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1、2.1.3 演绎推理问题引航引航1.1.什么是演什么是演绎推理推理? ?它有什么特点它有什么特点? ?2.2.什么是三段什么是三段论? ?一般模式是什么一般模式是什么? ?3.3.合情推理与演合情推理与演绎推理有什么区推理有什么区别与与联系系? ?1.1.演绎推理演绎推理(1)(1)含义含义: :从一般性的原理出发从一般性的原理出发, ,推出某个推出某个_下的结论下的结论, ,我们把这种推理称为演绎推理我们把这种推理称为演绎推理. .(2)(2)特点特点: :演绎推理是由演绎推理是由_到到_的推理的推理. .特殊情况特殊情况一般一般特殊特殊2.2.三段论三段论一般模式一般模式常用格式常用格式大
2、前提大前提_M M是是P P小前提小前提_S S是是M M结论根据一般原理根据一般原理, ,对_做出的判断做出的判断S S是是P P已知的一般原理已知的一般原理所研究的特殊情况所研究的特殊情况特殊情况特殊情况【要点探究】【要点探究】 知知识点点 演演绎推理推理1.1.演演绎推理的三个特点推理的三个特点(1)(1)演演绎推理的前提是一般性原理推理的前提是一般性原理, ,演演绎推理所得的推理所得的结论是是蕴涵涵于前提之中的个于前提之中的个别、特殊事、特殊事实, ,结论完全完全蕴涵于前提之中涵于前提之中. .(2)(2)在演在演绎推理中推理中, ,前提与前提与结论之之间存在必然的存在必然的联系系,
3、,只要前提只要前提是真是真实的的, ,推理的形式是正确的推理的形式是正确的, ,那么那么结论也必定是正确的也必定是正确的. .因因而演而演绎推理是数学中推理是数学中严格格证明的工具明的工具. .(3)(3)演演绎推理是由一般到特殊的推理推理是由一般到特殊的推理. .2.2.对“三段三段论”的三点的三点说明明(1)(1)三段三段论中的大前提提供了一个一般性原理中的大前提提供了一个一般性原理, ,小前提指出了一小前提指出了一种特殊情况种特殊情况, ,两个命两个命题结合起来合起来, ,揭示了一般性原理与特殊情况揭示了一般性原理与特殊情况的内在的内在联系系, ,从而得到了第三个命从而得到了第三个命题结
4、论. .(2)(2)若集合若集合M M的所有元素都具有性的所有元素都具有性质P,SP,S是是M M中的一个子集中的一个子集, ,那么那么S S中的元素也具有性中的元素也具有性质P;P;若若M M中的元素都不具有性中的元素都不具有性质P,P,则S S中的元中的元素也不具有性素也不具有性质P.P.(3)(3)从以上两点可以看出从以上两点可以看出: :三段三段论推理的推理的结论正确与否正确与否, ,取决于取决于两个前提是否正确两个前提是否正确, ,推理形式推理形式( (即即S S与与M M的包含关系的包含关系) )是否正确是否正确. .【知识拓展】【知识拓展】合情推理与演绎推理的区别与联系合情推理与
5、演绎推理的区别与联系合情推理合情推理演绎推理演绎推理区区别别常用形式常用形式归纳、类比归纳、类比三段论三段论思维运动过思维运动过程的方向程的方向归纳推理是从部分到归纳推理是从部分到整体整体, ,从个别到一般从个别到一般的推理的推理; ;类比推理是类比推理是从特殊到特殊的推理从特殊到特殊的推理从一般性的知识的前提从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识推出一个特殊性的知识的结论的结论, ,即从一般到特殊即从一般到特殊的推理的推理前提与结论前提与结论联系的性质联系的性质结论超过了前提所断结论超过了前提所断定的范围定的范围, ,其结论具其结论具有或然性有或然性结论不超过前提所断定结论不超过前提所断定
6、的范围的范围, ,前提和结论的联前提和结论的联系是必然的系是必然的应用应用不能作为数学证明的不能作为数学证明的工具工具, ,但它具有创造但它具有创造性思维性思维, ,对于数学发对于数学发现很有意义现很有意义可以作为数学证明的工可以作为数学证明的工具具, ,较少具有创造性较少具有创造性, ,但但它严密的论证有助于数它严密的论证有助于数学的理论化和系统化学的理论化和系统化合情推理合情推理演绎推理演绎推理联联系系两者紧密联系两者紧密联系, ,互为依赖互为依赖, ,互为补充互为补充. .(1)(1)演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经
7、验中概括出来具体的经验中概括出来. .从这个意义上可以说从这个意义上可以说, ,没有归纳推没有归纳推理就没有演绎推理理就没有演绎推理. .(2)(2)合情推理也离不开演绎推理合情推理也离不开演绎推理, ,合情推理活动的目的、任合情推理活动的目的、任务和方向必须借助于理论思维务和方向必须借助于理论思维, ,依靠人们先前积累的一般性依靠人们先前积累的一般性理论知识作指导理论知识作指导. .这本身就是一种演绎活动这本身就是一种演绎活动, ,并且合情推理并且合情推理得到的结论正确与否得到的结论正确与否, ,必须借助于演绎推理去论证必须借助于演绎推理去论证, ,从这个从这个意义上说意义上说, ,没有演绎
8、推理也就没有合情推理没有演绎推理也就没有合情推理【即时练】【即时练】1.(20141.(2014厦厦门高二高二检测) )已知已知幂函数函数f(x)=xf(x)=x是增函数是增函数, ,而而y=xy=x-1-1是是幂函数函数, ,所以所以y=xy=x-1-1是增函数是增函数, ,上面推理上面推理错误是是( () )A.A.大前提大前提错误导致致结论错B.B.小前提小前提错误导致致结论错C.C.推理的方式推理的方式错误导致致错D.D.大前提与小前提都大前提与小前提都错误导致致错【解析】【解析】选选A.A.大前提为大前提为:f(x)=x:f(x)=x是增函数是增函数, ,在在f(x)=xf(x)=x
9、中当中当00时时f(x)f(x)为增函数为增函数, ,显然大前提是错误的显然大前提是错误的. .2.2.函数函数y=2x+5y=2x+5的的图象是一条直象是一条直线, ,用三段用三段论表示表示为: :大前提大前提. .小前提小前提. .结论. .【解析】【解析】根据三段论模式分析题意可知根据三段论模式分析题意可知: :一次函数一次函数y=kx+b(k0)y=kx+b(k0)的图象是一条直线的图象是一条直线,大前提大前提y=2x+5y=2x+5是一次函数是一次函数,小前提小前提函数函数y=2x+5y=2x+5的图象是一条直线的图象是一条直线.结论结论答案答案: :一次函数一次函数y=kx+b(k
10、0)y=kx+b(k0)的图象是一条直线的图象是一条直线y=2x+5y=2x+5是一次函数是一次函数函数函数y=2x+5y=2x+5的图象是一条直线的图象是一条直线 【题型示范】型示范】 类型一型一 用三段用三段论证明几何明几何问题【典例【典例1 1】(2014(2014湛江高二湛江高二检测) )推理推理:“:“矩形是平行四矩形是平行四边形形;正方形是矩形正方形是矩形;所以正方形是平行四所以正方形是平行四边形形”中的小前提是中的小前提是. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)推理推理:“:“矩形是平行四边形矩形是平行四边形,正方形是矩正方形是矩形形,所以正方形是平行四边形所以正方形是平行四边
11、形”中中: :矩形是平行四边形矩形是平行四边形,大前提大前提正方形是矩形正方形是矩形,小前提小前提所以正方形是平行四边形所以正方形是平行四边形.结论结论答案答案: :【变式式训练】如如图,ABC,ABC中中,D,E,F,D,E,F分分别是是BC,CA,ABBC,CA,AB上的点上的点,BFD=A,DEBA.,BFD=A,DEBA.求求证ED=AF,ED=AF,写出写出“三段三段论”形式的演形式的演绎推理推理. .【解题指南】【解题指南】只需证明四边形只需证明四边形AEDFAEDF为平行四边形即可为平行四边形即可. .【证明】【证明】因为同位角相等因为同位角相等, ,两直线平行两直线平行,大前提
12、大前提BFDBFD与与AA是同位角是同位角, ,且且BFD=A,BFD=A,小前提小前提所以所以FDAE.FDAE.结论结论因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形因为两组对边分别平行的四边形是平行四边形, ,大前提大前提DEBA,DEBA,且且FDAE,FDAE,小前提小前提所以四边形所以四边形AFDEAFDE为平行四边形为平行四边形.结论结论因为平行四边形的对边相等因为平行四边形的对边相等,大前提大前提EDED和和AFAF为平行四边形为平行四边形AFDEAFDE的对边的对边,小前提小前提所以所以ED=AF.ED=AF.结论结论类型二型二 演演绎推理在代数推理在代数证明中的明中的应用用【典例
13、【典例2 2】(1)(2014(1)(2014温州高二温州高二检测) )由由“(a(a2 2+a+1)x3,+a+1)x3,得得x ”x ”的推理的推理过程中程中, ,其大前提是其大前提是. .(2)(2)已知函数已知函数f(x)=af(x)=ax x+ (a1),+ (a1),证明明: :函数函数f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上上为增函数增函数. .【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的大前提怎样找中的大前提怎样找? ?2.2.题题(2)(2)中证明的方法是什么中证明的方法是什么? ?【探究提示】【探究提示】1.1.将推理过程写成三段论的形式将推理过程写成三段论的
14、形式. .2.2.利用增函数的定义或利用利用增函数的定义或利用f(x)0f(x)0证明证明. .【解题探究】【解题探究】1.1.题题(1)(1)中的推理是什么形式中的推理是什么形式? ?【探究提示】【探究提示】1.1.题中的推理是三段论的形式题中的推理是三段论的形式. .2.2.先将文字语言转化为几何语言先将文字语言转化为几何语言, ,利用平行线的性质去寻求角利用平行线的性质去寻求角的关系的关系. .【自主解答】【自主解答】(1)(1)该推理过程写成三段论形式该推理过程写成三段论形式: :不等式两边同除以一个正数不等式两边同除以一个正数, ,不等号的方向不变不等号的方向不变,大前提大前提(a(
15、a2 2+a+1)x3,a+a+1)x3,a2 2+a+1+a+1大于大于0,0,小前提小前提x .x .结论结论答案答案: :不等式两边同除以一个正数不等式两边同除以一个正数, ,不等号方向不变不等号方向不变(2)(2)(定义法定义法) )任取任取x x1 1,x,x2 2(-1,+),(-1,+),且且x x1 1x0,0,且且a1,a1,所以所以 1.1.而而-1x-1x1 1x0,x+10,x2 2+10,+10,所以所以f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,所以所以f(x)f(x)在在(-1,+)(-1,+)上为增函数上为增函数. .【方法技巧】【方法技巧】代数问题
16、中的常见的利用三段论证明的命题代数问题中的常见的利用三段论证明的命题(1)(1)函数类问题函数类问题: :比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等等. .(2)(2)导数的应用导数的应用: :利用导数研究函数的单调区间利用导数研究函数的单调区间, ,求函数的极值求函数的极值和最值和最值, ,证明与函数有关的不等式等证明与函数有关的不等式等. .(3)(3)三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质. .(4)(4)数列的通项公式、递推公式以及求和数列的通项公式、递推公式以及求和, ,数列的性质数列的性质. .(5)(5)不等式的证明不等式的证明. .【变
17、式式训练】证明明f(x)=xf(x)=x3 3+x+x在在R R上上为增函数增函数, ,并指出并指出证明明过程中程中所运用的所运用的“三段三段论”. .【证明】【证明】在在R R上任取上任取x x1 1,x,x2 2, ,且且x x1 1x0.0.因为因为f(x)=xf(x)=x3 3+x,+x,所以所以f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)=( +x)=( +x2 2)-( +x)-( +x1 1) )=( - )+(x=( - )+(x2 2-x-x1 1) )=(x=(x2 2-x-x1 1)( +x)( +x2 2x x1 1+ +1)+ +1)=(x=(x2 2-x-x1 1
18、)因为因为 所以所以f(xf(x2 2)-f(x)-f(x1 1)0,)0,即即f(xf(x2 2)f(x)f(x1 1),),所以所以f(x)=xf(x)=x3 3+x+x在在R R上是增函数上是增函数. .在证明过程中所用到的在证明过程中所用到的“三段论三段论”: :大前提是大前提是“增函数的定义增函数的定义”, ,小前提是小前提是“题中的题中的f(x)f(x)经过正确的推理满足增函数的定义经过正确的推理满足增函数的定义”, ,结论是结论是“f(x)f(x)是增函数是增函数”. .【方法技巧】【方法技巧】应用演绎推理的一般思路应用演绎推理的一般思路在运用演绎推理在运用演绎推理, ,即三段论
19、证明问题时要充分挖掘题目外即三段论证明问题时要充分挖掘题目外在和内在条件在和内在条件( (小前提小前提),),根据需要引入相关的适用的定理和性根据需要引入相关的适用的定理和性质质( (大前提大前提),),并保证每一步的推理都是正确的、严密的并保证每一步的推理都是正确的、严密的, ,才能才能得出正确的结论得出正确的结论. .【易错误区】【易错误区】忽略大前提而致忽略大前提而致误【典例】【典例】(2014(2014深圳高二深圳高二检测) )已知已知2sin2sin2 2+sin+sin2 2=3sin,=3sin,则sinsin2 2+sin+sin2 2的取的取值范范围为. .【解析】【解析】由
20、由2sin2sin2 2+sin+sin2 2=3sin=3sin得得sinsin2 2+sin+sin2 2=-sin=-sin2 2+3sin+3sin因为因为0sin0sin2 21,sin1,sin2 2=3sin-2sin=3sin-2sin2 2,所以所以03sin-2sin03sin-2sin2 21.1.解之得解之得sin =1sin =1或或0sin ,0sin ,令令y=siny=sin2 2+sin+sin2 2,当当sin=1sin=1时时,y=2.,y=2.当当0sin 0sin 时时,0y .,0y .所以所以sinsin2 2+sin+sin2 2的取值范围是的取
21、值范围是0, 2.0, 2.答案答案: :0, 0, 22【常见误区】【常见误区】错解错解错因剖析错因剖析忽略忽略处处sinsin的范围的范围, ,误认为误认为sinRsinR忽略忽略处的处的sinsin的取值而漏掉的取值而漏掉y=2y=2致误致误【防范措施】【防范措施】1.1.正确理解大前提正确理解大前提解题过程中解题过程中, ,要对大前提把握好要对大前提把握好, ,正确认识大前提是解题的关正确认识大前提是解题的关键键, ,如本例中如本例中sinsin的取值范围的取值范围. .2.2.挖掘题中的隐含条件挖掘题中的隐含条件解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位解题时要对题目中的隐含条件挖掘到位, ,不能遗漏不能遗漏, ,否则会出否则会出现失误现失误, ,如本例中如本例中sin=1sin=1易漏掉易漏掉. .
