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1、第二节直线与圆的位置关系、圆锥曲线性质的探讨一、圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧的圆心角度数的一半 O为圆心，A、B、C为圆上任意三点，则有ACBAOB推论1同弧或等弧所对的圆周角相等同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等O为圆心，A、B、C、D为圆上任意四点，则ACBADBAOBO为圆心，A、B、C、D为圆上任意四点，且CADACB，则有推论2半圆(或直径)所对的圆周角等于9090的圆周角所对的弦为直径O为圆心，A、B、C、D为圆上三点，且BC为圆的直径，则有BAC90O为圆心，A、B、C为圆上三点，且BAC90，则BC为圆的直径二、圆的切线判定定理经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线
2、是圆的切线O为圆心，A为圆上一点，直线l经过点A且垂直OA，与O相交于点A，则直线l是圆的一条切线，切点为A性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径 O为圆心，直线l与圆相切于点A，则l 垂直于OA切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等 O为圆心，C为圆外的一点，由C向圆作切线，分别交圆于点A、B则有CACB三、弦切角定理及其推论定理弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半推论弦切角等于它所夹弧所对的圆周角AB是O的切线，BAC的度数等于的度数AB是O的切线，BAC的度数等于ADC的度数四、圆中的比例线段相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 PAPBPCPD割线定理从圆外一点
3、引圆的两条割线，这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等 PAPBPCPD切割线定理从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的两条线段长的比例中项 PAPBPC2五、圆内接四边形的性质定理和判定定理性质定理圆内接四边形对角互补判定定理如果四边形的对角互补，则此四边形内接于圆四边形ABCD内接于O，AC， BD在四边形ABCD中，AC或BC则四边形ABCD内接于圆六、平行射影设直线l与平面相交，称直线l的方向为投影方向，过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交于一点A，称点A为A沿l的方向在平面上的平行射影一个图形上各点在平面上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的
4、平行射影七、平面与圆柱面的截线定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆八、平面与圆锥面的截线定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l与l相交于O点，夹角为，l围绕l 旋转得到以O为顶点，l为母线的圆锥面，任取平面，若它与轴l的交角为 (当与l平行时，记0)，则(1)，平面与圆锥的交线为椭圆；(2)，平面与圆锥的交线为抛物线；(3)，平面与圆锥的交线为双曲线1一平面截球面产生的截面形状是_；它截圆柱面所产生的截面形状是_【答案】圆圆或椭圆2如图所示，圆O的直径AB6，C为圆周上一点，BC3，过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则DAC_.【解析】由弦切角定理，可知DCAB60，又ADl，故DA
5、C30.【答案】303(2011年湖南，11)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC4，AD BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为_4如图，EB、EC是O的两条切线，B、C是切点，A、D是O上两点，如果E46，DCF32，则BAD_.【解析】由已知，显然EBC为等腰三角形，因此有ECB67，因此BCD180ECBDCF81.而由A、B、C、D四点共圆，有BAD180BCD99.【答案】995如图，已知P是O外一点，PD为O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，若PF12，PD4，则圆O的半径长为_、EFD的度数为_【答案】430考点一圆周角定理及应用圆周角定理建立了圆周
6、角与圆心角之间的关系，并通过圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系实现了圆中的角(圆心角、圆周角)、线段(弦、弦心距)、弧之间相等关系的相互转化，从而为研究圆的性质提供了有力的工具和方法圆周角定理及其推论最突出的特点便是具有同弧或等弧上圆周角位置移动的灵活性，解题时要注意发挥圆周角的这一特点，并注意与其他知识的联系与综合运用已知O是ABC的外接圆，I是ABC的内切圆，A80，那么BOC_，BIC_.【思路点拨】由A的度数易得BOC的度数，然后抓住圆的切线性质及三角形内角和可得到BIC的度数【自主解答】如图，A80，由一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得BOC2A160.又在ABC中，A80
7、，ABCACB18080100.又IBCABC，ICBACB，IBCICB(ABCACB)10050，在IBC中，BIC18050130【答案】1601301如图，已知ACBCDB60，AC3，则ABC的面积S是_【自主解答】ACBCDB60AABC是边长为3的等边三角形，所以S=考点二圆内接四边形的性质与判定圆内接四边形的性质定理是圆中探求角的相等或互补关系的常用定理，使用时要注意观察图形，要弄清四边形的外角和它的内对角的位置其性质定理是沟通角的相等关系的重要依据，解题时要注意与圆周角定理、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系以及垂径定理的联系与综合如图所示，已知AP是O的切线，P为切点，AC是
8、O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点(1)证明A，P，O，M四点共圆；(2)求OAMAPM的大小【思路点拨】(1)证出四边形OPAM对角互补即可；(2)作出四边形OPAM的外接圆【自主解答】(1)证明：连结OP，OM，如图(1)所示因为AP与O相切于点P，所以OPAP.因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC于是OPAOMA180.由圆心O在PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆(2)解：连结OA，如图(2)所示由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以OAMOPM.由(1)得OPAP.又圆心O在PAC的内部，可知OPMAPM90.所以
9、OAMAPM902如图，已知AB，CD是O的两条弦，且ABCD，OEAB，OFCD，垂足分别是E，F，则结论，AOBCOD，OEOF，中，正确的有_个【自主解答】同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等，故成立又由得，正确【答案】4考点三圆的切线的判定与性质、弦切角定理及应用1要证明某直线是圆的切线时，如果已知直线过圆上某一点，那么连结这点和圆心，证明直线垂直于半径；如果不知道直线和圆有没有公共点，则过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径已知某直线是圆的切线时，切点的位置一般是确定的，辅助线常常是连结圆心和切点2弦切角定理沟通了弦切角与圆周角之间的关系，进一
10、步完善了圆中的角、线段、弧之间的相互转化关系，为圆中的证明和计算提供了有力的工具和方法，解题时常采取“顺弧找角”的方法找相等的角如图，AB为O的弦，CD切O于P，ACCD于C，BDDC于D，PQAB于Q，求证：PQ2ACBD.【思路点拨】欲证PQ2ACBD，只需证明ACPQPQBD，图中没有产生比例中项的条件，需要通过过渡比来解决连结PA、PB，利用弦切角定理，得到不相邻的两对直角三角形分别相似【自主证明】连结PA、PB，如图所示，CD切O于P，12.ACCD于C，PQAB于Q，ACPPQB90.ACPPQB.ACPQAPBP.同理，BDPPQA.PQBDAPBPACPQPQBD，即PQ2AC
11、BD.3已知弦AB与O半径相等，连接OB并延长使BCOB.(1)问AC与O的位置关系是怎样的；(2)试在O上找一点D，使ADAC.【自主解答】(1)AB与O半径相等，OAB为正三角形，OAB60OBA，又BCOBAB，BAC30，故OAC90，AC与O相切(2)延长BO交O于D，则必有ADAC，BOA60，OAOD，D30，又C30，CD，得ADAC.考点四与圆有关和比例线段相交弦定理为圆中证明等积式和有关计算提供了有力的方法和工具，应用时一方面要熟记定理的等积式的结构特征，另一方面在与定理相关的图形不完整时，要用辅助线补齐相应部分在实际应用中，见到圆的两条相交弦就要想到相交弦定理；见到两条割
12、线就要想到割线定理；见到切线和割线时就要想到切割线定理.【思路点拨】AB、EC是相交弦，且AM、MB的长已知，EC的长可求，故可利用相交弦定理通过列方程求解EM.4如图，圆O的割线PA过圆心O，弦CD交PA于点F，且COFPDF，PB OA2，则PF_.考点五圆锥曲线性质的探讨圆柱、圆锥的截线问题注意选择恰当的轴截面以及截面的倾斜角对截线性质的影响(12分)已知圆锥面S的母线与轴的夹角为30，有一平面(不过圆锥面顶点S)与圆锥面的轴线成60角，且相交于E点，且SE4，求此截面与圆锥面的交线的形状，并计算交线的离心率，焦距及Dandelin双球的半径【思路点拨】根据圆锥面的母线与轴的夹角、平面与
13、圆锥面的轴线所成角的关系判断交线的形状，根据判断的结果求出圆锥曲线中的参数a，c，从而求出焦距5.如图，有一个底面半径为2，高为6的圆柱形玻璃杯，装满了水，然后缓慢倾倒，当倒出杯水后，此时水面形状如图，求此时水面与杯壁交出的曲线的离心率一、填空题1如图，P是圆O外一点，过P引圆O的两条割线PB、PD，PAAB，CD3，则PC_.【答案】22如右图，PT切O于点T，PA交O于A、B两点，且与直径CT交于点D， CD2，AD3，BD6，则PB_【解析】由相交弦定理得DCDTDADB，则DT9.由切割线定理得PT2PBPA，即(PBBD)2DT2PB(PBAB)又BD6，ABADBD9，(PB6)2
14、92PB(PB9)，得PB15.【答案】153(2010年汕头一检)如图，AB是圆O的直径，直线CE和圆O相切于点C，ADCE 于D，若AD1，ABC30，则圆O的面积是_【解析】在O中，ACDABC30，且在RtACD中，AD1，AC2，AB4，又AB是O的直径，O的半径为2，圆O的面积为4.【答案】44如图，PA切O于点A，割线PBC经过圆心O，OBPB1，OA绕点O逆时针旋转60到OD，则PD的长为_5.如图，PT为O的切线，T为切点，PA是割线，它与O的交点是A、B，与直径 CT的交点是D，已知CD2，AD3，BD4，那么PB等于_【答案】206.(2011年湖南六校联考，14)如图，
15、点A、B、C都在O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB5，BC3，CD6，则线段AC的长为_二、解答题7如图，AB是O的直径，C、F为O上的点，且CA平分BAF，过点C作CDAF交AF的延长线于点D.求证：DC是O的切线【证明】连接OC，所以OACOCA.又因为CA平分BAF，所以OACFAC.于是FACOCA，所以OCAD.又因为CDAF，所以CDOC.故DC是O的切线8如图，AB是半圆的直径，C是AB延长线上一点，CD切半圆于点D，CD2， DEAB，垂足为E，且E是OB的中点，求BC的长9(2011年高考新课标全国卷)(选修41：几何证明选讲)如图，D，E分别为ABC的边AB，A
16、C上的点，且不与ABC的顶点重合已知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x214xmn0的两个根()证明：C，B，D，E四点共圆；()若A90，有m4，n6，求C，B，D，E所在圆的半径10【创新预测题】如图所示，AB为O的直径，BC、CD为O的切线，B、D 为切点(1)求证：ADOC；(2)若O的半径为1，求ADOC的值【解析】(1)如图，连接BD、OD.CB、CD是O的两条切线，BDOC，2390，又AB为O的直径，ADDB，1290，13，ADOC.(2)AOOD，1A3，且ADBODC90，RtBADRtCOD，ADOCABOD2.本单元是新课标的新增内容，是天津、
17、辽宁、陕西、湖南、广东、海南、宁夏、江苏选考内容，所以在高考中一定会有所体现，题型为填空题或解答题，难度不大，主要考查圆的切线定理、切割线定理、相交线定理、圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等主要侧重与圆有关的比例线段问题的考查预测2013年高考圆的切线定理、切割线定理、相交弦定理、圆周角定理及圆内接四边形的判定与性质等仍将是考查的重点【方法指导】1.圆幂定理与圆周角、弦切角联合应用时，要注意找相等的角，找相似三角形，从而得出线段的比由于圆幂定理涉及圆中线段的数量计算，所以应注意代数法在解题中的应用2证明四点共圆的常用方法：(1)证明四个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在另两点所确定的线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)1(2011年广东，15)(几何证明选讲选做题)如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB7，C是圆上一点使得BC5，BACAPB，则AB_.2.(理)(2010年高考陕西卷)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则_.(文)(2010年高考陕西卷)如图，已知RtABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm,4cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD_cm.
