性体。仅受外压作用的无限大弹性体。确定外压确定外压 p 的两个条件：的两个条件：径向变形连续：径向变形连续：径向应力连续：径向应力连续：2. 求解求解2. 求解求解(1) 圆筒的应力与边界条件圆筒的应力与边界条件应力：应力：（a）边界条件：边界条件：(2) 无限大弹性体的应力与边界条件无限大弹性体的应力与边界条件应力：应力：（b）边界条件：边界条件：将式
19、（将式（a）、（）、（b）代入相应的边界）代入相应的边界条件，得到如下方程：条件，得到如下方程：4个方程不能解个方程不能解5个未知量，个未知量，需由位移连续条件确定。需由位移连续条件确定。上式也可整理为：上式也可整理为：(c)(d)利用：利用：(e)要使对任意的要使对任意的 成立，须有成立，须有(f)对式（对式（f）整理有，有）整理有，有0(g)式（式（g）中：）中：将式（将式（g）与式（）与式（c）（）（d）联立求解）联立求解(c)(d)（4-16）当当 n a），），圆孔半径为圆孔半径为 a，在无限远处受有均匀拉，在无限远处受有均匀拉应力应力 q 作用。作用。求：孔边附近的应力。求：孔边附
20、近的应力。（2）问题的求解）问题的求解 问题分析问题分析坐标系：坐标系：就外边界（直线），宜用直角坐标；就外边界（直线），宜用直角坐标；就内边界（圆孔），宜用极坐标。就内边界（圆孔），宜用极坐标。A 取一半径为取一半径为 r =b (ba），在其上取），在其上取一点一点 A 的应力：的应力：OxybAArA由应力转换公式：由应力转换公式：原问题转化为：原问题转化为：无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。无限大圆板中间开有一圆孔的新问题。b新问题的边界条件可表示为：新问题的边界条件可表示为：xyba内边界内边界外边界外边界（a）问题问题1（b）（c）baba问题问题2将外边界条件（将外边界条件（a）
21、分解为两部分：）分解为两部分：问题问题1ba 问题问题1的解：的解：内边界内边界外边界外边界（b） 该问题为轴对称问题，其解为该问题为轴对称问题，其解为 当当 ba 时，有时，有（d） 问题问题2的解：的解：ba问题问题2（非轴对称问题）（非轴对称问题）内边界内边界外边界外边界（c） 由边界条件（由边界条件（c），可假设：），可假设： 为为 r 的某一函数的某一函数乘以乘以 ； 为为r 的某一函数乘以的某一函数乘以 。 又由极坐标下的应力分量表达式：又由极坐标下的应力分量表达式： 可假设应力函数为：可假设应力函数为： 将其代入相容方程：将其代入相容方程： 与前面类似，与前面类似，令：令：有有
22、该方程的特征方程：该方程的特征方程：特征根为：特征根为：方程的解为：方程的解为：ba问题问题2 相应的应力分量：相应的应力分量： 对上述应力分量应用边界条件（对上述应力分量应用边界条件（c）, 有有内边界内边界外边界外边界（c） （e）求解求解A、B、C、D，然后，然后令令 a / b = 0，得，得ba问题问题2代入应力分量式（代入应力分量式（e）, 有有 （f）将将问题问题1和和问题问题2的解相加的解相加, 得全解：得全解： （4-17）讨论：讨论： （1） 沿孔边，沿孔边，r = a，环向正应力：，环向正应力： （4-18）3q2qq0q906045300（2） 沿沿 y 轴，轴， =9
23、0，环向正应力：，环向正应力：1.04q1.07q1.22q3q4a3a2aarAb 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解（3） 沿沿 x 轴，轴， =0，环向正应力：，环向正应力：（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2（4） 若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力若矩形薄板（或长柱）受双向拉应力 q1、q2 作用作用xyq1q2q2q1xyq1q1xyq2q2叠加后的应力：叠加后的应力： （4-19）（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔
24、。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：（5） 任意形状薄板（或长柱）受面力任意形状薄板（或长柱）受面力 作用，在距边界较远处有一小孔。作用，在距边界较远处有一小孔。只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如：只要知道无孔的应力，就可计算孔边的应力，如： 454-10 4-10 楔形体的楔顶与楔面受力楔形体的楔顶与楔面受力xyOMP1. 楔顶受有集中力楔顶受有集中力P作用作用 楔形体顶角为楔形体顶角为，下端为无限长（单位厚度），下端为无限长（单位厚度），顶端受有集中力顶端受有集中力 P ，与中心线的夹角为，与中心线
25、的夹角为，求：，求：（1）应力函数的确定）应力函数的确定因次分析法：因次分析法：由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断： （a）将其代入相容方程，以确定函数：将其代入相容方程，以确定函数：得：得：xyOP 4阶常系数齐次的常微分方程阶常系数齐次的常微分方程其通解为：其通解为：其中其中A，B，C，D为积分常数。为积分常数。 将其代入前面的应力函数表达式：将其代入前面的应力函数表达式：xy （4-20）（对应于无应力状态）（对应于无应力状态）（2）应力分量的确定）应力分量的确定xyOP边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足（2） 楔顶的边界条件：
26、楔顶的边界条件：ab任取一圆弧任取一圆弧 ，其上的应力应与楔顶的力，其上的应力应与楔顶的力 P 平衡。平衡。 （b）将式（将式（b）代入，有：）代入，有：xyOPab积分得：积分得：可解得：可解得：代入式（代入式（b）得：）得： （4-21） 密切尔（密切尔（ J. H. Michell ）解答）解答两种特殊情况：两种特殊情况：PxyOab（1）xyOab（2）两种情况下的应力分布：两种情况下的应力分布：应力对称分布应力对称分布应力反对称分布应力反对称分布P（3）PxyO无限大半平面体在边界无限大半平面体在边界法线方向受集中力作用法线方向受集中力作用xyOM2. 楔顶受有集中力偶楔顶受有集中力
27、偶 M 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （c）xyOM （4-22）（2）应力分量的确定）应力分量的确定考虑到：考虑到： 反对称载荷下，对对称结构有：反对称载荷下，对对称结构有：为为奇函数；奇函数；而而 则为则为偶函数。偶函数。由应力函数由应力函数 与与 关系可知，关系可知，应为应为奇函数。即奇函数。即将其代入应力分量表达式，得到将其代入应力分量表达式，得到xyOM （d）边界条件：边界条件：（1） 自然满足自然满足 （e）xyOMab（2）代入应力分量表达式
28、（代入应力分量表达式（d）, 得：得： （4-23） 英格立斯（英格立斯（C. E. Inglis）解答）解答说明：说明：另外两个边界条件，一定自动满足。另外两个边界条件，一定自动满足。楔顶的边界条件：楔顶的边界条件：特殊情况：特殊情况：xyOM说明：说明：说明：说明： 前面有关楔形体的分析结果，在楔前面有关楔形体的分析结果，在楔顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力顶处应力均趋于无穷，这是由于集中力 P 和集中力偶和集中力偶 M 的原因，事实上集中的原因，事实上集中力和集中力偶是不存在的，而是分布在力和集中力偶是不存在的，而是分布在一小区域上的面力；另一方面，分布在一小区域上的面力；另一方面，分
29、布在小区域的面力超过材料的比例极限，则小区域的面力超过材料的比例极限，则弹性力学的基本方程不再适用。弹性力学的基本方程不再适用。 前面有关楔形体的分析结果的适用前面有关楔形体的分析结果的适用性：离楔顶稍远的区域。性：离楔顶稍远的区域。3. 楔形体一侧面上受有均布面力楔形体一侧面上受有均布面力 作用作用（1）应力函数的确定）应力函数的确定由应力函数与应力分量间的微分关系，由应力函数与应力分量间的微分关系， 可推断：可推断：将其代入相容方程：将其代入相容方程： （f）得到：得到：该方程的解为：该方程的解为： （4-24）（2）应力分量的确定）应力分量的确定 （g）边界条件：边界条件：由此可确定由此
30、可确定4个待定常数。个待定常数。可求得：可求得：将常数代入应力分量表达式，有将常数代入应力分量表达式，有 （4-25）特殊情况：特殊情况：xyO若用直角坐标表示，利用坐标变换式：若用直角坐标表示，利用坐标变换式：xyOxyOaxyOaaxyOaxyOa楔形体（尖劈）问题楔形体（尖劈）问题应力函数应力函数的构造小结：的构造小结：xyOPxyOM附附1：曲梁一端受径向集中力作用曲梁一端受径向集中力作用 矩形截面曲梁（单位厚度），内半径矩形截面曲梁（单位厚度），内半径为为 a ，外半径为，外半径为 b ，一端固定，另一端受，一端固定，另一端受径向集中力作用。径向集中力作用。（1）应力函数的确定）应力
31、函数的确定分析：分析：任取一截面任取一截面 m-n ，截面弯矩为，截面弯矩为由材料力学初等理论，可知截面上正应力由材料力学初等理论，可知截面上正应力由此假定：由此假定：再由应力分量与应力函数间的关系，再由应力分量与应力函数间的关系， 可推得：可推得：将其代入相容方程将其代入相容方程 （a）该方程可转变为欧拉方程求解，其解为该方程可转变为欧拉方程求解，其解为 （b）代入应力函数为代入应力函数为 （c）（2）应力分量的确定）应力分量的确定 （d）边界条件：边界条件：代入应力分量得：代入应力分量得：端部条件：端部条件： （e）代入剪应力分量得：代入剪应力分量得： （f）联立求解式（联立求解式（e）、
32、（）、（f），得：），得：其中，其中，代入应力分量式（代入应力分量式（d），有：），有： （f）弹性力学极坐标求解归结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函
33、数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）2. 非轴对称问题非轴对称问题(1) 孔边应力集中问题孔边应力集中问题Ab问题问题1baba问题问题2 （4-17） 齐尔西（齐尔西（G. Kirsch）解）解(2) 楔形体问题楔形体问题xyOPxyOM(3) 曲梁问题曲梁问题附附1：曲梁应力函数确定的基本方法曲梁应力函数确定的基本方法思路：思路： 与直梁确定应力函数的方法类似，借且于与直梁确定应力函数的方法类似，借且于梁截面上梁截面上应力与内力（弯矩、剪力）的关应力与内力（弯矩、剪力）的关系系、应力与应力函数间微分关系应力与应力函数间微分关系，来推断，来推断应力函数的分离变量
34、形式。应力函数的分离变量形式。梁截面上的应力内力的关系：梁截面上的应力内力的关系： M、Q为梁截面上的弯矩与剪力。为梁截面上的弯矩与剪力。直梁直梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系：曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。xyq4-11 4-11 半平面体在边界上受法向集中力半平面体在边界上受法向集中力PxyO1. 应力分量应力分量由楔形体受集中力的情形，可以得到由楔形体受集中力的情形，可以得到 （4-26） 极坐标极坐标表示的应力分量表示的应力分量利用极坐标与直角坐标的应力转换式（利用极坐标与直角坐标的
35、应力转换式（4-7），可求得），可求得 （4-27）或将其改为直角坐标表示，有或将其改为直角坐标表示，有PxyO （4-28）2. 位移分量位移分量 直角坐标直角坐标表示的应力分量表示的应力分量假定为平面应力情形。假定为平面应力情形。其极坐标形式的物理方程为其极坐标形式的物理方程为将式（将式（4-26）代入）代入 （4-29）由几何方程由几何方程(a)(b)(c)积分式（积分式（a）得，）得，(d)将式（将式（d）代入式（）代入式（b），有），有积分上式，得积分上式，得(e)将式（将式（d）(e) 代入式（代入式（c） 得，得，(d)(e)(c)要使上式成立，须有：要使上式成立，须有：不妨令不
36、妨令=0，可解得：，可解得：代入位移分量式（代入位移分量式（d）（）（e），有），有(d)PxyO式中，常数式中，常数H，I，K 由边界条件确定。由边界条件确定。(f)PxyO常数常数 I 须由铅垂方向（须由铅垂方向（x方向）位移条件确定。方向）位移条件确定。(f)由式（由式（f）得：）得：(g)由问题的对称性，有：由问题的对称性，有：3. 边界沉陷计算边界沉陷计算PxyOrMM点的下沉量：点的下沉量： 由于常数由于常数 I 无法确定，无法确定， 所以只能求得的相对沉陷量。所以只能求得的相对沉陷量。 为此，在边界上取为此，在边界上取一基准点一基准点B，如图所示。，如图所示。BsM点相对于基准点
37、点相对于基准点B的沉陷为的沉陷为简化后得：简化后得：（4-30）符拉芒（符拉芒（A. Flamant）公式）公式对平面应变情形：对平面应变情形：4-12 4-12 半平面体在边界上受法向分布力半平面体在边界上受法向分布力PxyO1. 应力分量应力分量dP 作用在作用在原点原点O，则有，则有dP 作用在距原点作用在距原点 时，时，将此式在将此式在 AB 区间上积分，得区间上积分，得（4-31）式中，需将分布力集度式中，需将分布力集度 q 表示成表示成 的函数，再进行积分。的函数，再进行积分。2. 边界点的相对沉陷量边界点的相对沉陷量讨论均匀分布的讨论均匀分布的单位力单位力的情形。的情形。dP计算
38、分布力计算分布力中点中点 I 相对于相对于 K 点点的沉陷量：的沉陷量：（a）dP（a）对对 r 积分，即可求得积分，即可求得 I 点的相对沉陷量。点的相对沉陷量。当基准点当基准点K位于均布力之外时，沉陷量为位于均布力之外时，沉陷量为为简单起见，假定基点为简单起见，假定基点 K 取得很远，即取得很远，即s远大于远大于r，积分时可视其为常数，积分结，积分时可视其为常数，积分结果为：果为：（4-32）其中常数其中常数 C、Fki 的值为：的值为：（b）（c）平面问题极坐标求解方法小结平面问题极坐标求解方法小结一一. 基本方程基本方程1. 平衡方程平衡方程（41）2. 几何方程几何方程（42）3.
39、物理方程物理方程 平面应力情形平面应力情形（43）4. 边界条件边界条件位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：二、二、按应力求解基本步骤按应力求解基本步骤（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）三、平面三、平面轴
40、对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法逆解法逆解法（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）四、非四、非轴对称问题的求解方法轴对称问题的求解方法半逆解法半逆解法1. 圆孔的孔边应力集中问题圆孔的孔边应力集中问题原问题的转换：原问题的转换：问题问题1baba问题问题2轴对称问题轴对称问题非轴对称问题非轴对称问题2. 楔形体问题楔形体问题 由由因次法因次法确定确定 应力函数的分离变量形式应力函数的分离变量形式（1） 楔顶受集中力偶楔顶受集中力偶xyOPxyOM（2） 楔顶受集中力楔顶受集中力（3） 楔形体一侧受分布力楔形体一侧受分布力3. 曲梁问题曲梁问题其
41、中：其中： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。 M，Q分别为梁截面上弯矩与剪力。分别为梁截面上弯矩与剪力。结合应力分量与应力函数的关系确定结合应力分量与应力函数的关系确定 应力函数：应力函数：4. 半平面问题半平面问题PxyOxyOMxyOxyOaaxyO五、叠加法的应用五、叠加法的应用课堂练习：课堂练习：（1） 试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，试用边界条件确定，当图示变截面杆件受拉伸时，在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力在靠杆边的外表面处，横截面上的正应力 与剪应力与剪应力 间的关系。设杆的横截面形状为狭间的关系。设杆的横截面形状为狭长矩形，板厚为一个
42、单位。长矩形，板厚为一个单位。（2） z方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界方向（垂直于板面）很长的直角六面体，上边界受均匀压力受均匀压力 p 作用，底部放置在绝对刚性与光滑作用，底部放置在绝对刚性与光滑的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力的基础上，如图所示。不计自重，试确定其应力和位移分量。和位移分量。（3） 有一薄壁圆筒的平均半径为有一薄壁圆筒的平均半径为 R ，壁厚为，壁厚为 t ，两端，两端受相等相反的扭矩受相等相反的扭矩 M 作用。现在圆筒上发现半作用。现在圆筒上发现半径为径为 a 的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力的小圆孔，如图所示，则孔边的最大应力如何？最大应力发生
43、在何处？如何？最大应力发生在何处？（4） 已知圆环在已知圆环在 r = a 的内边界上被固定，在的内边界上被固定，在 r = b 的的圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确圆周上作用着均匀分布剪应力，如图所示。试确定圆环内的应力与位移。定圆环内的应力与位移。rrrlrrrrrrrrrrarlra取半径为取半径为 a 的半圆分析，由其平衡得：的半圆分析，由其平衡得：作作 业业习题：习题：4 7 ，4 8选做：选做：4 -21作作 业业习题：习题：4 -4，4 5，4 6作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3补充题：补充题： 列写下列平面问题的应力边界条件。列写下列平面问题的应力边界条
44、件。弹性力学极坐标求解归结为：弹性力学极坐标求解归结为：（1）由问题的条件求出满足式（由问题的条件求出满足式（46）的应力函数）的应力函数（46）（2）由式（由式（45）求出相应的应力分量：）求出相应的应力分量：（45）（3）将上述应力分量将上述应力分量满足问题的边界条件：满足问题的边界条件：位移边界条件：位移边界条件：应力边界条件：应力边界条件：为边界上已知位移，为边界上已知位移，为边界上已知的面力分量。为边界上已知的面力分量。（位移单值条件）（位移单值条件）1. 轴对称问题轴对称问题（412）应力函数：应力函数：应力分量：应力分量：位移分量：位移分量：（4-13）2. 非轴对称问题非轴对称问题ba问题问题2xyOPxyOM曲梁曲梁截面上的应力内力的关系：截面上的应力内力的关系： q 为曲梁圆周边界上的分布载荷。为曲梁圆周边界上的分布载荷。如：如：作作 业业习题：习题：4 -1，4 2，4 3rr补充题补充题1补充题补充题2xyOMP列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件列写图示问题列写图示问题的边界条件的边界条件结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！157
